Legge di Faraday-Neumann-Lenz
Salve ho un dubbio, la legge di Faraday-Neumann-Lenz mi dice che la variazione di un campo magnetico mi genera corrente e quindi campo elettrico. Ora mi sorge spontaneo se ho variazione di campo elettrico allora genero campo magnetico variabile. Cioè la posso la legge può essere invertita?
Risposte
Certo: questa "simmetria", tra l'altro, è alla base del fenomeno della propagazione delle onde elettromagnetiche.
La legge in questione, nella sua espressione più generale, è quella di Ampere modificata da Maxwell:
$rot vec(B) = mu_0 vec(j)_(cond) + mu_0 epsilon_0 (del vec(E))/(delt)$
$j_(cond)$ è la densità di corrente di conduzione, legata al moto di cariche elettriche; la quantità $epsilon_0 (del vec(E))/(delt)$ è invece detta densità di corrente di spostamento (correzione di Maxwell): questa corrente, non dovuta al moto di cariche, si instaura in regimi non stazionari (cioè quando la densità di carica in un certo volume dello spazio varia nel tempo).
Per capire questo aspetto si parte dall'equazione di continuità: $(del rho)/(delt) = - vec(nabla) * vec(j)_(cond)$.
Ora considera la legge di Ampere senza correzione e applica la divergenza ad entrambi i membri:
$vec(nabla) * rot vec(B) = mu_0 vec(nabla) * vec(j)_(cond) = - mu_0 (del rho)/(delt)$
La divergenza di un rotore è identicamente nulla, quindi il primo membro vale sempre zero; il secondo membro si annulla solo se il regime è stazionario. In regime non stazionario si ha una contraddizione, perchè il secondo membro è diverso da zero.
Per risolvere il problema si prende in considerazione la legge di Gauss:
$vec(nabla) * vec(E) = (rho)/(epsilon_0) -> rho = vec(nabla) * (vec(E) epsilon_0)$
L'equazione di continuità diventa: $vec(nabla) * (vec(j)_(cond) + epsilon_0 (del vec(E))/(delt) ) = 0$
La corrente che compare fra parentesi è a divergenza nulla, sia in regime stazionario sia in regime non stazionario: aggiungendo quindi nella legge di Ampere alla densità di corrente di conduzione la correzione di Maxwell si risolve il problema precedente.
Nel vuoto, in assenza di correnti di conduzione, le leggi di Ampere-Maxwell e di Faraday diventano decisamente simmetriche:
$rot vec(E) = - (del vec(B))/(delt)$
$rot vec(B) = mu_0 epsilon_0 (del vec(E))/(delt)$
La legge in questione, nella sua espressione più generale, è quella di Ampere modificata da Maxwell:
$rot vec(B) = mu_0 vec(j)_(cond) + mu_0 epsilon_0 (del vec(E))/(delt)$
$j_(cond)$ è la densità di corrente di conduzione, legata al moto di cariche elettriche; la quantità $epsilon_0 (del vec(E))/(delt)$ è invece detta densità di corrente di spostamento (correzione di Maxwell): questa corrente, non dovuta al moto di cariche, si instaura in regimi non stazionari (cioè quando la densità di carica in un certo volume dello spazio varia nel tempo).
Per capire questo aspetto si parte dall'equazione di continuità: $(del rho)/(delt) = - vec(nabla) * vec(j)_(cond)$.
Ora considera la legge di Ampere senza correzione e applica la divergenza ad entrambi i membri:
$vec(nabla) * rot vec(B) = mu_0 vec(nabla) * vec(j)_(cond) = - mu_0 (del rho)/(delt)$
La divergenza di un rotore è identicamente nulla, quindi il primo membro vale sempre zero; il secondo membro si annulla solo se il regime è stazionario. In regime non stazionario si ha una contraddizione, perchè il secondo membro è diverso da zero.
Per risolvere il problema si prende in considerazione la legge di Gauss:
$vec(nabla) * vec(E) = (rho)/(epsilon_0) -> rho = vec(nabla) * (vec(E) epsilon_0)$
L'equazione di continuità diventa: $vec(nabla) * (vec(j)_(cond) + epsilon_0 (del vec(E))/(delt) ) = 0$
La corrente che compare fra parentesi è a divergenza nulla, sia in regime stazionario sia in regime non stazionario: aggiungendo quindi nella legge di Ampere alla densità di corrente di conduzione la correzione di Maxwell si risolve il problema precedente.
Nel vuoto, in assenza di correnti di conduzione, le leggi di Ampere-Maxwell e di Faraday diventano decisamente simmetriche:
$rot vec(E) = - (del vec(B))/(delt)$
$rot vec(B) = mu_0 epsilon_0 (del vec(E))/(delt)$
Applica ora il rotore ad entrambi i membri della legge di Faraday:
$rot rot vec(E) = grad vec(nabla) * vec(E) - (vec(nabla))^2 vec(E) = - (del)/(delt) rot vec(B) = - mu_0 epsilon_0 (del^2 vec(E))/(delt^2)$
Nel vuoto, la divergenza del campo elettrico è nulla per la legge di Gauss; definendo $c^2 = 1/(mu_0 epsilon_0)$, si trova
$ (vec(nabla))^2 vec(E) = 1/(c^2) (del^2 vec(E))/(delt^2)$
che è l'equazione di un'onda piana che si propaga nel vuoto con velocità $c$ (numericamente uguale alla velocità della luce).
Si può ottenere un'equazione identica per il campo magnetico, naturalmente. Queste onde sono proprio le onde elettromagnetiche previste da Maxwell 20 anni prima della loro scoperta sperimentale.
Il meccanismo è semplice: se c'è una carica oscillante, c'è un campo elettrico variabile nel tempo. Questo campo genera un campo magnetico ortogonale al primo (il rotore di un vettore è ortogonale al vettore stesso), il quale, variando nel tempo, "sostiene" il campo elettrico...(e così via...)
$rot rot vec(E) = grad vec(nabla) * vec(E) - (vec(nabla))^2 vec(E) = - (del)/(delt) rot vec(B) = - mu_0 epsilon_0 (del^2 vec(E))/(delt^2)$
Nel vuoto, la divergenza del campo elettrico è nulla per la legge di Gauss; definendo $c^2 = 1/(mu_0 epsilon_0)$, si trova
$ (vec(nabla))^2 vec(E) = 1/(c^2) (del^2 vec(E))/(delt^2)$
che è l'equazione di un'onda piana che si propaga nel vuoto con velocità $c$ (numericamente uguale alla velocità della luce).
Si può ottenere un'equazione identica per il campo magnetico, naturalmente. Queste onde sono proprio le onde elettromagnetiche previste da Maxwell 20 anni prima della loro scoperta sperimentale.
Il meccanismo è semplice: se c'è una carica oscillante, c'è un campo elettrico variabile nel tempo. Questo campo genera un campo magnetico ortogonale al primo (il rotore di un vettore è ortogonale al vettore stesso), il quale, variando nel tempo, "sostiene" il campo elettrico...(e così via...)
Grazie sei stato molto dettagliato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo