Legge continuità / portata, massa

[sempronino]

Nello studi di fisica mi è capitata l'equzione

$int_Srho\vecv*\vecndS=-int_V(partialrho)/(partialt)dV$

Siccome mi era non del tutto chiara ho usato cerca (flussi continuità ecc) e sono approdato in questa discussione

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8463910

mi interesserebbe capire in particolare

"gtx":Piccola nota: Molto spesso per ricavare il bilancio di massa si fanno delle ipotesi sul volume di controllo,in genere lo si assume fisso, oppure che si muove come un volume materiale, ossia segue il flusso, ma non si dice mai in genere cosa succede per un volume di controllo la cui superficie si muove con velocità $u$, mentre il flusso ha velocità $v$. Quando u=0 si ha il volume di controllo fisso, quando u=v si ha il volume di controllo materiale. La cosa interessante è che l'equazione di bilancio non cambia nel generico caso con u e w. La dimostrazione è semplice sfrutta il teorema del trasporto:
Bilancio integrale: dM/dt=flusso di massa sul volume V(t) (notare che la derivata temporale è una derivata totale, non parziale, in molti testi derivano sotto il segno di integrale e magicamente quella derivata totale diventa parziale, senza un perché)

$M=int_(V(t))rho$

flussi = $int_(partialV(t)) rhow*n$

Essendo $w=v-u$ la velocità relativa del flusso rispetto al volume di controllo.

Il teorema del trasposrto dice che: $d/(dt) int_(V(t))rho=int_(V(t))(partial rho)/(partial t)-int_(partialV(t))rho u\cdot n$

E quindi:

$int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho (u+w)\cdot n=int_(partialV(t))rho v\cdot n$

In genere questo passaggio non viene fatto, si prende sempre un volume di controllo V(t) mobile, senza dire nulla su come si muove, e si dice subito

$int_(V(t))(partial rho)/(partial t)=int_(partialV(t))rho v\cdot n$

Interpretandola alla buona come: tasso di variazione di rho= flussi in ingresso/uscita. E' chiaro che tale equazione scritta così senza dire nient'altro non ha nessun fondamento, probabilmente è così che te l'hanno insegnata.

Di cui sinceramente ho capito poco, però mi pare discenda da questa considerazione del post la mia come caso più particolare.

Qualcuno potrebbe aiutarmi? Non mi è stata presentata in tal modo e vorrei capire

[mgrau]

"sempronino":Nello studi di fisica mi è capitata l'equazione

$int_Srho\vecv*\vecndS=-int_V(partialrho)/(partialt)dV$

Il primo integrale rappresenta il flusso di materia uscente da una superficie chiusa S
Il secondo integrale rappresenta la variazione della massa contenuta nel volume V (che ovviamente è quello racchiuso dalla superficie S)

[sempronino]

Grazie per la risposta. Quello mi è abbastanza chiaro, il più è che non riesco a capire le spiegazione di gtx, poiché mi pare quella relazione discendere dalla sua spiegazione. Ma non capisco il legamen u, v, w del volume di controllo con le varie quantità integrali scritte.

$d/(dt) int_(V(t))rho=int_(V(t))(partial rho)/(partial t)-int_(partialV(t))rho u\cdot n$

Il fatto che studiano elettromagnetismo trovo spesso flussi ecc
Cerco qualche chiarimento in merito