Le dimensioni dell'Hamiltoniana
Prendiamo un sistema meccanico puramente conservativo: allora indicando con [tex]V[/tex] l'energia potenziale e con [tex]T[/tex] l'energia cinetica, la Lagrangiana del sistema è la funzione
[tex]$\mathcal{L}=T-V[/tex].
Direi che ha le dimensioni di una energia, a prescindere dalla scelta delle coordinate lagrangiane. Ma prendiamo l'Hamiltoniana:
[tex]$\mathcal{H}=\sum_{h}p_h\dot{q}_h-\mathcal{L}[/tex]
dove [tex]$q_1\ldots q_N[/tex] sono le coordinate lagrangiane e [tex]$p_h=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_h}}[/tex] sono i momenti coniugati.
Mi sono chiesto quali fossero le dimensioni di questa grandezza e sono arrivato alla conclusione che esse dipendono dalla scelta delle coordinate lagrangiane...mi sbaglio?
[tex]$\mathcal{L}=T-V[/tex].
Direi che ha le dimensioni di una energia, a prescindere dalla scelta delle coordinate lagrangiane. Ma prendiamo l'Hamiltoniana:
[tex]$\mathcal{H}=\sum_{h}p_h\dot{q}_h-\mathcal{L}[/tex]
dove [tex]$q_1\ldots q_N[/tex] sono le coordinate lagrangiane e [tex]$p_h=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_h}}[/tex] sono i momenti coniugati.
Mi sono chiesto quali fossero le dimensioni di questa grandezza e sono arrivato alla conclusione che esse dipendono dalla scelta delle coordinate lagrangiane...mi sbaglio?
Risposte
A dire di un mio docente: le coordinate lagrangiane possono essere anche prive di significato fisico in sé cioé essere solo concetti metafisici, per cui non misurabili nemmeno con qualche esperimento ideale (gedanken experimente). Ciò conclude al rispondere sì alla tua idea!
non dipende dalla scelta di coordinate lagrangiane; infatti in maniera molto spicciola puoi notare che in $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_h}}$$dot[q_h]$ le dimensioni di $dot[q_h]$ si elidono e rimangono solo le dimensioni di $L$
Certo, Mimmo, ho capito. Ti ringrazio.
La nuova domanda che pongo, allora, è questa: leggendo il libro di Goldstein, ho trovato scritto che
La nuova domanda che pongo, allora, è questa: leggendo il libro di Goldstein, ho trovato scritto che
"Goldstein 3a edizione, pag.346":L'autore insiste nel far notare che, a differenza della Lagrangiana, l'Hamiltoniana presenta forte dipendenza dalla scelta delle coordinate. E questo mi convince, solo non capisco cosa intenda per "magnitude"...
[dopo aver costruito due Hamiltoniane dello stesso sistema con scelte diverse delle coordinate]
The two Hamiltonians are different in magnitude.
Non è possibile che sia una questione di tipo dimensionale, forse se ci mostri il contesto a cui si riferisce la frase ... ( non ho il goldstein 
)
)
Allora, ecco qua:
Questo sistema consiste di un carrello che trasla uniformemente con velocità $v_0$; su di esso è fissata una massa $m$ collegata ad un estremo di una molla di costante elastica $k$. L'autore prende come coordinata Lagrangiana prima la $x$, poi la $x'$, ottenendo due Hamiltoniane $H, H'$.
Di queste, $H$ coincide con l'energia meccanica del sistema, e quindi non si conserva (questo sistema non è energeticamente isolato, come l'analogo "uomo su tapis roulant" di questo topic di Falco5x). Per la cronaca, è
$H=\frac{p^2}{2m}+k/2(x-v_0t)^2$.
L'altra Hamiltoniana, $H'$, ha espressione
$H'(x', p')=\frac{(p'-mv_0)^2}{2m}+\frac{kx'}{2}-\frac{mv_0^2}{2}$
non coincide con l'energia meccanica del sistema, si conserva ed è "different in magnitude, time dependence, functional behaviour" dalla prima. "Magnitude"=...?
Questo sistema consiste di un carrello che trasla uniformemente con velocità $v_0$; su di esso è fissata una massa $m$ collegata ad un estremo di una molla di costante elastica $k$. L'autore prende come coordinata Lagrangiana prima la $x$, poi la $x'$, ottenendo due Hamiltoniane $H, H'$.
Di queste, $H$ coincide con l'energia meccanica del sistema, e quindi non si conserva (questo sistema non è energeticamente isolato, come l'analogo "uomo su tapis roulant" di questo topic di Falco5x). Per la cronaca, è
$H=\frac{p^2}{2m}+k/2(x-v_0t)^2$.
L'altra Hamiltoniana, $H'$, ha espressione
$H'(x', p')=\frac{(p'-mv_0)^2}{2m}+\frac{kx'}{2}-\frac{mv_0^2}{2}$
non coincide con l'energia meccanica del sistema, si conserva ed è "different in magnitude, time dependence, functional behaviour" dalla prima. "Magnitude"=...?
come puoi notare, H' dimensionalmente è un'energia e "different in magnitude" potrebbe semplicemente significare : è descritta da grandezze differenti.
Si possono creare esempi più complicati in cui attraverso una trasformazione delle coordinate q=q(q',p') si mescolano p e q; quindi un sistema fisico può essere descritto da un'hamiltoniana complicatissima o da
p=p(q',p')
un'hamiltoniana semplicissima; il problema poi diventa il significato fisico delle p e q...
Si possono creare esempi più complicati in cui attraverso una trasformazione delle coordinate q=q(q',p') si mescolano p e q; quindi un sistema fisico può essere descritto da un'hamiltoniana complicatissima o da
p=p(q',p')
un'hamiltoniana semplicissima; il problema poi diventa il significato fisico delle p e q...
magnitude non significa mai, che io sappia, "dimensionalità", semmai "grandezza" nel senso stretto.
la frase va interpretata molto banalmente a mio avviso, al cambio di coordinate sia H che H' si conservano, ma il loro valore numerico è diverso, come del resto l'energia in diversi sistemi di riferimento.
la frase va interpretata molto banalmente a mio avviso, al cambio di coordinate sia H che H' si conservano, ma il loro valore numerico è diverso, come del resto l'energia in diversi sistemi di riferimento.
Scusa wedge, allora pongo anch'io una domanda; nel momento in cui applico il cambio di coordinate ad H allora questa non rappresenta più l'energia meccanica del sistema?
Certamente, basti pensare all'uso delle trasformazioni di Legendre in Termodinamica, tramite cui si ottengono molte funzioni, che sono totalmente diverse dall'energia meccanica del sistema...
"mimmo1988":E' proprio questo il punto su cui l'autore insiste molto. L'Hamiltoniana dipende dalla scelta delle coordinate al punto tale che con certe essa si conserva e con altre no.
nel momento in cui applico il cambio di coordinate ad H allora questa non rappresenta più l'energia meccanica del sistema?
Ho scoperto inoltre, consultando un altro libro - Advanced Dynamics di Greenwood - che alcuni autori chiamano l'Hamiltoniana, quando essa si conserva, energy integral - anche se Hamiltoniana ed energia meccanica non coincidono. Si tratta di casi in cui sistemi meccanici sono soggetti a vincoli dipendenti dal tempo, i quali scambiano energia con il sistema e quindi impediscono la conservazione dell'energia meccanica. In altri termini quello di Hamiltoniana è un concetto che estende quello di energia meccanica anche ad alcuni sistemi non conservativi in senso stretto, come ad esempio il treno con oscillatore armonico dell'esempio di Goldstein.
Questo tra l'altro ha perfettamente senso, visto che come notava Mimmo, l'Hamiltoniana ha sempre le dimensioni di una energia.
Concordo pienamente con quanto detto da wedge. Credo che il punto che sfugge a molti qui sia il fatto che il valore dell'hamiltoniana, quindi dell'energia meccanica di un sistema, dipende dal sistema di riferimento, quindi dalle coordinate, ma questo non crea alcun problema. Infatti ciò che conta fisicamente sono le differenze di energia, che non dipendono dal sistema di coordinate scelto.
Spero di essere stato chiaro
Spero di essere stato chiaro
Su tutto il resto sono d'accordo, ma su questo
no. Hamiltoniana ed energia meccanica, in genere, non coincidono. Proprio in questo topic ci sono degli esempi. Un altro esempio, forse più significativo, a questa pagina:
http://www.pv.infn.it/~biasi/dispense/c ... cap18.html
(grazie Luc@s per avere segnalato queste dispense).
"Fuda":
il valore dell'hamiltoniana, quindi dell'energia meccanica di un sistema
no. Hamiltoniana ed energia meccanica, in genere, non coincidono. Proprio in questo topic ci sono degli esempi. Un altro esempio, forse più significativo, a questa pagina:
http://www.pv.infn.it/~biasi/dispense/c ... cap18.html
(grazie Luc@s per avere segnalato queste dispense).
Hai ragione, mi sono sbagliato
Grazie della correzione
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