Le componenti di un vettore possono essere a loro volta scomposte?
Ho una domanda molto basilare sull'uso dei vettori in alcune situazioni dove la cosa mi confonde un po'.
Considerando ad esempio un oggetto libero su un piano inclinato, di norma la forza peso di un oggetto viene scomposta in una componente normale e una parallela al piano.
Tuttavia è un assurdità scomporre ulteriormente, sull'asse verticale y e orizzontale x, queste ultime due componenti?
L'oggetto sul piano di fatto accelera anche lungo l'asse x, tuttavia la forza è diretta solo sull'asse y: questo a causa della forma del vincolo. Per questo temo di dire una baggianata, ma è possibile farlo? Non si tratta di una "forzatura"?
Intendo dire, per trovare l'accelerazione dell'oggetto lungo l'asse x devo passare attraverso le componenti normale e tangenziale, che risultano però essere già una scomposizione di una forza, e non possono (almeno credo) essere considerate come due "nuove" forze diverse, da poter scomporre ulteriormente.
Situazione identica nel pendolo: anche in questo caso l'oggetto ha di fatto una componente di accelerazione diretta lungo l'asse x ma la forza peso è lungo y. Infatti si considerano le componenti "normale" e "tangenziale", ma potrebbero queste essere a loro volta scomposte orizzontalmente e verticalmente?
Dal punto di vista matematico la scomposizione in questo modo è lecita, tuttavia non sono sicuro del fatto che in questo modo si ottengano dei vettori con un corretto significato fisico.
Ringrazio in anticipo per i chiarimenti.
Considerando ad esempio un oggetto libero su un piano inclinato, di norma la forza peso di un oggetto viene scomposta in una componente normale e una parallela al piano.
Tuttavia è un assurdità scomporre ulteriormente, sull'asse verticale y e orizzontale x, queste ultime due componenti?
L'oggetto sul piano di fatto accelera anche lungo l'asse x, tuttavia la forza è diretta solo sull'asse y: questo a causa della forma del vincolo. Per questo temo di dire una baggianata, ma è possibile farlo? Non si tratta di una "forzatura"?
Intendo dire, per trovare l'accelerazione dell'oggetto lungo l'asse x devo passare attraverso le componenti normale e tangenziale, che risultano però essere già una scomposizione di una forza, e non possono (almeno credo) essere considerate come due "nuove" forze diverse, da poter scomporre ulteriormente.
Situazione identica nel pendolo: anche in questo caso l'oggetto ha di fatto una componente di accelerazione diretta lungo l'asse x ma la forza peso è lungo y. Infatti si considerano le componenti "normale" e "tangenziale", ma potrebbero queste essere a loro volta scomposte orizzontalmente e verticalmente?
Dal punto di vista matematico la scomposizione in questo modo è lecita, tuttavia non sono sicuro del fatto che in questo modo si ottengano dei vettori con un corretto significato fisico.
Ringrazio in anticipo per i chiarimenti.
Risposte
Mi limito a rispondere per il caso del piano inclinato, ma il discorso può essere esteso.
Il peso del corpo si scompone di solito in componente parallela e normale al piano inclinato, semplicemente perché il peso del corpo non è l'intero sistema di forze che agisce sul corpo.
Infatti se consideri il diagramma di corpo libero, vedi che le forze che agiscono sul corpo sono il peso, ma anche la reazione normale del piano (normale se siamo senza attrito).
Allora la scomposizione fatta in questo modo permette di trovare subito l'unica forza che in totale agisce sul corpo, che è quella parallela al piano, poiché la componente normale del peso è esattamente bilanciata dalla reazione del piano e le due forze spariscono.
Dunque nel caso di corpo che scivola lungo un piano inclinato, l'unica forza che agisce sul corpo è la componente parallela al piano. Non a caso il corpo accelera solo in quella direzione e non in direzione a essa normale.
A questo punto nulla vieta di scomporre a sua volta la componente parallela in componente x e y, se si vogliono fare calcoli particolari. Mentre invece la componente normale è come se non esistesse più perché è bilanciata dalla reazione del piano.
Naturalmente potresti scomporre anche quella secondo x e y, ma allora dovresti scomporre anche la reazione del piano, che darebbe componenti uguali e contrarie annullando le precedenti: un lavoro inutile.
Il peso del corpo si scompone di solito in componente parallela e normale al piano inclinato, semplicemente perché il peso del corpo non è l'intero sistema di forze che agisce sul corpo.
Infatti se consideri il diagramma di corpo libero, vedi che le forze che agiscono sul corpo sono il peso, ma anche la reazione normale del piano (normale se siamo senza attrito).
Allora la scomposizione fatta in questo modo permette di trovare subito l'unica forza che in totale agisce sul corpo, che è quella parallela al piano, poiché la componente normale del peso è esattamente bilanciata dalla reazione del piano e le due forze spariscono.
Dunque nel caso di corpo che scivola lungo un piano inclinato, l'unica forza che agisce sul corpo è la componente parallela al piano. Non a caso il corpo accelera solo in quella direzione e non in direzione a essa normale.
A questo punto nulla vieta di scomporre a sua volta la componente parallela in componente x e y, se si vogliono fare calcoli particolari. Mentre invece la componente normale è come se non esistesse più perché è bilanciata dalla reazione del piano.
Naturalmente potresti scomporre anche quella secondo x e y, ma allora dovresti scomporre anche la reazione del piano, che darebbe componenti uguali e contrarie annullando le precedenti: un lavoro inutile.
Grazie mille per la risposta!!
Se posso ancora chiedere, quindi è lecito, scomponendo la componente parallela al piano, arrivare ad ottenere una componente (della componente) della forza peso sull'asse orizzontale x, mentre P=mg è sempre rivolta lungo y?
Forse la componente parallela è da considerarsi "indipendente" dalla forza peso di cui è figlia, dal momento che la componente normale si è annullata?
Se posso ancora chiedere, quindi è lecito, scomponendo la componente parallela al piano, arrivare ad ottenere una componente (della componente) della forza peso sull'asse orizzontale x, mentre P=mg è sempre rivolta lungo y?
Forse la componente parallela è da considerarsi "indipendente" dalla forza peso di cui è figlia, dal momento che la componente normale si è annullata?
Quando tu hai scomposto la forza peso nelle sue componenti parallela e normale al piano, le componenti la sostituiscono completamente, quindi la forza originaria te la devi dimenticare.
Supponiamo che il piano sia inclinato di un angolo $\alpha$. La componente parallela è $F_p=mgsin\alpha$, la componente normale è $F_n=mgcos\alpha$. Poi però succede che la componente normale è equilibrata dalla reazione del piano, che risulta dunque uguale e contraria a essa. La somma delle due è dunque zero. Pertanto alla fine la sola e unica forza che agisce sul corpo è la $F_p=mgsin\alpha$. Il peso è stato in parte compensato, e questo è solo ciò che resta.
Se adesso vuoi sostituire questa unica forza con le componenti x e y, allora la puoi sostituire con $F_x=mgsin\alphacos\alpha$ e $F_y=mg(sin\alpha)^2$. In tal caso queste due forze sono tutto ciò che agisce sul corpo.
Supponiamo che il piano sia inclinato di un angolo $\alpha$. La componente parallela è $F_p=mgsin\alpha$, la componente normale è $F_n=mgcos\alpha$. Poi però succede che la componente normale è equilibrata dalla reazione del piano, che risulta dunque uguale e contraria a essa. La somma delle due è dunque zero. Pertanto alla fine la sola e unica forza che agisce sul corpo è la $F_p=mgsin\alpha$. Il peso è stato in parte compensato, e questo è solo ciò che resta.
Se adesso vuoi sostituire questa unica forza con le componenti x e y, allora la puoi sostituire con $F_x=mgsin\alphacos\alpha$ e $F_y=mg(sin\alpha)^2$. In tal caso queste due forze sono tutto ciò che agisce sul corpo.
Grazie ancora per il chiarimento, volevo solo fare un esempio di una situazione più complessa in cui mi perdo con un problema simile.
Si consideri un piano inclinato liscio libero di scorrere senza attrito sul piano orizzontale e un oggetto sul piano inclinato. Si calcolino le accelerazioni del piano e dell'oggetto rispetto al suolo.
Io ho tentato utilizzando la conservazione della quantità di moto orizzontale
$m \dot{x} +M \dot{X}=0$
Da cui
$m \ddot{x} +M \ddot{X}=0$
Ma poiché c'è moto relativo devo scrivere
$\ddot{x} = a_{relativa_x} + \dot{X}$
Ed è qui il problema. Io ho scritto $a_{relativa}$ così:
$a_{relativa_x}=-g cos(\alpha)sin(\alpha) $
Però usando le equazioni scritte ottengo
$\ddot{X}=\frac{g sin(\alpha) cos(\alpha) m }{M+m}$
Mentre la risposta è
$\ddot{X}=\frac{g sin(\alpha) cos(\alpha) m }{M+m sin^2(\alpha)}$
Inoltre, per determinare $\ddot{y}$ io ho considerato semplicemente la componente verticale della componente parallela
$\ddot{y}=-mg sin(\alpha) sin(\alpha)$
Ma invece dovrebbe essere
$\ddot{y}=\frac{-(m+M) Sin^2(\alpha) g }{M+mSin^2(\alpha) }$
Penso che utilizzare la conservazione della quantità di moto sia corretto, ma ho sbagliato a considerare le componenti, solo che non so dove.
Si consideri un piano inclinato liscio libero di scorrere senza attrito sul piano orizzontale e un oggetto sul piano inclinato. Si calcolino le accelerazioni del piano e dell'oggetto rispetto al suolo.
Io ho tentato utilizzando la conservazione della quantità di moto orizzontale
$m \dot{x} +M \dot{X}=0$
Da cui
$m \ddot{x} +M \ddot{X}=0$
Ma poiché c'è moto relativo devo scrivere
$\ddot{x} = a_{relativa_x} + \dot{X}$
Ed è qui il problema. Io ho scritto $a_{relativa}$ così:
$a_{relativa_x}=-g cos(\alpha)sin(\alpha) $
Però usando le equazioni scritte ottengo
$\ddot{X}=\frac{g sin(\alpha) cos(\alpha) m }{M+m}$
Mentre la risposta è
$\ddot{X}=\frac{g sin(\alpha) cos(\alpha) m }{M+m sin^2(\alpha)}$
Inoltre, per determinare $\ddot{y}$ io ho considerato semplicemente la componente verticale della componente parallela
$\ddot{y}=-mg sin(\alpha) sin(\alpha)$
Ma invece dovrebbe essere
$\ddot{y}=\frac{-(m+M) Sin^2(\alpha) g }{M+mSin^2(\alpha) }$
Penso che utilizzare la conservazione della quantità di moto sia corretto, ma ho sbagliato a considerare le componenti, solo che non so dove.
L'esercizio mentale migliore per risolvere questo problema è immaginare all'inizio il blocco a forma di cuneo M fermo, e il blocco m che scorre come soggetto a due forze: la forza di gravità verso il basso e la gravità apparente orizzontale dovuta al moto del blocco M (vedi accelerazioni nei moti relativi). In questo modo si calcola l'accelerazione relativa del blocco m in funzione di quella assoluta di M.
Il blocco m che scorre dunque si muove lungo il piano inclinato per cui calcoliamo la forza risultante (unica) parallela al piano (con segno positivo quando orientata verso destra-basso). E dico forza unica perché per quanto detto anche in un post precedente, la forza perpendicolare al piano inclinato viene completamente compensata dalla reazione d'appoggio del piano stesso, quindi sparisce. Solo scomponendo le forze attive lungo il piano elimino le forze che al momento non mi interessa calcolare e che non influiscono nel moto del blocco perché si annullano a vicenda:
$${F_p} = mg\sin \alpha + m\ddot X\cos \alpha $$
La possiamo scindere adesso nelle due componenti secondo x e y:
$$\eqalign{
& {F_x} = - {F_p}\cos \alpha \cr
& {F_y} = - {F_p}\sin \alpha \cr} $$
Dunque ricaviamo l'accelerazione relativa del blocco m in direzione x:
$${{\ddot x}_r} = \frac{{{F_x}}}
{m} = - g\sin \alpha \cos \alpha - \ddot X{\cos ^2}\alpha $$
Poi sapendo la relazione tra accelerazione relativa e accelerazione assoluta possiamo scrivere:
$$\eqalign{
& \ddot x = {{\ddot x}_r} + \ddot X = \ddot X - g\sin \alpha \cos \alpha - \ddot X{\cos ^2}\alpha = \ddot X\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) - g\sin \alpha \cos \alpha = \cr
& \ddot x = \ddot X{\sin ^2}\alpha - g\sin \alpha \cos \alpha \cr} $$
Ora per la conservazione della quantità di moto orizzontale abbiamo:
$$\eqalign{
& m\ddot x + M\ddot X = 0 \cr
& \ddot X = - \frac{m}
{M}\ddot x \cr} $$
Per cui sostituendo si ha:
$$\eqalign{
& \ddot x = - \frac{m}
{M}\ddot x{\sin ^2}\alpha - g\sin \alpha \cos \alpha \cr
& \ddot x = - \frac{{Mg\sin \alpha \cos \alpha }}
{{M + m{{\sin }^2}\alpha }} \cr} $$
Vediamo adesso cosa accade in direzione y:
$$\eqalign{
& \ddot y = -\frac{{{F_p}}}
{m}\sin \alpha = - g{\sin ^2}\alpha - \ddot X\cos \alpha \sin \alpha = - g{\sin ^2}\alpha + \frac{m}
{M}\ddot x\cos \alpha \sin \alpha \cr
& \ddot y = - g{\sin ^2}\alpha - \frac{{mg\sin \alpha \cos \alpha }}
{{M + m{{\sin }^2}\alpha }}\cos \alpha \sin \alpha = - g{\sin ^2}\alpha \left( {\frac{{M + m{{\sin }^2}\alpha + m{{\cos }^2}\alpha }}
{{M + m{{\sin }^2}\alpha }}} \right) \cr
& \ddot y = - \frac{{g{{\sin }^2}\alpha \left( {M + m} \right)}}
{{M + m{{\sin }^2}\alpha }} \cr} $$
Il blocco m che scorre dunque si muove lungo il piano inclinato per cui calcoliamo la forza risultante (unica) parallela al piano (con segno positivo quando orientata verso destra-basso). E dico forza unica perché per quanto detto anche in un post precedente, la forza perpendicolare al piano inclinato viene completamente compensata dalla reazione d'appoggio del piano stesso, quindi sparisce. Solo scomponendo le forze attive lungo il piano elimino le forze che al momento non mi interessa calcolare e che non influiscono nel moto del blocco perché si annullano a vicenda:
$${F_p} = mg\sin \alpha + m\ddot X\cos \alpha $$
La possiamo scindere adesso nelle due componenti secondo x e y:
$$\eqalign{
& {F_x} = - {F_p}\cos \alpha \cr
& {F_y} = - {F_p}\sin \alpha \cr} $$
Dunque ricaviamo l'accelerazione relativa del blocco m in direzione x:
$${{\ddot x}_r} = \frac{{{F_x}}}
{m} = - g\sin \alpha \cos \alpha - \ddot X{\cos ^2}\alpha $$
Poi sapendo la relazione tra accelerazione relativa e accelerazione assoluta possiamo scrivere:
$$\eqalign{
& \ddot x = {{\ddot x}_r} + \ddot X = \ddot X - g\sin \alpha \cos \alpha - \ddot X{\cos ^2}\alpha = \ddot X\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) - g\sin \alpha \cos \alpha = \cr
& \ddot x = \ddot X{\sin ^2}\alpha - g\sin \alpha \cos \alpha \cr} $$
Ora per la conservazione della quantità di moto orizzontale abbiamo:
$$\eqalign{
& m\ddot x + M\ddot X = 0 \cr
& \ddot X = - \frac{m}
{M}\ddot x \cr} $$
Per cui sostituendo si ha:
$$\eqalign{
& \ddot x = - \frac{m}
{M}\ddot x{\sin ^2}\alpha - g\sin \alpha \cos \alpha \cr
& \ddot x = - \frac{{Mg\sin \alpha \cos \alpha }}
{{M + m{{\sin }^2}\alpha }} \cr} $$
Vediamo adesso cosa accade in direzione y:
$$\eqalign{
& \ddot y = -\frac{{{F_p}}}
{m}\sin \alpha = - g{\sin ^2}\alpha - \ddot X\cos \alpha \sin \alpha = - g{\sin ^2}\alpha + \frac{m}
{M}\ddot x\cos \alpha \sin \alpha \cr
& \ddot y = - g{\sin ^2}\alpha - \frac{{mg\sin \alpha \cos \alpha }}
{{M + m{{\sin }^2}\alpha }}\cos \alpha \sin \alpha = - g{\sin ^2}\alpha \left( {\frac{{M + m{{\sin }^2}\alpha + m{{\cos }^2}\alpha }}
{{M + m{{\sin }^2}\alpha }}} \right) \cr
& \ddot y = - \frac{{g{{\sin }^2}\alpha \left( {M + m} \right)}}
{{M + m{{\sin }^2}\alpha }} \cr} $$
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