Lavoro speso da un generatore di f.e.m.
Supponiamo di avere un condensatore piano, tra le cui armature vi sia inizialmente il vuoto, collegato ad un generatore di f.e.m. che mantenga una d.d.p. costante. Introduciamo ora un dielettrico di costante $K$: la carica presente sulle armature e l'energia potenziale del sistema aumentano di $K$ volte. E fin qui è pacifico.
Ora il libro che sto leggendo osserva che il lavoro necessario a questo aumento di energia deve essere stato fornito dal generatore, ma avverte che i conti non torneranno. Infatti il lavoro speso dal generatore è -dice- $phi Delta q$ (credo sia ovvio il significato dei simboli), esattamente il doppio dell'aumento di energia del sistema. Evidentemente, conclude, metà di questo lavoro deve andare in lavoro meccanico o in calore.
Purtroppo non riesco a convincermi del motivo per cui il lavoro speso dal generatore debba essere proprio $phi Delta q$. Mi dareste una mano?
[EDIT] Il lavoro fornito dal generatore è il doppio dell'aumento di energia del sistema, non la metà.
Mi ero sbagliato.
Ora il libro che sto leggendo osserva che il lavoro necessario a questo aumento di energia deve essere stato fornito dal generatore, ma avverte che i conti non torneranno. Infatti il lavoro speso dal generatore è -dice- $phi Delta q$ (credo sia ovvio il significato dei simboli), esattamente il doppio dell'aumento di energia del sistema. Evidentemente, conclude, metà di questo lavoro deve andare in lavoro meccanico o in calore.
Purtroppo non riesco a convincermi del motivo per cui il lavoro speso dal generatore debba essere proprio $phi Delta q$. Mi dareste una mano?
[EDIT] Il lavoro fornito dal generatore è il doppio dell'aumento di energia del sistema, non la metà.
Mi ero sbagliato.
Risposte
Supponiamo che il condensatore piano abbia le armature rettangolari con a=profondità L=larghezza e vi sia d=distanza tra le armature. Supponiamo che il dielettrico di costante relativa k sia un parallelepipedo di dimensioni axLxd posto fuori delle armature, al limite delle stesse e pronto a scorrere tra esse per esservi inserito. In questa condizione il condensatore abbia capacità $C_0$. Quando il dielettrico è totalmente inserito il condensatore abbia capacità $C_1= kC_0$. Quando il dielettrico è inserito parzialmente, ad esempio per una larghezza x, il condensatore può essere considerato come due condensatori in paralelo, dei quali il primo largo x con costante dielettrica relativa k, il secondo largo (L-x) con costante relativa 1.
Dal punto di vista energetico, quando il dielettrico è parzialmente inserito l'energia immagazzinata nel condensatore è :
[tex]{U_c} = \frac{1}{2}{V^2}{\varepsilon _0}\left[ {\frac{{a\left( {L - x} \right)}}{d} + k\frac{{ax}}{d}} \right][/tex]
Poiché questa energia potenziale dipende dall'ascissa x, ciò signidica che esiste pure una forza che è la componente del suo gradiente in direzione x, ovvero la sua derivata parziale in questa direzione. Poiché il dielettrico si polarizza di segno inverso rispetto al segno della carica presente sulle armature, questa forza è attrattiva, ovvero ha la stessa direzione di x, almeno finché il dielettrico non risulta totalmente inserito. La forza dunque vale:
[tex]{F_x} = \frac{{dU}}{{dx}} = \frac{1}{2}{V^2}{\varepsilon _0}\frac{a}{d}\left( {k - 1} \right) = \frac{1}{2}{V^2}\frac{{\Delta C}}{L}[/tex]
Se il dielettrico inizialmente tenuto fermo ai margini del condensatore viene lasciato libero di muoversi senza attrito, succede che acquista energia cinetica, il massimo della quale dunque si ha quando il dieletttrico è completamente inserito e vale:
[tex]{T_0} = {F_x}L = \frac{1}{2}{V^2}\frac{{\Delta C}}{L}L = \frac{1}{2}\Delta C{V^2} = \frac{1}{2}V\Delta Q[/tex]
Si nota che l'energia cinetica massima è esattamente uguale all'incremento di energia immagazzinata nel condensatore, che naturalmente vale:
[tex]\Delta {U_{c0}} = \frac{1}{2}V\Delta Q[/tex]
La somma di queste due energie deve essere uguale all'energia fornita dal generatore, che infatti è:
[tex]\Delta {U_{g0}} = V\Delta Q[/tex]
A questo punto i conti tornano.
Se però nel nostro modello si lasciasse che il dielettrico proseguisse la sua corsa, esso oscillerebbe indefinitamente attorno al punto di equilibrio stabile (ovvero il centro del condensatore) e quindi uscendo ed entrando indefinitamente tra le armature. Nell'uscire restituirebbe al generatore l'energia cinetica che possiede sul punto di equilibrio, mentre entrando la riacquisterebbe.
Se immaginiamo adesso che la corsa del dielettrico venga smorzata da un mezzo dissipativo fino a esaurirsi esattamente nel punto di equilibrio, avremmo ottenuto il risultato di dissipare in calore proprio l'energia cinetica massima già calcolata.
Dunque a questo punto metà dell'energia fornita dal generatore viene immagazzinata nel condensatore in maniera reversibile (energia elettrostatica), mentre l'altra metà viene dissipata in calore.
Dal punto di vista energetico, quando il dielettrico è parzialmente inserito l'energia immagazzinata nel condensatore è :
[tex]{U_c} = \frac{1}{2}{V^2}{\varepsilon _0}\left[ {\frac{{a\left( {L - x} \right)}}{d} + k\frac{{ax}}{d}} \right][/tex]
Poiché questa energia potenziale dipende dall'ascissa x, ciò signidica che esiste pure una forza che è la componente del suo gradiente in direzione x, ovvero la sua derivata parziale in questa direzione. Poiché il dielettrico si polarizza di segno inverso rispetto al segno della carica presente sulle armature, questa forza è attrattiva, ovvero ha la stessa direzione di x, almeno finché il dielettrico non risulta totalmente inserito. La forza dunque vale:
[tex]{F_x} = \frac{{dU}}{{dx}} = \frac{1}{2}{V^2}{\varepsilon _0}\frac{a}{d}\left( {k - 1} \right) = \frac{1}{2}{V^2}\frac{{\Delta C}}{L}[/tex]
Se il dielettrico inizialmente tenuto fermo ai margini del condensatore viene lasciato libero di muoversi senza attrito, succede che acquista energia cinetica, il massimo della quale dunque si ha quando il dieletttrico è completamente inserito e vale:
[tex]{T_0} = {F_x}L = \frac{1}{2}{V^2}\frac{{\Delta C}}{L}L = \frac{1}{2}\Delta C{V^2} = \frac{1}{2}V\Delta Q[/tex]
Si nota che l'energia cinetica massima è esattamente uguale all'incremento di energia immagazzinata nel condensatore, che naturalmente vale:
[tex]\Delta {U_{c0}} = \frac{1}{2}V\Delta Q[/tex]
La somma di queste due energie deve essere uguale all'energia fornita dal generatore, che infatti è:
[tex]\Delta {U_{g0}} = V\Delta Q[/tex]
A questo punto i conti tornano.
Se però nel nostro modello si lasciasse che il dielettrico proseguisse la sua corsa, esso oscillerebbe indefinitamente attorno al punto di equilibrio stabile (ovvero il centro del condensatore) e quindi uscendo ed entrando indefinitamente tra le armature. Nell'uscire restituirebbe al generatore l'energia cinetica che possiede sul punto di equilibrio, mentre entrando la riacquisterebbe.
Se immaginiamo adesso che la corsa del dielettrico venga smorzata da un mezzo dissipativo fino a esaurirsi esattamente nel punto di equilibrio, avremmo ottenuto il risultato di dissipare in calore proprio l'energia cinetica massima già calcolata.
Dunque a questo punto metà dell'energia fornita dal generatore viene immagazzinata nel condensatore in maniera reversibile (energia elettrostatica), mentre l'altra metà viene dissipata in calore.
Ho avuto un po' di difficoltà ma in ultima analisi credo di avere capito. In pratica nel bilancio energetico bisogna considerare anche l'energia fornita dal generatore, che non mantiene gratis le ddp. Studiando il tuo esempio e facendo un po' di esercizi credo di aver afferrato un po' meglio la questione. Grazie Falco!
P.S.: Se qualcuno dovesse avere problemi analoghi ai miei, consiglio di leggere il paragrafo 4.9 del libro di Fisica 2 di Mazzoldi-Nigro-Voci, oitre naturalmente all'esempio di Falco. Per me sono stati illuminanti.
P.S.: Se qualcuno dovesse avere problemi analoghi ai miei, consiglio di leggere il paragrafo 4.9 del libro di Fisica 2 di Mazzoldi-Nigro-Voci, oitre naturalmente all'esempio di Falco. Per me sono stati illuminanti.
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