Lavoro per trasportare carica dentro sfera
Salve, sono di nuovo qui a chiedere consigli a voi..
Ho un esercizio che mi chiede di calcolarmi il lavoro per portare all'interno di una sfera cava una carica Q.
Come dati avevo il raggio interno (Ra) ,il raggio esterno (Rb) e la carica Q.
Ho svolto l'esercizio utilizzando il potenziale, ma da quanto ho capito è sbagliato
Ho provato a risolverlo con la formula U= 1/2 * empsilon * E^2
Con gauss mi sono trovato il campo elettrico prima da +infinito a Rb, poi da Rb a Ra.
Trovato E ho applicato la formula:
U= 1/2 * empsilon * E^2
Il lavoro:
W = -U
Mi sapreste dire perche è sbagliato a livello concettuale?
e sopratutto come posso risolverlo utilizzando sempre il potenziale?
Mi è stata suggerita una formula che sinceramente non ho mai visto e non la ricordo.. ricordo solo che iniziava con dU = v...
Ho provato a cercarla sul web ma senza risultati (avrò sbagliato nella ricerca, non so)
Ho un esercizio che mi chiede di calcolarmi il lavoro per portare all'interno di una sfera cava una carica Q.
Come dati avevo il raggio interno (Ra) ,il raggio esterno (Rb) e la carica Q.
Ho svolto l'esercizio utilizzando il potenziale, ma da quanto ho capito è sbagliato
Ho provato a risolverlo con la formula U= 1/2 * empsilon * E^2
Con gauss mi sono trovato il campo elettrico prima da +infinito a Rb, poi da Rb a Ra.
Trovato E ho applicato la formula:
U= 1/2 * empsilon * E^2
Il lavoro:
W = -U
Mi sapreste dire perche è sbagliato a livello concettuale?
e sopratutto come posso risolverlo utilizzando sempre il potenziale?
Mi è stata suggerita una formula che sinceramente non ho mai visto e non la ricordo.. ricordo solo che iniziava con dU = v...
Ho provato a cercarla sul web ma senza risultati (avrò sbagliato nella ricerca, non so)
Risposte
Quella formula che tu hai applicato è la densità di energia...non l'energia elettrostatica...
E come posso risolvere l'esercizio con l'energia?
Devo fare un integrale da 0 a Q in dq giusto?
Devo fare un integrale da 0 a Q in dq giusto?
Hai provato a svolgere il seguente integrale?
$\int_{R_a}^{R_b}1/2epsilon_(0)1/(16pi^2epsilon_0^2)Q^2/r^(4)4pir^2dr=Q^2/(8piepsilon_0)\int_{R_a}^{R_b}1/r^2dr=Q^2/(8piepsilon_0)(1/R_b-1/R_a)$
$\int_{R_a}^{R_b}1/2epsilon_(0)1/(16pi^2epsilon_0^2)Q^2/r^(4)4pir^2dr=Q^2/(8piepsilon_0)\int_{R_a}^{R_b}1/r^2dr=Q^2/(8piepsilon_0)(1/R_b-1/R_a)$
Magari se scrivi la traccia completa si capiscono più informazioni...=)
speculor: si ho provato a risolverlo come dici tu ma è errato..
Il testo:
Calcolare il lavoro necessario per distribuire uniformemente una carica Q all'interno di un guscio sferico, posto nel vuoto, di raggio interno a e raggio interno b.
Il testo:
Calcolare il lavoro necessario per distribuire uniformemente una carica Q all'interno di un guscio sferico, posto nel vuoto, di raggio interno a e raggio interno b.
"giga.91":
Ho un esercizio che mi chiede di calcolarmi il lavoro per portare all'interno di una sfera cava una carica Q.
Avevo interpretato il testo nel senso di portare nel centro di una sfera cava conduttrice una carica puntiforme Q.
"giga.91":
Calcolare il lavoro necessario per distribuire uniformemente una carica Q all'interno di un guscio sferico.
Immagino che la carica debba essere distribuita uniformemente nello spazio compreso tra le due superfici sferiche. In questo caso, piuttosto che integrare la densità di energia $[1/2epsilon_0E^2]$, conviene decisamente rifarsi al concetto di potenziale e calcolare il seguente integrale:
$[rho=Q/(4/3piR_b^3-4/3piR_a^3)] rarr [rho=(3Q)/(4pi(R_b^3-R_a^3))]$
$[Q(r)=rho4/3pi(r^3-R_a^3)] ^^ [dQ=rho4pir^2dr] ^^ [dW=1/(4piepsilon_0)*(rho4/3pi(r^3-R_a^3))/r*rho4pir^2dr]$
$[W=\int_{R_a}^{R_b}1/(4piepsilon_0)*(rho4/3pi(r^3-R_a^3))/r*rho4pir^2dr] rarr [W=(4pirho^2)/(3epsilon_0)\int_{R_a}^{R_b}(r^4-R_a^3r)dr]$
Mi spiegheresti piu in particolare il ragionamento che fai per arrivarci?
E sopratutto, visto che ho fatto confusione usando la densità di energia, mi potresti far capire quando usarle queste formule?
Grazie mille per l'aiuto, questo è stato compito di esame... che non ho passato
E sopratutto, visto che ho fatto confusione usando la densità di energia, mi potresti far capire quando usarle queste formule?
Grazie mille per l'aiuto, questo è stato compito di esame... che non ho passato
Questa è la densità $[rho]$, calcolata come rapporto tra la carica e il volume, non dovrebbe essere un problema:
$[rho=Q/(4/3piR_b^3-4/3piR_a^3)] rarr [rho=(3Q)/(4pi(R_b^3-R_a^3))]$
Questa è la carica $[Q(r)]$ che hai già accumulato per riempire la regione compresa tra la superficie di raggio $[R_a]$ e la superficie di raggio $[r]$ generico:
$[Q(r)=rho4/3pi(r^3-R_a^3)]$
Questa è la carica elementare aggiuntiva $[dQ]$ che devi trasportare dall'infinito per riempire un ulteriore strato sferico di raggio elementare $[dr]$:
$[dQ=rho4pir^2dr]$
Questo è il lavoro elementare $[dW]$ che bisogna compiere per trasportare dall'infinito la carica elementare aggiuntiva $[dQ]$, considerando il fatto che il potenziale del campo generato dalla carica già accumulata $[Q(r)]$ è equivalente a quello di una carica puntiforme $[Q(r)]$ posta nel centro del sistema ($[dW=VdQ=1/(4piepsilon_0)(Q(r))/rdQ]$):
$[dW=1/(4piepsilon_0)*(rho4/3pi(r^3-R_a^3))/r*rho4pir^2dr]$
Per calcolare il lavoro necessario ad accumulare la carica complessiva, bisogna integrare tra $[r=R_a]$ e $[r=R_b]$:
$[W=\int_{R_a}^{R_b}1/(4piepsilon_0)*(rho4/3pi(r^3-R_a^3))/r*rho4pir^2dr] rarr [W=(4pirho^2)/(3epsilon_0)\int_{R_a}^{R_b}(r^4-R_a^3r)dr]$
Puoi aiutarti con la figura. A proposito dell'opportunità di utilizzare la densità di energia, purtroppo non ci sono regole generali. Tuttavia, mentre l'impostazione dell'integrale è piuttosto semplice, dopo aver calcolato il campo s'intende, la sua valutazione può risultare estremamente laboriosa. Insomma, specialmente per gli studenti alle prime armi, può convenire sempre impostare l'integrale con la densità di energia. Quindi, valutare se è il caso di portarlo a termine oppure rivolgersi a metodi alternativi che, seppur più complessi da impostare, portano a calcoli estremamente più semplici.
$[rho=Q/(4/3piR_b^3-4/3piR_a^3)] rarr [rho=(3Q)/(4pi(R_b^3-R_a^3))]$
Questa è la carica $[Q(r)]$ che hai già accumulato per riempire la regione compresa tra la superficie di raggio $[R_a]$ e la superficie di raggio $[r]$ generico:
$[Q(r)=rho4/3pi(r^3-R_a^3)]$
Questa è la carica elementare aggiuntiva $[dQ]$ che devi trasportare dall'infinito per riempire un ulteriore strato sferico di raggio elementare $[dr]$:
$[dQ=rho4pir^2dr]$
Questo è il lavoro elementare $[dW]$ che bisogna compiere per trasportare dall'infinito la carica elementare aggiuntiva $[dQ]$, considerando il fatto che il potenziale del campo generato dalla carica già accumulata $[Q(r)]$ è equivalente a quello di una carica puntiforme $[Q(r)]$ posta nel centro del sistema ($[dW=VdQ=1/(4piepsilon_0)(Q(r))/rdQ]$):
$[dW=1/(4piepsilon_0)*(rho4/3pi(r^3-R_a^3))/r*rho4pir^2dr]$
Per calcolare il lavoro necessario ad accumulare la carica complessiva, bisogna integrare tra $[r=R_a]$ e $[r=R_b]$:
$[W=\int_{R_a}^{R_b}1/(4piepsilon_0)*(rho4/3pi(r^3-R_a^3))/r*rho4pir^2dr] rarr [W=(4pirho^2)/(3epsilon_0)\int_{R_a}^{R_b}(r^4-R_a^3r)dr]$
Puoi aiutarti con la figura. A proposito dell'opportunità di utilizzare la densità di energia, purtroppo non ci sono regole generali. Tuttavia, mentre l'impostazione dell'integrale è piuttosto semplice, dopo aver calcolato il campo s'intende, la sua valutazione può risultare estremamente laboriosa. Insomma, specialmente per gli studenti alle prime armi, può convenire sempre impostare l'integrale con la densità di energia. Quindi, valutare se è il caso di portarlo a termine oppure rivolgersi a metodi alternativi che, seppur più complessi da impostare, portano a calcoli estremamente più semplici.
salve, non riesco a capire a cosa serve r generico.
se nel guscio sferico non è presente nessuna carica cos'è Q(r) già accumulata?
dQ carica aggiuntiva cosa significa? dovrebbe essere presente solo Q che è la carica che dall'infinito dovremmo portare e distribuire uniformemente all'interno del guscio (cioè dentro il volume compreso tra il guscio interno e quello esterno)..
sono in confusione... help me
se nel guscio sferico non è presente nessuna carica cos'è Q(r) già accumulata?
dQ carica aggiuntiva cosa significa? dovrebbe essere presente solo Q che è la carica che dall'infinito dovremmo portare e distribuire uniformemente all'interno del guscio (cioè dentro il volume compreso tra il guscio interno e quello esterno)..
sono in confusione... help me
io l'ho svolto così:
V=(K*Q)*[(1/Rf)-(1/Ri)]
Rf: distanza finale ; Ri: distanza iniziale
Rf=Rb-Ra ; Ri=oo
V=(k*Q)*[(1/Rf)-(1/oo)] ----------------------> V=(K*Q)*[(1/Rf)-(0)] ---------> V=(K*Q)/(Rb-Ra)
==========> W=U=V*Q=[k*(Q^2)]/(Rb-Ra)
anche se penso sia totalmente sbagliato
V=(K*Q)*[(1/Rf)-(1/Ri)]
Rf: distanza finale ; Ri: distanza iniziale
Rf=Rb-Ra ; Ri=oo
V=(k*Q)*[(1/Rf)-(1/oo)] ----------------------> V=(K*Q)*[(1/Rf)-(0)] ---------> V=(K*Q)/(Rb-Ra)
==========> W=U=V*Q=[k*(Q^2)]/(Rb-Ra)
anche se penso sia totalmente sbagliato
help me.... mercoledi ho l'esame... 
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