Lavoro forze esterne
Buongiorno a tutti.
Gentilmente vado a porre il seguente quesito:
Considerato un sistema finito di particelle, le cui mutue distanze non possono variare(modello di corpo rigido).
Su ogni particella agiscono delle forze(interne ed esterne). Ammesso che le forze interne non compiono lavoro, come posso dimostrare che il lavoro risultante, ossia la somma dei singoli lavori delle forze esterne è pari al lavoro compiuto dalla risultante applicata al centro di massa e dal momento risultante nella rotazione intorno al centro di massa?
é molto difficile?
Strano che il mencuccini non riporti questa dimostrazione.
Da dove posso partire?
Questo è quello che scriverei:
considerato lo spostamento infinitesimo $\vecds_k$ della k-esima particella, e considerata la risultante$\vecF_(e,k)$ delle forze esterne che agiscono sulla k-esima particella avrei che il lavoro totale è:
$\dL=sum_{k} vecF_(e,k),vecds_k =sum_{k} m_kveca_k,vecds_k =sum_{k} m_kvec(dv_k)/(dt),vecds_k =sum_{k} m_kvecdv_k,vec(ds_k)/(dt) =sum_{k} m_kvecdv_k,vecv_k$ Ora forse dovrei provare ad esprimere $\vecv_k$ come rispetto al centro di massa g $\vecv_k=vec(v_g) + vecomega ^^ vecrho_k$ con $\rho_k$ distanza della particella dal cdm..
Sono sulla buona strada? per favore un consiglio. Oppure un testo o un link alla trattazione già svolta, su internet non ho trovato nulla.
Grazie mille.
Gentilmente vado a porre il seguente quesito:
Considerato un sistema finito di particelle, le cui mutue distanze non possono variare(modello di corpo rigido).
Su ogni particella agiscono delle forze(interne ed esterne). Ammesso che le forze interne non compiono lavoro, come posso dimostrare che il lavoro risultante, ossia la somma dei singoli lavori delle forze esterne è pari al lavoro compiuto dalla risultante applicata al centro di massa e dal momento risultante nella rotazione intorno al centro di massa?
é molto difficile?
Strano che il mencuccini non riporti questa dimostrazione.
Da dove posso partire?
Questo è quello che scriverei:
considerato lo spostamento infinitesimo $\vecds_k$ della k-esima particella, e considerata la risultante$\vecF_(e,k)$ delle forze esterne che agiscono sulla k-esima particella avrei che il lavoro totale è:
$\dL=sum_{k} vecF_(e,k),vecds_k =sum_{k} m_kveca_k,vecds_k =sum_{k} m_kvec(dv_k)/(dt),vecds_k =sum_{k} m_kvecdv_k,vec(ds_k)/(dt) =sum_{k} m_kvecdv_k,vecv_k$ Ora forse dovrei provare ad esprimere $\vecv_k$ come rispetto al centro di massa g $\vecv_k=vec(v_g) + vecomega ^^ vecrho_k$ con $\rho_k$ distanza della particella dal cdm..
Sono sulla buona strada? per favore un consiglio. Oppure un testo o un link alla trattazione già svolta, su internet non ho trovato nulla.
Grazie mille.
Risposte
Ragazzi penso di aver risolto.
A voi sembrerà poco ma io c'ho messo un pomeriggio intero.
Quando torno a casa posto, per chiedere conferma. Mi parte l'autobus tra poco.
Ciao
A voi sembrerà poco ma io c'ho messo un pomeriggio intero.
Quando torno a casa posto, per chiedere conferma. Mi parte l'autobus tra poco.
Ciao
la strada era giusta
Dunque, rivedendo bene i miei appunti ho visto che in verità ho risolto solo metà..si magari, un quinto del problema.
Infatti:
$dL=\sum_{k} = \sum_{k} + \sum_{k}$.
Ora nell'ipotesi che il moto sia piano e che $vecv_g=vec0$ cioè centro di massa fermo, la prima sommatoria è nulla(e grazie
), nella seconda l'ipotesi di rigidità impone che $dvecv_k$ sia parallelo a $vecomega^^rho_k$, infatti $vecv_g-vecv_k$deve essere perpendicolare alla congiungente i due punti cioè$vecrho_k$, quindi la sommatoria diventa:
$\sum_{k}m_kdv_(k)omegarho_k= \sum_{k}m_kdomegarho_(k)omegarho_k= \sum_{k}m_krho_(k)^2omegadomega$
Se poi integriamo troviamo la famosa $L=1/2\sum_{k}m_krho_(k)^2(omega_f^2-omega_i^2)$ che nel caso di corpo continuo é
$L=1/2I_(g)(omega_f^2-omega_i^2)$.
Ok.
Nello spazio le cose devono essere più complicate, quindi pur rimanendo nel piano cosa posso dire per $vecv_(g)!=vec0$
cioè mi sembra intuitivo che la sommatoria che prima si annullava ora non si annulla più e che proprio quella sommatoria cioè $\sum_{k}$ debba essere uguale a $1/2m_(t ot)(v_(g,f)^2-v_(g,i)^2)$. Inoltre nel caso $vecv_(g)!=vec0$ non è detto che $dvecv_k$ sia parallela a $vecomega^^vecrho_k$, quindi anche $\sum_{k}$ non ha un risultato scontato.
Come posso andare avanti?
Grazie
Infatti:
$dL=\sum_{k}
Ora nell'ipotesi che il moto sia piano e che $vecv_g=vec0$ cioè centro di massa fermo, la prima sommatoria è nulla(e grazie
), nella seconda l'ipotesi di rigidità impone che $dvecv_k$ sia parallelo a $vecomega^^rho_k$, infatti $vecv_g-vecv_k$deve essere perpendicolare alla congiungente i due punti cioè$vecrho_k$, quindi la sommatoria diventa:$\sum_{k}m_kdv_(k)omegarho_k= \sum_{k}m_kdomegarho_(k)omegarho_k= \sum_{k}m_krho_(k)^2omegadomega$
Se poi integriamo troviamo la famosa $L=1/2\sum_{k}m_krho_(k)^2(omega_f^2-omega_i^2)$ che nel caso di corpo continuo é
$L=1/2I_(g)(omega_f^2-omega_i^2)$.
Ok.
Nello spazio le cose devono essere più complicate, quindi pur rimanendo nel piano cosa posso dire per $vecv_(g)!=vec0$
cioè mi sembra intuitivo che la sommatoria che prima si annullava ora non si annulla più e che proprio quella sommatoria cioè $\sum_{k}
Come posso andare avanti?
Grazie
Dunque, il problema era tutto sommato abbastanza semplice, invece mi sono complicato la vita.
Infatti la velocità della k-esima particella si può scrivere come:
$ vecv_k=vecv_(g)+vecv_(k|g)=vecv_(g)+vecomegaxxvecrho_k $ ma si può osservare che la sommatoria delle $vecv_(k|g)$, cioè la somma delle velocità di k intorno a g sia nulla.
Quindi eravamo rimasti a:
$dL=\sum_{k} =\sum_{k}$;
$dL=\sum_{k} + \sum_{k} + \sum_{k} +$
$+\sum_{k}$.
Per quanto detto su la seconda e la terza sommatoria sono pari a zero.
Ora continuare è abbastanza semplice.
Volevo però fare la seguente domanda:
consideriamo il centro di massa, ma possiamo considerare anche un altro punto.
Ora sempre per uno spostamento infinitesimo abbiamo $dL= = ma_(g t)ds_(g)$ indicando con $a_(g t)$ la componente dell'accelerazione parallela allo spostamento.
Dunque $ma_(g t)ds_(g)=mdv_(g)v_g$ essendo $a_(g t)=(dv_(g))/(dt)$. Ora possiamo osservare che $ = $ che chiaramente sarà ancora uguale a $mdv_(g)v_g$
Ma allora sorge spontanea la domanda $dvecv_g$ è sempre parallelo a $vecv_g$?? è chiaro che non può essere così,ma d'altronde il prodotto scalare mi suggerisce proprio questa conclusione.
Potete dirmi dov'è l'errore?
Grazie
Infatti la velocità della k-esima particella si può scrivere come:
$ vecv_k=vecv_(g)+vecv_(k|g)=vecv_(g)+vecomegaxxvecrho_k $ ma si può osservare che la sommatoria delle $vecv_(k|g)$, cioè la somma delle velocità di k intorno a g sia nulla.
Quindi eravamo rimasti a:
$dL=\sum_{k}
$dL=\sum_{k}
$+\sum_{k}
Per quanto detto su la seconda e la terza sommatoria sono pari a zero.
Ora continuare è abbastanza semplice.
Volevo però fare la seguente domanda:
consideriamo il centro di massa, ma possiamo considerare anche un altro punto.
Ora sempre per uno spostamento infinitesimo abbiamo $dL=
Dunque $ma_(g t)ds_(g)=mdv_(g)v_g$ essendo $a_(g t)=(dv_(g))/(dt)$. Ora possiamo osservare che $
Ma allora sorge spontanea la domanda $dvecv_g$ è sempre parallelo a $vecv_g$?? è chiaro che non può essere così,ma d'altronde il prodotto scalare mi suggerisce proprio questa conclusione.
Potete dirmi dov'è l'errore?
Grazie
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