Lavoro e conservazione del momento angolare
Una piattaforma,avente la forma di un disco circolare,ruota senza attrito in un piano orizzontale intorno a un asse verticale.La piattaforma ha raggio R e massa M . Uno studente , la cui massa è m si sposta lentamente dal bordo della piattaforma verso il centro . Se il sistema ha velocità angolare omega quando lo studente è al bordo,mostrare che l'aumento di energia cinetica può essere calcolato con il teorema lavoro energia .
Il problema è stato precedentemente risolto in altra maniera quindi non mi interessano altre vie ..
W= variazione di energia cinetica rotazionale (in questo caso) .
Il mio problema ,quindi , è determinare W . Non ho soluzioni e inoltre suppongo fortemente che quello che ho in mente non va bene . W=T*tetha
dove T è il momento meccanico totale . Purtroppo non penso sia costante dato che il tizio sulla piattaforma si muove modificando il momento di inerzia e visto che T=I*alfa anche T varia ..
Per alfa potrei tentare qualche formula cinematica ..ad esempio W=I*alfa*tetha
e omega^2=omega_0^2+2alfa*tetha
dove omega iniziale e finale li posso ricavare .In pratica posso ottenere alfa*tetha come unica incognita però che momento d'inerzia I posso utilizzare ? è un po come in una trasformazione isoterma in termodinamica in cui la pressione varia e quindi W non me lo posso calcolare semplicemente con p*deltaV..
Forse W=(I_f-I_i)*alfa*tetha ??
Il problema è stato precedentemente risolto in altra maniera quindi non mi interessano altre vie ..
W= variazione di energia cinetica rotazionale (in questo caso) .
Il mio problema ,quindi , è determinare W . Non ho soluzioni e inoltre suppongo fortemente che quello che ho in mente non va bene . W=T*tetha
dove T è il momento meccanico totale . Purtroppo non penso sia costante dato che il tizio sulla piattaforma si muove modificando il momento di inerzia e visto che T=I*alfa anche T varia ..
Per alfa potrei tentare qualche formula cinematica ..ad esempio W=I*alfa*tetha
e omega^2=omega_0^2+2alfa*tetha
dove omega iniziale e finale li posso ricavare .In pratica posso ottenere alfa*tetha come unica incognita però che momento d'inerzia I posso utilizzare ? è un po come in una trasformazione isoterma in termodinamica in cui la pressione varia e quindi W non me lo posso calcolare semplicemente con p*deltaV..
Forse W=(I_f-I_i)*alfa*tetha ??
Risposte
l'aumento di energia cinetica è dovuto al lavoro positivo L fatto dallo studente contro la forza centrifuga nell'andare dal bordo al centro
quando si trova a distanza r dal centro,la forza centrifuga $f_r$ vale $momega^2r$ con $omega$ verificante l'equazione
$Iomega_0+momega_0R^2=Iomega+momegar^2$
$ L=int_(0)^(R) f_r dr $
p.s. ho fatto tutti i calcoli ed il ragionamento è corretto
quando si trova a distanza r dal centro,la forza centrifuga $f_r$ vale $momega^2r$ con $omega$ verificante l'equazione
$Iomega_0+momega_0R^2=Iomega+momegar^2$
$ L=int_(0)^(R) f_r dr $
p.s. ho fatto tutti i calcoli ed il ragionamento è corretto
Ricapitolando , il tizio trovandosi in un sistema non inerziale (accelerato) deve compiere una forza uguale e opposta a quella che sente (la centrifuga) per muoversi .Facendolo si muove e quindi fa del lavoro . Se faccio l'integrale della forza per lo spostamento ottengo il lavoro totale nel tratto in cui si è mosso . Adesso ,sempre se ho capito tutto quello che hai detto, la forza in questione è quindi la centrifuga che va sotto integrale . Probabilmente sarà una domanda stupida ma se sotto l'integrale ci metto m*omega^2 *r non ho due variabili (r e omega) ?? Cioè , in altre parole , non sono in grado di integrare quell'espressione ..ho tentato di ricondurmi ad un'espressione che presentasse una sola variabile ma non ci sono riuscito ..!
L'integrale , poi , va valutato da R=2 (iniziale) a R=0.5 (finale) ; giusto ?? Non ho problemi di incognite perchè conosco sia omega che R negli stati iniziale e finale ma ottenendo un'integrale con sotto una funzione di due variabili non sono in grado di andare avanti ! Se riuscissi ad ottenere un'integrale ad una variabile potrei ottenere un'espressione rappresentante un delta tramite le classiche regole di integrazione in modo tale da calcolare il lavoro
Quindi , il problema fondamentale è che io concepisco due variabili ossia r e omega ..almeno credo! Scusa se sono stato molto descrittivo ma generalmente tendo a crearmi problemi che non esistono quindi ,probabilmente , quello che sto scrivendo non avrà senso però voglio chiarire cos'è che mi turba XD
Ti ringrazio per la preziosa risposta (la domanda è come svolgere l'integrale)!
L'integrale , poi , va valutato da R=2 (iniziale) a R=0.5 (finale) ; giusto ?? Non ho problemi di incognite perchè conosco sia omega che R negli stati iniziale e finale ma ottenendo un'integrale con sotto una funzione di due variabili non sono in grado di andare avanti ! Se riuscissi ad ottenere un'integrale ad una variabile potrei ottenere un'espressione rappresentante un delta tramite le classiche regole di integrazione in modo tale da calcolare il lavoro
Quindi , il problema fondamentale è che io concepisco due variabili ossia r e omega ..almeno credo! Scusa se sono stato molto descrittivo ma generalmente tendo a crearmi problemi che non esistono quindi ,probabilmente , quello che sto scrivendo non avrà senso però voglio chiarire cos'è che mi turba XD
Ti ringrazio per la preziosa risposta (la domanda è come svolgere l'integrale)!
non è un integrale in due variabili perchè $omega$ è funzione di $r$
dall'equazione che ho scritto prima dell'integrale si ha
$omega=frac{omega_0(I+mR^2)}{I+mr^2}$
dall'equazione che ho scritto prima dell'integrale si ha
$omega=frac{omega_0(I+mR^2)}{I+mr^2}$
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