Lavoro di una forza costante
Ciao a tutti
Qualcuno saprebbe mostrarmi come mai il lavoro di una Forza $F$ costante e sempre diretta lungo l'orizzontale è uguale a $FR$ in questo caso?
Al di là della forza peso (ci troviamo in un piano verticale), della forza elastica e della forza d'attrito,
devo calcolare il lavoro di questa forza costante, come detto dianzi, lungo questo arco di circonferenza di raggio $R$ (corrispondente ad un quarto di circonferenza).
So dunque che la curva $gamma$ è uguale a:
$gamma(t)= (Rcos(t) ; Rsin(t))$
$t in [0, pi/2]$
Non capisco come l'integrale possa risultare uguale a $FR$.
Ringrazio chiunque sia in grado di mostrarmi il calcolo dell'integrale di $F$ lungo la curva $gamma$
Qualcuno saprebbe mostrarmi come mai il lavoro di una Forza $F$ costante e sempre diretta lungo l'orizzontale è uguale a $FR$ in questo caso?
Al di là della forza peso (ci troviamo in un piano verticale), della forza elastica e della forza d'attrito,
devo calcolare il lavoro di questa forza costante, come detto dianzi, lungo questo arco di circonferenza di raggio $R$ (corrispondente ad un quarto di circonferenza).
So dunque che la curva $gamma$ è uguale a:
$gamma(t)= (Rcos(t) ; Rsin(t))$
$t in [0, pi/2]$
Non capisco come l'integrale possa risultare uguale a $FR$.
Ringrazio chiunque sia in grado di mostrarmi il calcolo dell'integrale di $F$ lungo la curva $gamma$
Risposte
La componente verticale dello spostamento si annulla nel prodotto scalare, così ti resta da calcolare
$int_0^(pi/2) F*Rcos(t)dt = FR$
$int_0^(pi/2) F*Rcos(t)dt = FR$
Un altro modo di vedere la faccenda e' che la forza F e' costante, e pertanto conservativa.
Il lavoro non dipende dal percorso, e quindi per arrivare all'estremo superiore della circonferenza puoi compierlo, del tutto arbitrariamente, spostandoti prima sul segmento tratteggiato orizzonatale, verso il centro del circonferenza, dove la F compie lavoro FR; dopodiche dal centro verso l'estremo finale della circonferenza lungo il segmento tratteggiato verticale, percorso lungo il quale il lavoro e' nullo.
E quindi il lavoro totale e' FR
Il lavoro non dipende dal percorso, e quindi per arrivare all'estremo superiore della circonferenza puoi compierlo, del tutto arbitrariamente, spostandoti prima sul segmento tratteggiato orizzonatale, verso il centro del circonferenza, dove la F compie lavoro FR; dopodiche dal centro verso l'estremo finale della circonferenza lungo il segmento tratteggiato verticale, percorso lungo il quale il lavoro e' nullo.
E quindi il lavoro totale e' FR
"professorkappa":
Un altro modo di vedere la faccenda e' che la forza F e' costante, e pertanto conservativa.
Grazie per avermi fatto notare ciò.
Dai un occhio al mio commento nello spazio sottostante se ti va.
"mgrau":
La componente verticale dello spostamento si annulla nel prodotto scalare, così ti resta da calcolare
$int_0^(pi/2) F*Rcos(t)dt = FR$
l'integrale non dovrebbe essere siffatto:
$int_0^(pi/2) F(gamma(t))*gamma'(t)dt$
da cui
$int_0^(pi/2) F*(-sin(t)+cos(t))dt$
?
"anonymous_f3d38a":
l'integrale non dovrebbe essere siffatto:
$int_0^(pi/2) F(gamma(t))*gamma'(t)dt$
?
Dov'è il prodotto scalare?
E comunque, come dice @profk, non c'è nessun bisogno di integrare: il mio suggerimento era solo per seguire la tua richiesta.
Pensa il caso di un campo gravitazionale, e un un corpo che scende da un punto a un altro: come è noto, per trovare il lavoro conta solo il dislivello, e non il percorso particolare seguito
Cosa e' una forza, sostanzialmente e' il flusso della quantita' di moto associato a v vista come un potenziale.
Ora il lavoro e' una forza per uno spostamento, chiaramente tutto sara' nella direzione del flusso di energia trasportato dalla quantita' di moto.
Non c'e' flusso verticalmente e non c' e' spostamento rispetto alla forza che consideri.
C'e' spostamento e lavoro se consideri la forza di gravita', ma ancora forza e spostamento hanno la stessa direzione
Ora il lavoro e' una forza per uno spostamento, chiaramente tutto sara' nella direzione del flusso di energia trasportato dalla quantita' di moto.
Non c'e' flusso verticalmente e non c' e' spostamento rispetto alla forza che consideri.
C'e' spostamento e lavoro se consideri la forza di gravita', ma ancora forza e spostamento hanno la stessa direzione
"mgrau":
[quote="anonymous_f3d38a"]
l'integrale non dovrebbe essere siffatto:
$int_0^(pi/2) F(gamma(t))*gamma'(t)dt$
?
Dov'è il prodotto scalare?
[/quote]
Eccolo
$F(gamma(t))*gamma'(t)$
Innanzitutto vi ringrazio per aver risposto alla mia domanda.
C'è adesso qualcos altro che purtroppo non riesco a capire.
Il lavoro della forza $F$ lungo la curva $gamma$ non è altro che questo integrale di linea di seconda specie:
$int_0^(pi/2) F(cos(t))-sin(t) + F(sin(t))cos(t)dt$
Ovviamente $F(cos(t))=F$ & $F(sin(t))=F$ dato che $F$ è una costante.
Ma allora per quale motivo nell'integrale non rimane
$int_0^(pi/2) -Fsin(t) + Fcos(t)dt$ ?
Perché la forza è diretta esclusivamente lungo l'orizzontale?
Dovrei scrivere direttamente
$int_0^(pi/2) -Fsin(t)dt$ ?
Quello non e' un prodotto scalare! E' il prodotto con un ascissa curvilinea
Constato che ti piace proprio complicare le cose semplici.
Posto che non capisco niente di quel che scrivi (mea culpa certamente), il lavoro compiuto in uno spostamento infinitesimo $vec (dl)$ è il prodotto scalare di $vec F$ per $vec (dl)$. Dato che la forza è orizzontale, interessa solo la componente orizzontale di $vec(dl)$, che sarà pure $dl*sin alpha$, ma d'altra parte è ovvio che l'integrale delle componenti orizzontali di $vec(dl)$, visto che la F costante la portiamo fuori, è semplicemente il raggio orizzontale.
E questo sempre se proprio non vuoi seguire l'ottimo suggerimento di profk di cercare un percorso più comodo per i calcoli.
Posto che non capisco niente di quel che scrivi (mea culpa certamente), il lavoro compiuto in uno spostamento infinitesimo $vec (dl)$ è il prodotto scalare di $vec F$ per $vec (dl)$. Dato che la forza è orizzontale, interessa solo la componente orizzontale di $vec(dl)$, che sarà pure $dl*sin alpha$, ma d'altra parte è ovvio che l'integrale delle componenti orizzontali di $vec(dl)$, visto che la F costante la portiamo fuori, è semplicemente il raggio orizzontale.
E questo sempre se proprio non vuoi seguire l'ottimo suggerimento di profk di cercare un percorso più comodo per i calcoli.
Ma e' evidente che curva, molla e attrito sono li per confonderti, non fanno nulla, visto che la forza rimane costante e orizzontale
Sbagli, perche metti la somma anziche fare il prodotto scalare.
Il procedimento formale e'
Equazione della curva
$x(t)=Rcos(t)$
$y(t)=Rsin(t)$
$ds=sqrt([dx]^2+[dy]^2)=sqrt(R^2[-sin(t)dt]^2+R^2[cos(t)dt]^2)=Rdt$
Il versore tangente e' $vectau=[-sin(t), cos(t)]$ quindi
$dvecs=Rdt*vectau=R[-sin(t), cos(t)]*dt$
Il prodotto scalare e'
$vecF*dvecs=(-F,0)*R[-sin(t), cos(t)]dt=FRsint*dt$.
F ed R sono costanti, lintegrale del seno fra 0 e $pi/2$ e' 1. Risultato ti viene FR
Il procedimento formale e'
Equazione della curva
$x(t)=Rcos(t)$
$y(t)=Rsin(t)$
$ds=sqrt([dx]^2+[dy]^2)=sqrt(R^2[-sin(t)dt]^2+R^2[cos(t)dt]^2)=Rdt$
Il versore tangente e' $vectau=[-sin(t), cos(t)]$ quindi
$dvecs=Rdt*vectau=R[-sin(t), cos(t)]*dt$
Il prodotto scalare e'
$vecF*dvecs=(-F,0)*R[-sin(t), cos(t)]dt=FRsint*dt$.
F ed R sono costanti, lintegrale del seno fra 0 e $pi/2$ e' 1. Risultato ti viene FR
"mgrau":
Constato che ti piace proprio complicare le cose semplici.
Posto che non capisco niente di quel che scrivi (mea culpa certamente)
Mi dispiace, mi esprimo un po' male perché sono confuso.
Ad ogni modo, ringrazio tutti per aver chiarito i miei dubbi!
"professorkappa":
Sbagli, perche metti la somma anziche fare il prodotto scalare.
Il procedimento formale e'
SUPER! Grazie mille!
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