Lavoro di una forza che comprime un gas
salve,
ho il seguente problema:
un recipiente cilindrico, con l'asse disposto orizzontalmente, è chiuso da un pistone scorrevole senza attrito e contiene n= 0.5 moli di idrogeno; inizialmente il pistone è in condizioni di equilibrio, e su esso agisce solo la pressione atmosferica $P_0$. Sulla base del cilindro, opposta al pistone, vi è una valvola che fa uscire il gas solo se la pressione del gas è superiore al doppio di $P_0$. Le pareti del cilindro sono trasparenti al calore, la temperatura dell'ambiente è $T_0=300K$. Si esercita sul pistone una forza perpendicolare al pistone, di intensità F variabile in modo da ridurre il volume del gas molto lentamente. Considerando il gas come ideale e la trasformazione reversibile si calcoli:
a )Il volume $V_1$ del gas quando la valvola comincia ad aprirsi ed il lavoro fatto fino ad allora dalla forza F;
b) la quantità si calore Q scambiata dal gas con l'ambiente esterno quando tutto il gas è fuoriuscito.
Mio approccio:
a) Essendo la trasformazione isoterma si ha $PV=P_0V_0$ ed essendo $P=2P_0$ si ha $V=(1/2)V_0$
Il lavoro fatto dalla forza nel comprimere il gas dovrebbe essere $L=nRT_0ln(V_0/V)$
mentre il testo dice $L=nRT_0ln(V_0/V)-P_0(V_0-V)$ non capisco il termine aggiuntivo!
b) Il calore scambiato essendo il processo isotermo coincide con il lavoro che quando il gas è tutto uscito sarebbe $L=nRT_0ln(V_0/0)$ ?????
mentre il testo dice $Q=-nRT_0ln(V_0/V)-2P_0V$ (dove V è il volume occupato dal gas nel momento in cui il gas inizia a fuoriuscire, calcolato al punto precedente)
ho il seguente problema:
un recipiente cilindrico, con l'asse disposto orizzontalmente, è chiuso da un pistone scorrevole senza attrito e contiene n= 0.5 moli di idrogeno; inizialmente il pistone è in condizioni di equilibrio, e su esso agisce solo la pressione atmosferica $P_0$. Sulla base del cilindro, opposta al pistone, vi è una valvola che fa uscire il gas solo se la pressione del gas è superiore al doppio di $P_0$. Le pareti del cilindro sono trasparenti al calore, la temperatura dell'ambiente è $T_0=300K$. Si esercita sul pistone una forza perpendicolare al pistone, di intensità F variabile in modo da ridurre il volume del gas molto lentamente. Considerando il gas come ideale e la trasformazione reversibile si calcoli:
a )Il volume $V_1$ del gas quando la valvola comincia ad aprirsi ed il lavoro fatto fino ad allora dalla forza F;
b) la quantità si calore Q scambiata dal gas con l'ambiente esterno quando tutto il gas è fuoriuscito.
Mio approccio:
a) Essendo la trasformazione isoterma si ha $PV=P_0V_0$ ed essendo $P=2P_0$ si ha $V=(1/2)V_0$
Il lavoro fatto dalla forza nel comprimere il gas dovrebbe essere $L=nRT_0ln(V_0/V)$
mentre il testo dice $L=nRT_0ln(V_0/V)-P_0(V_0-V)$ non capisco il termine aggiuntivo!
b) Il calore scambiato essendo il processo isotermo coincide con il lavoro che quando il gas è tutto uscito sarebbe $L=nRT_0ln(V_0/0)$ ?????
mentre il testo dice $Q=-nRT_0ln(V_0/V)-2P_0V$ (dove V è il volume occupato dal gas nel momento in cui il gas inizia a fuoriuscire, calcolato al punto precedente)
Risposte
Riguardo al primo punto il lavoro fatto sul gas è effettivamente $L=nRT_0ln(V_0/V)$, ma qui si chiede il lavoro fatto dalla sola forza esterna, la quale però nel comprimere è "aiutata" da una seconda forza, che è data dalla pressione atmosferica per la sezione del pistone. Quindi il lavoro fatto da questa seconda forza va sottratto. Tale lavoro l'atmosfera lo svolge a pressione costante, da cui la formula di soluzione data dal testo.
Riguardo al secondo punto il calore è uguale al lavoro totale svolto sul gas. Finché la valvola è chiusa il lavoro è quello calcolato prima (stavolta però totale), poi a valvola aperta la spinta sul pistone avviene a pressione costante (doppia di quella atmosferica per come è tarata la valvola) fino a esaurimento del volume, dunque ecco spiegato il contributo del secondo termine.
Riguardo al secondo punto il calore è uguale al lavoro totale svolto sul gas. Finché la valvola è chiusa il lavoro è quello calcolato prima (stavolta però totale), poi a valvola aperta la spinta sul pistone avviene a pressione costante (doppia di quella atmosferica per come è tarata la valvola) fino a esaurimento del volume, dunque ecco spiegato il contributo del secondo termine.
Quasi chiaro...
dovrebbe essere Q=Lavoro totale fatto sul gas =$L_1$ (lavoro di F fino al momento in cui si apre la valvola) + $L_2$ (lavoro di F a valvola aperta) $Q=nRT_0ln(V_0/V_1)+2P_0(V_f-V_1)=nRT_0ln(V_0/V_1)-2 P_0 V_1$
mentre il testo mette il segno meno davanti a $L_1$.. perchè?
e poi perchènon si considera il lavoro della pressione atmpsferica dal momento i ncui apre la valvola fino alla fine, che dovrebbe essere $P_0(V_f-V_i) = - P_0V_1$
dovrebbe essere Q=Lavoro totale fatto sul gas =$L_1$ (lavoro di F fino al momento in cui si apre la valvola) + $L_2$ (lavoro di F a valvola aperta) $Q=nRT_0ln(V_0/V_1)+2P_0(V_f-V_1)=nRT_0ln(V_0/V_1)-2 P_0 V_1$
mentre il testo mette il segno meno davanti a $L_1$.. perchè?
e poi perchènon si considera il lavoro della pressione atmpsferica dal momento i ncui apre la valvola fino alla fine, che dovrebbe essere $P_0(V_f-V_i) = - P_0V_1$
Il libro mette il segno meno nel calore per indicare che è calore uscente dal gas, secondo la comune convenzione.
Il calore uscente è però uguale in valore assoluto al lavoro fatto sul gas.
Questo lavoro è dunque positivo, sia nel primo contributo sia nel secondo.
Infatti il lavoro di compressione è sicuramente un lavoro positivo quando lo spostamento avviene nel verso della forza che agisce. E qui la forza della pressione atmosferica è sicuramente diretta nel verso del movimento del pistone, dunque quel lavoro ha segno +.
Poi dal momento della apertura della valvola fino alla fine il lavoro è $${L_2} = 2{P_0}{V_1}$$
Questo lavoro è calcolato sul gas, quindi tiene conto di tutto, sia del contributo della pressione atmosferica sia del contributo della forza esterna aggiunta.
Se volessimo fare il calcolo dal punto di vista delle forze esterne il risultato sarebbe uguale. Infatti:
$${L_2} = {P_0}{V_1} + F\left( {{x_i} - {x_f}} \right) = {P_0}{V_1} + P\left( {S{x_i} - 0} \right) = {V_1}\left( {{P_0} + P} \right)$$
Ma per ragioni di equilibrio del pistone si ha anche:
$$P = 2{P_0} - {P_0} = {P_0}$$
per cui:
$${L_2} = 2{P_0}{V_1}$$
Il calore uscente è però uguale in valore assoluto al lavoro fatto sul gas.
Questo lavoro è dunque positivo, sia nel primo contributo sia nel secondo.
Infatti il lavoro di compressione è sicuramente un lavoro positivo quando lo spostamento avviene nel verso della forza che agisce. E qui la forza della pressione atmosferica è sicuramente diretta nel verso del movimento del pistone, dunque quel lavoro ha segno +.
Poi dal momento della apertura della valvola fino alla fine il lavoro è $${L_2} = 2{P_0}{V_1}$$
Questo lavoro è calcolato sul gas, quindi tiene conto di tutto, sia del contributo della pressione atmosferica sia del contributo della forza esterna aggiunta.
Se volessimo fare il calcolo dal punto di vista delle forze esterne il risultato sarebbe uguale. Infatti:
$${L_2} = {P_0}{V_1} + F\left( {{x_i} - {x_f}} \right) = {P_0}{V_1} + P\left( {S{x_i} - 0} \right) = {V_1}\left( {{P_0} + P} \right)$$
Ma per ragioni di equilibrio del pistone si ha anche:
$$P = 2{P_0} - {P_0} = {P_0}$$
per cui:
$${L_2} = 2{P_0}{V_1}$$
tutto chiaro..grazie
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