Lavoro di una forza

[fonzimase]

salve a voi..mi chiedo:

ho a che fare con una forza $\vec F$ posizionale, ovvero dipendente dalla posizione così fatta:

$\vec F = (F_x , F_y , F_z )$

e voglio calcolare il lavoro della forza per spostare un punto lungo una curva chiusa; quindi se verifico che la forza F è conservativa, il gioco è fatto in quanto sappiamo che

$L = \int_{0}^{2\pi} \vec F * dP = 0 $ ovvero essendo la forza conservativa il lavoro ovvero l'integrale della circuitazione chiusa è nullo banalmente..

MA MI CHIEDO:

se invece di essere interessato al lavoro esteso alla curva tutta, fossi interessato al lavoro di F esteso ad "un arco" della curva stessa, avente equazioni:

$x = t-2$ ; $y=t^2+1$ ; $z=t^2+\pi$ per t compreso fra 0 e 1

essendo la forza conservativa, il lavoro esteso a quest'arco deve essere anche nullo?..

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ho provato a fare un calcolo, e la risposta alla mia domanda sarebbe NO, ovvero anche se il lavoro esteso alla curva tutta è nullo, il lavoro lungo un arco di essa può non esserlo..ma posso estendere questo risultato a qualsiasi caso? Ecco il mio esempio: considero una forza F così fatta

$\vec F=(F_x ,F_y,F_z)=(4xz ,y^2+2,2x^2 )$ e un arco di tale curva, avente equazione: $x = t-2$ ; $y=t^2+1$ ; $z=t^2+\pi$ per t compreso fra 0 e 1

vedo se F è conservativa; per vedere ciò verifico che $ \grad x \vec F = 0 $ ovvero che il rotore di $\vec F$ sia nullo; nel nostro caso, certifico che è nullo la mia forza è conservativa;

calcolando il lavoro si ha:

$L = \int_{0}^{1} \vec F_x * dx + \int_{0}^{1} \vec F_y * dy + \int_{0}^{1} \vec F_z * dz = 0 $ $!=0$

in cui essendo le eq. dell'arco: $x = t-2$ ; $y=t^2+1$ ; $z=t^2+\pi$ , risulta $dx = dt$ ; $dy = dz = 2t*dt$

quindi concludo che:

IL LAVORO COMPIUTO DA UNA FORZA CONSERVATIVA, ESTESO A TUTTA LA CURVA (ovvero fra 0 e 2pigrego) SARA' NULLO...TUTTAVIA SE CONSIDERO SEMPRE LA STESSA FORZA F ED UN ARCO DELLA STESSA CURVA (ovvero compreso fra 0 e 1 ad esempio) IL LAVORO PUO' NON ESSERE NULLO..CIO' NON IMPLICA PERO' CHE CI PUO' ESSERE UN APPOSITO ARCO DELLA STESSA CURVA, PER IL QUALE IL LAVORO E' NULLO..INFATTI POSSO CONSIDERARE LA CURVA COME SOMMA DI "N" ARCHI, E QUINDI IL LAVORO DELLA CURVA TOTALE, COME SOMMA DEI LAVORI TOTALI DEGLI "N" ARCHI; INFATTI IL LAVORO TOTALE DEVE ESSERE NULLO, QUINDI IL LAVORO SUGLI ARCHI NON PER FORZA DEVE ESSERE NULLO, IN QUANTO ESSENDO N ARCHI, LA LORO SOMMA DEVE FARE ZERO, QUINDI CI POSSONO ESSERE ARCHI IN CUI IL LAVORO AD ESEMPIO VALE 3, ED ARCHI IN CUI IL LAVORO VALE -3, IN MODO CHE LA LORO SOMMA FACCIA 0..GIUSTO?..

grazie a priori

[kinder1]

"fonzimase":GIUSTO?

Si