Lavoro dell'attrito su un cammino curvilineo
Salve.
Ho un punto materiale che si muove su una traiettoria curvilinea in presenza di attrito. Il problema è che l'attrito è funzione di un parametro $t$. Infatti la normale alla curva in ogni punto è data dalla derivata della traiettoria $y'(t)$.
Il lavoro da $A$ a $B$ è quindi:
$L_(A->B) = m * g * f(t) * mu * s$
Dove $mu$ è il coefficiente d'attrito, $f(t) * g$ è la proiezione di $g$ lungo la normale alla superficie, $s$ è la lunghezza della curva e $m$ è la massa.
Devo determinare dopo quanto tempo il punto materiale giunge nel punto $B$. Avevo pensato di porre la $Delta E = "Lavoro non conservativo"$, ma il lavoro non conservativo è funzione di $t$. Come faccio?
Ho un punto materiale che si muove su una traiettoria curvilinea in presenza di attrito. Il problema è che l'attrito è funzione di un parametro $t$. Infatti la normale alla curva in ogni punto è data dalla derivata della traiettoria $y'(t)$.
Il lavoro da $A$ a $B$ è quindi:
$L_(A->B) = m * g * f(t) * mu * s$
Dove $mu$ è il coefficiente d'attrito, $f(t) * g$ è la proiezione di $g$ lungo la normale alla superficie, $s$ è la lunghezza della curva e $m$ è la massa.
Devo determinare dopo quanto tempo il punto materiale giunge nel punto $B$. Avevo pensato di porre la $Delta E = "Lavoro non conservativo"$, ma il lavoro non conservativo è funzione di $t$. Come faccio?
Risposte
Non ci sono informazioni sul moto del punto materiale?
"Raptorista":
Non ci sono informazioni sul moto del punto materiale?
Il problema è questo:
Si deve calcolare il tempo che un corpo impiega per percorrere una traiettoria ( di equazioni parametriche $[ x(t), y(t) ]$ ) in un campo gravitazionale, in presenza di attrito.
Sono note l'equazione della curva, la massa $m$ del corpo, il coefficiente d'attrito dinamico $mu$, la lunghezza della traiettoria.
Il problema è che quando vado a calcolare la forza d'attrito (per poi trovare il lavoro), e vado quindi a scomporre la forza peso nelle componenti per determinare il modulo della normale, mi ritrovo a lavorare con una funzione del parametro $t$. Questo ovviamente perché la derivata della curva parametrica è una funzione di $t$.
Siccome la forza d'attrito è non conservativa, scrivo $Delta E "(mecc)" = "Lavoro attrito"$. Il secondo membro contiene $t$.. Cosa ne faccio?
Scusate se non utilizzo un linguaggio appropriato, ma con la fisicia non ho molta esperienza.
Esempio:
Fissiamo un sistema di assi cartesiani xOy. Prendiamo come traiettoria l'arco di circonferenza $y = - sqrt( 4x - x^2 )$, $x in [ 0 , 2 ]$.
$A ( 0, 0 ) $
$B ( 2, - 2 )$
Determiniamo il lavoro compiuto dalla forza d'attrito da $A$ a $B$.
$F_("attr.") = mu * P \bot$
e $P = m * g * sin( theta )$
Scriviamo il coefficiente angolare della normale alla traiettoria in ciascun punto:
$tan(theta) = - 1/y' = sqrt( 4x - x^2)/(2 - x)$
$tan(theta) = - 1/y' = sqrt( 4x - x^2)/(2 - x)$
Dalla questa ricavo $sin(theta)$, funzione di $x$.
Quindi:
$L_("attr.") = F_("attr.") * "spostamento" = ( mu * m * g * sin(theta)(x) ) * pi$
Il lavoro mi viene in funzione di $x$ ( $sin(theta)(x)$ ). Non dovrebbe essere un numero ben preciso? Cosa mi manca?
Fissiamo un sistema di assi cartesiani xOy. Prendiamo come traiettoria l'arco di circonferenza $y = - sqrt( 4x - x^2 )$, $x in [ 0 , 2 ]$.
$A ( 0, 0 ) $
$B ( 2, - 2 )$
Determiniamo il lavoro compiuto dalla forza d'attrito da $A$ a $B$.
$F_("attr.") = mu * P \bot$
e $P = m * g * sin( theta )$
Scriviamo il coefficiente angolare della normale alla traiettoria in ciascun punto:
$tan(theta) = - 1/y' = sqrt( 4x - x^2)/(2 - x)$
$tan(theta) = - 1/y' = sqrt( 4x - x^2)/(2 - x)$
Dalla questa ricavo $sin(theta)$, funzione di $x$.
Quindi:
$L_("attr.") = F_("attr.") * "spostamento" = ( mu * m * g * sin(theta)(x) ) * pi$
Il lavoro mi viene in funzione di $x$ ( $sin(theta)(x)$ ). Non dovrebbe essere un numero ben preciso? Cosa mi manca?
Non ho controllato i calcoli per il calcolo di $theta$, ma, a parte che ti complichi le cose inutilmente, l'ultimo passaggio che fai è sbagliato: per calcolare il lavoro dell'attrito non puoi moltiplicare la forza per lo spostamento semplicemente perché $theta$ varia in funzione di $x$....
Devi scrivere la relazione che lega $theta$ a $x$ e fare poi un integrale lungo la traiettoria circolare.....
Per calcolare il lavoro lungo la traiettoria circolare puoi comunque semplicemente scrivere un integrale in funzione di $theta$ (angolo tra orizzontale e normale alla circonferenza):
$int_{0}^{-pi/2} mg sin(theta) mu R d theta$
Devi scrivere la relazione che lega $theta$ a $x$ e fare poi un integrale lungo la traiettoria circolare.....
Per calcolare il lavoro lungo la traiettoria circolare puoi comunque semplicemente scrivere un integrale in funzione di $theta$ (angolo tra orizzontale e normale alla circonferenza):
$int_{0}^{-pi/2} mg sin(theta) mu R d theta$
"Faussone":
Per calcolare il lavoro lungo la traiettoria circolare puoi comunque semplicemente scrivere un integrale in funzione di $theta$ (angolo tra orizzontale e normale alla circonferenza):
$int_{0}^{-pi/2} mg sin(theta) mu R d theta$
Ti ringrazio...
$int_{0}^{-pi/2} mg sin(theta) mu R d theta$
Qui $R$ cos'è?
E come hai trovato gli estremi di integrazione?
______
Io, da profano, avrei fatto così:
$int_{0}^{2} - mu * m * g * sin(theta) ds$
Sapendo che $tan( theta ) = - 1/(y')$
$sin(theta) = - (1/y')/( sqrt( 1 + (1/y')^2) ) = 1/sqrt( 1 + (y')^2)$
Sostituendo:
$ mu * m * g * int_{0}^{2} 1/sqrt( 1 + (y')^2) ds$
Poiché $ds = sqrt( (dx)^2 + (dy)^2) = sqrt( 1 + (y')^2) dx$
$ mu * m * g * int_{0}^{2} 1/sqrt( 1 + (y')^2) ds = mu * m * g * int_{0}^{2} dx$
Ma in tutto ciò come entra in gioco il fatto che la mia curva è una circonferenza? Non mi convince.
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