Lavoro compiuto per ruotare una porta ...su che cosa?
Ciao, amici! Il mio libro esprime il lavoro compiuto da una forza durante lo spostamento su un punto materiale che si sposta dal punto $i$ al punto $f$ come l'integrale\[W=\int_i^f \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}\]cioè, assunta la parametrizzazione regolare a tratti \(\mathbf{s}:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}^3\) per il cammino percoso, $W=\int_{t_i}^{t_f} \mathbf{F}(\mathbf(s)(t))\cdot \mathbf{s}'(t) dt$.
Più avanti nel testo esprime il lavoro compiuto da una forza \(\mathbf{F}\) durante un intervallo di tempo nel quale la posizione angolare di una porta varia di una quantità \(d\theta\) come\[dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=F_t(Rd\theta)\]dove $F_t$ è la componente tangenziale di \(\mathbf{F}\). Poiché $\tau_z=F_t R$ [dove \(\tau_z\) è la componente assiale del momento della forza \(\mathbf{F}\)], \[dW=\tau_zd\theta\]Il lavoro $W$ compiuto dal momento $\tau_z$ quando la porta ruota da $\theta_i$ a $\theta_f$ è\[W=\int_{\theta_i}^{\theta_f}\tau_zd\theta\]
Direi che questo lavoro sia quello compiuto sulla particella puntiforme che sta alla distanza $R$ dall'asse di rotazione, giusto?
Per arrivare poi ad esprimere il teorema lavoro-energia per un corpo rigido in rotazione intorno ad un asse fisso, si parte poi dall'espressione\[dW_\text{tot}=\sum\tau_z d\theta=I\alpha_z d\theta=I\frac{d\omega_z}{dt}\omega_z dt\]che porta ad esprimere il lavoro totale come $W_{\text{tot}}=\frac{1}{2}I\int_{t_i}^{t_f}\frac{d}{dt}(\omega^2)dt$. Questo lavoro totale mi pare che sia il lavoro compiuto sulle particelle alle quali vengono applicate le forze i cui momenti appaiono nella sommatoria \(\sum\tau_z\), che sarà della forma \(\sum_i \tau_{i,z}=\sum_i F_{it}R_i\), le quali particelle si trovano alle distanze $R_i$ dall'asse, o no?
$\infty$ grazie per ogni chiarimento!
Più avanti nel testo esprime il lavoro compiuto da una forza \(\mathbf{F}\) durante un intervallo di tempo nel quale la posizione angolare di una porta varia di una quantità \(d\theta\) come\[dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=F_t(Rd\theta)\]dove $F_t$ è la componente tangenziale di \(\mathbf{F}\). Poiché $\tau_z=F_t R$ [dove \(\tau_z\) è la componente assiale del momento della forza \(\mathbf{F}\)], \[dW=\tau_zd\theta\]Il lavoro $W$ compiuto dal momento $\tau_z$ quando la porta ruota da $\theta_i$ a $\theta_f$ è\[W=\int_{\theta_i}^{\theta_f}\tau_zd\theta\]
Direi che questo lavoro sia quello compiuto sulla particella puntiforme che sta alla distanza $R$ dall'asse di rotazione, giusto?
Per arrivare poi ad esprimere il teorema lavoro-energia per un corpo rigido in rotazione intorno ad un asse fisso, si parte poi dall'espressione\[dW_\text{tot}=\sum\tau_z d\theta=I\alpha_z d\theta=I\frac{d\omega_z}{dt}\omega_z dt\]che porta ad esprimere il lavoro totale come $W_{\text{tot}}=\frac{1}{2}I\int_{t_i}^{t_f}\frac{d}{dt}(\omega^2)dt$. Questo lavoro totale mi pare che sia il lavoro compiuto sulle particelle alle quali vengono applicate le forze i cui momenti appaiono nella sommatoria \(\sum\tau_z\), che sarà della forma \(\sum_i \tau_{i,z}=\sum_i F_{it}R_i\), le quali particelle si trovano alle distanze $R_i$ dall'asse, o no?
$\infty$ grazie per ogni chiarimento!
Risposte
"DavideGenova":
Direi che questo lavoro sia quello compiuto sulla particella puntiforme che sta alla distanza $R$ dall'asse di rotazione, giusto?
Direi piu' semplicemente che questo e' il lavoro, tradizionalmente espresso come il prodotto scalare della forza per lo spostamento, o del momento della forza scalare l'angolo. Non capisco il dubbio.
"DavideGenova":
Questo lavoro totale mi pare che sia il lavoro compiuto sulle particelle alle quali vengono applicate le forze i cui momenti appaiono nella sommatoria \(\sum\tau_z\), che sarà della forma \(\sum_i \tau_{i,z}=\sum_i F_{it}R_i\), le quali particelle si trovano alle distanze $R_i$ dall'asse, o no?
Anche qui non capisco il dubbio. Questa parte esprime il fatto che la variazione di energia cinetica del corpo $1/2Iomeag^2$ e' pari al lavoro del momento applicato. La distanza di ogni singola particella dall'asse di rotazione e' gia' insita nel momento di inerzia $I$
"DavideGenova":
Direi che questo lavoro sia quello compiuto sulla particella puntiforme che sta alla distanza $R$ dall'asse di rotazione, giusto?
Direi piu' semplicemente che questo e' il lavoro, tradizionalmente espresso come il prodotto scalare della forza per lo spostamento, o del momento della forza scalare l'angolo. Non capisco il dubbio.
"DavideGenova":
Questo lavoro totale mi pare che sia il lavoro compiuto sulle particelle alle quali vengono applicate le forze i cui momenti appaiono nella sommatoria \(\sum\tau_z\), che sarà della forma \(\sum_i \tau_{i,z}=\sum_i F_{it}R_i\), le quali particelle si trovano alle distanze $R_i$ dall'asse, o no?
Anche qui non capisco il dubbio. Questa parte esprime il fatto che la variazione di energia cinetica del corpo $1/2Iomega^2$ e' pari al lavoro del momento applicato. La distanza di ogni singola particella dall'asse di rotazione e' gia' insita nel momento di inerzia $I$.
E' lodevole che tu ti ponga domande cosi precise e riesca a formalizzarne matematicamente le premesse. Ma mi sembra che per cercare il formalismo, tu perda di vista concetti relativamente semplici e la visione di insieme. Insomma per analizzare un albero, non ti accorgi della foresta.
Il mio dubbio nasce dal fattto che non conoscevo alcuna definizione di lavoro che non includesse ciò su cui la forza viene esercitata: sapevo solo di lavoro compiuti da una forza su qualcosa che si sposta lungo il cammino dato. Forza, corpo che si sposta e cammino credevo che fossero i tre ingredienti indispensabili quando si definisce un lavoro.
Anche tu parti di spostamento e quindi direi che qualcosa deve comunque spostarsi.
Nel primo caso del libro si integra \(F_t Rd\theta\) e \(F_t R\) è la posizione di un punto che sta a distanza $R$ dai cardini, quindi il cammino è quello di tale punto e non di altro. Perciò il lavoro non dovrebbe essere quello compiuto dalla forza applicata a distanza $R$ dai cardini lungo tale arco di circonferenza (sulla particella che sta lì, mi sarebbe venuto da dire, perché non conoscevo alcuna definizione di lavoro che prescinda dal corpo su cui la forza viene applicata, che è quello che si sposta)?
Grazie ancora!!!
Anche tu parti di spostamento e quindi direi che qualcosa deve comunque spostarsi.
Nel primo caso del libro si integra \(F_t Rd\theta\) e \(F_t R\) è la posizione di un punto che sta a distanza $R$ dai cardini, quindi il cammino è quello di tale punto e non di altro. Perciò il lavoro non dovrebbe essere quello compiuto dalla forza applicata a distanza $R$ dai cardini lungo tale arco di circonferenza (sulla particella che sta lì, mi sarebbe venuto da dire, perché non conoscevo alcuna definizione di lavoro che prescinda dal corpo su cui la forza viene applicata, che è quello che si sposta)?
Grazie ancora!!!
No, la definizione corretta e' forza x per spostamento del punto di applicazione della forza x coseno dell'angolo compreso. Non c'e' alcun concetto di massa insito nella definizione del lavoro.
Se sposti un blocco di massa M su un piano liscio con una forza orizzontale, la forza non fa lavoro. Non perche non c'e' massa (c'e'!), ma perche il punto di applicazione si sposta ortogonalmente alla forza. Finish.
Se sposti un blocco di massa M su un piano liscio con una forza orizzontale, la forza non fa lavoro. Non perche non c'e' massa (c'e'!), ma perche il punto di applicazione si sposta ortogonalmente alla forza. Finish.
Molto bene: $\infty$ grazie per ogni chiarimento!!!
Nel secondo caso, poi, $ W_{\text{tot}}=\frac{1}{2}I\int_{t_i}^{t_f}\frac{d}{dt}(\omega^2)dt $ si tratta del lavoro compiuto durante lo spostamento corrispondente a ciascuna di esse da tutte le forze esterne agenti su(i vari punti de)l corpo rigido, o equivalentemente da tutte quante le forze agenti sul corpo rigido, dato che il lavoro compiuto dalle forze interne ad un corpo rigido si annulla.
Nel secondo caso, poi, $ W_{\text{tot}}=\frac{1}{2}I\int_{t_i}^{t_f}\frac{d}{dt}(\omega^2)dt $ si tratta del lavoro compiuto durante lo spostamento corrispondente a ciascuna di esse da tutte le forze esterne agenti su(i vari punti de)l corpo rigido, o equivalentemente da tutte quante le forze agenti sul corpo rigido, dato che il lavoro compiuto dalle forze interne ad un corpo rigido si annulla.
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