Lancio verticale di un grave con velocità iniziale $v_0$
lancio verticale di un grave da terra con velocità iniziale $v_0$
$\vec a = - \vec g$ essendo uguale all'accelerazione gravitazionale con segno opposto perchè $\vec g$ è indirizzata verso la terra mentre il grave è lanciato verso l'alto?
Con le solite integrazioni trovo che $v(t) = -(g)t + v_0$ (il libro non li tratta come vettori perchè la traiettoria è verticale?)
Integrando di nuovo posso trovare la legge oraria:
$z(t) = -1/2 (g)t^2 + v_0 t $
l'istante di inversione del moto è il tempo in cui il grave è instantaneamente fermo? cioè quando smette di salire e non scende? quindi $t_(i) = v_0 / g$ e se questo tempo lo metto nella legge orario trovo l'altezza massima che raggiunge?
La velocità di ricaduta come la posso trovare?
Grazie
Risposte
Ciao
rispondo con ordine alle tue domande
$a=-g$ è dovuto al fatto che l'accelerazione di oppone al moto come tu hai detto
il libro non tratta il moto usando i vettori, ma solo con i moduli in quanto il moto si svolge interamente lungo un solo asse
l'altezza a cui sale il corpo la calcoli sapendo che prima di scendere nuovamente il corpo si ferma quindi calcoli il tempo necessario per cui la sua velocità finale sia nulla e da li ne ricavi lo spazio percorso (in salita).
per trovare la velocità di caduta ti basta sapere da che altezza parte il corpo quando incomincia nuovamente a scendere che userai come spazio percorso considerando lo spazio percorso iniziale anch'esso nullo. Sai che il corpo parte da fermo quindi hai velocità iniziale nulla.
usando le stesse equazioni del moto che hai usato in salita trovi la velocità finale in discesa
se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure
ciao
rispondo con ordine alle tue domande
$a=-g$ è dovuto al fatto che l'accelerazione di oppone al moto come tu hai detto
il libro non tratta il moto usando i vettori, ma solo con i moduli in quanto il moto si svolge interamente lungo un solo asse
l'altezza a cui sale il corpo la calcoli sapendo che prima di scendere nuovamente il corpo si ferma quindi calcoli il tempo necessario per cui la sua velocità finale sia nulla e da li ne ricavi lo spazio percorso (in salita).
per trovare la velocità di caduta ti basta sapere da che altezza parte il corpo quando incomincia nuovamente a scendere che userai come spazio percorso considerando lo spazio percorso iniziale anch'esso nullo. Sai che il corpo parte da fermo quindi hai velocità iniziale nulla.
usando le stesse equazioni del moto che hai usato in salita trovi la velocità finale in discesa
se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure
ciao
il punto in cui il corpo inzia a scendere sarebbe il punto massimo raggiunto dal corpo al tempo di inversione che ci siamo calcolati giusto?
Quindi data $\vec r (t) = \vec r(t_0) + \vec v(t_0)t + 1/2 at^2$ cosa posso dire? cosa è nullo? lo spazio percorso al tempo $t_0$? devo esplicitare la velocità? ma $\vec v(t_0)t$ non sarebbe la velocità inziale di ricaduta?
il libro dice che $v_c = -(2gh)^{1/2}$ e che $t_c = 2 t$ cioè il tempo di ricaduta è il doppio di quello di inversione, perchè?
Quindi data $\vec r (t) = \vec r(t_0) + \vec v(t_0)t + 1/2 at^2$ cosa posso dire? cosa è nullo? lo spazio percorso al tempo $t_0$? devo esplicitare la velocità? ma $\vec v(t_0)t$ non sarebbe la velocità inziale di ricaduta?
il libro dice che $v_c = -(2gh)^{1/2}$ e che $t_c = 2 t$ cioè il tempo di ricaduta è il doppio di quello di inversione, perchè?
"davidedesantis":
lancio verticale di un grave da terra con velocità iniziale $v_0$
$\vec a = - \vec g$ essendo uguale all'accelerazione gravitazionale con segno opposto perchè $\vec g$ è indirizzata verso la terra mentre il grave è lanciato verso l'alto?
In realtà no; dipende da come hai orientato gli assi del sistema di riferimento inerziale che hai scelto per lo studio cinematico del moto. In questo caso, puoi scegliere un sistema di assi ortogonali per studiare il moto, uno parallelo al moto del punto materiale (?) e l'altro parallelo al terreno. La scelta dell'asse orientato verso l'alto, fa in modo che tu abbia dovuto dare un segno negativo all'accelerazione (perché il corpo è costantemente decelerato). Se orientiamo l'asse verso il basso, la velocità iniziale è negativa e l'accelerazione positiva. Ovviamente, scegli il miglior sistema per comodità per studiare il problema.
"davidedesantis":
Con le solite integrazioni trovo che $v(t) = -(g)t + v_0$ (il libro non li tratta come vettori perchè la traiettoria è verticale?)
Il libro lavora sulle componenti che ci interessano. E' chiaro che in Fisica si lavora sempre con dei vettori, ma nel nostro caso, col sistema di riferimento (inerziale) scelto per lo studio del moto, ci interessa una sola coordinata del moto, essendo le coordinate X e Y nulle per ogni $t$.
"davidedesantis":
Integrando di nuovo posso trovare la legge oraria:
$z(t) = -1/2 (g)t^2 + v_0 t $
l'istante di inversione del moto è il tempo in cui il grave è instantaneamente fermo? cioè quando smette di salire e non scende? quindi $t_(i) = v_0 / g$ e se questo tempo lo metto nella legge orario trovo l'altezza massima che raggiunge?
Pensa: il corpo parte con velocità iniziale $v_0$ ed è costantemente decelerato. Ad un certo tempo $t$ il corpo deve fermarsi (è una esperienza quotidiana che tutti noi abbiamo provato, questa...) e quindi in quel momento, a quel dato $t_1$ hai velocità nulla:
$v(t)=v_0 - g t $
$v(t_1)=0; v_0 -g t_1=0;$
$t_1 = v_0 /g; $
In questo istante di tempo il corpo è fermo rispetto al sistema di riferimento che hai usato per lo studio del moto dopodiché si muove con velocità crescente proporzionalmente col tempo e di moto uniformemente accelerato, con accelerazione uguale a $-g$.
"davidedesantis":
La velocità di ricaduta come la posso trovare?
Rispondendo a questo e al "perché il tempo di caduta è il doppio del tempo di salita", prima bisogna fare una precisazione. Il tempo di caduta, cioè l'intervallo di tempo fra l'inizio della caduta del grave dalla posizione massima di altezza e il tempo in cui esso tocca, per effetto della forza di gravità, il terreno non è il doppio del tempo di salita, inteso quest'ultimo in modo analogo a come abbiamo inteso il tempo di caduta. Semmai, il tempo totale che passa tra il lancio dell'oggetto, il raggiungimento della quota massima e il ritorno alla posizione di partenza per terra... questo sì che è il doppio del tempo di caduta (e anche del tempo di salita).
Perché? Consideriamo la formula che descrive la Legge Oraria del moto: $ z(t) = v_0 t - 1/2 g t^2 ;$
Matematicamente è una parabola che passa per l'origine degli assi, il vertice della parabola è nel punto di ascissa $t_1 = v_0 /g $ ed è ragionevole che sia così: è il tempo in cui la quota $z$ è massima. Dopodiché la parabola decresce per valori maggiori di $t_1$ fino a intersecare una seconda volta l'asse dei tempi: rappresenta il punto in cui il punto materiale ricade per terra. E' ovvio allora che, data la simmetria della parabola rispetto al proprio asse (passante per il vertice e perpendicolare all'asse dei tempi, nel nostro caso) il tempo di salita e di discesa siano uguali.
D'altra parte, visto che vedo che maneggi integrali e penso anche derivate, capirai... Che la tangente alla curva $z(t) = v_0 t - 1/2 g t^2 $ nei due punti dove la parabola interseca l'asse delle $t$ è la stessa per semplici considerazioni di simmetria. Quindi la velocità è la stessa in modulo, sia alla partenza sia all'arrivo.
spiegazione perfetta grazie mille...volevo solo farti qualche domanda per fissare qualche concetto visto a lezione, quindi possiamo dire che la traiettoria è una parabola con grado di libertà 1 poichè $x=y=0$ e il vettore spostamento dipende dal tempo. Poi per determinare il vertice è sufficiente trovare la coordinata $z = - b/(2a)$ e sarebbe un punto di massimo relativo, e noi abbiamo visto che siccome la parabola è pari, allora sia prima di $t_1$ che dopo la velocità di risalita che di ricaduta sono identiche.
Grazie mille
Grazie mille
"davidedesantis":
... quindi possiamo dire che la traiettoria è una parabola con grado di libertà 1 poichè $x=y=0$ ....
No. La traiettoria non è una parabola. Ma d'altra parte, se pigli un oggetto e lo lanci lungo la verticale, osservi un moto parabolico? Ovviamente no (questo vale in qualsiasi sistema di riferimento inerziale).
L'equazione oraria delle coordinate, non ti dà la traiettoria, ma ti dà solo l'evoluzione temporale di ciascuna coordinata.
La traiettoria di un corpo è descrivibile avendo tutte le equazioni orarie del moto $x(t), y(t), z(t) $ in un sistema di assi (in questo caso cartesiani) $OXYZ$.
Ogni coordinata dipende dal tempo $t$, e il vettore posizione $\vec {r(t) } = (x(t), y(t), z(t)) $ descrive nello spazio tridimensionale $OXYZ$ una curva, che è la traiettoria del corpo. Nel nostro caso le prime due coordinate sono nulle a qualsiasi istante di tempo, e come era intuibile il moto si svolge lungo una retta (che nel sistema di riferimento per rappresentare la traiettoria è l'asse $z$).
L'equazione oraria di ogni componente è una cosa: esprime la variazione temporale della coordinata in questione.
La traiettoria è descritta da un vettore posizione $\vec r$ le cui coordinate $x(t), y(t), z(t)$ dipendono da $t$ e quindi è un'altra cosa.
ti ringrazio, sei molto utile 
però matematicamente rappresenta una parabola...
però matematicamente rappresenta una parabola...
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