Lancio proiettili da un cannone.
Salve a tutti.
Mi sono impantanato su questo esercizio:
"Un cannone che si trova a terra, a una distanza di 600 m dal bordo di una scogliera alta 120 m, può sparare proiettili in mare a una velocità di 90 m/s. Trascurando l'attrito dell'aria, qual è la distanza minima dalla base dalla scogliera alla quale si devono posizionare delle boe di sicurezza affinchè le imbarcazioni non vengano colpite dai proiettili? "
Risultato del libro: 336 m .
Quindi mi si dà un punto della traiettoria (600,120) che non può essere il vertice della traiettoria , altrimenti il proiettile andrebbe a 600 m al di là della scogliera, e la velocità iniziale.
Ho pensato di sostituire il punto nell'equazione parabolica della traiettoria unendo poi anche l'equazione v0^2= v0x^2 + v0y^2, ma arrivo a una equazione con l'incognita v0y che non so risolvere.
Ho pensato che il vertice della parabola sia posizionato prima della scogliera dalla parte del cannone, così ricadendo il proiettile va a meno di 600 m da essa in mare (guardando il risultato) .
Poi ho calcolato la gittata massima= v0^2/ g e viene 826,5 m , allora i proiettili al massimo cadrebbero a 226.5 m a mare al di là della scogliera, ma il risultato riporta 336 m.
Di più non so dire.
Potreste gentilmente darmi qualche suggerimento in modo che possa andare un po' più avanti?
Vi ringrazio moltissimo.
Ciao a tutti.
Mi sono impantanato su questo esercizio:
"Un cannone che si trova a terra, a una distanza di 600 m dal bordo di una scogliera alta 120 m, può sparare proiettili in mare a una velocità di 90 m/s. Trascurando l'attrito dell'aria, qual è la distanza minima dalla base dalla scogliera alla quale si devono posizionare delle boe di sicurezza affinchè le imbarcazioni non vengano colpite dai proiettili? "
Risultato del libro: 336 m .
Quindi mi si dà un punto della traiettoria (600,120) che non può essere il vertice della traiettoria , altrimenti il proiettile andrebbe a 600 m al di là della scogliera, e la velocità iniziale.
Ho pensato di sostituire il punto nell'equazione parabolica della traiettoria unendo poi anche l'equazione v0^2= v0x^2 + v0y^2, ma arrivo a una equazione con l'incognita v0y che non so risolvere.
Ho pensato che il vertice della parabola sia posizionato prima della scogliera dalla parte del cannone, così ricadendo il proiettile va a meno di 600 m da essa in mare (guardando il risultato) .
Poi ho calcolato la gittata massima= v0^2/ g e viene 826,5 m , allora i proiettili al massimo cadrebbero a 226.5 m a mare al di là della scogliera, ma il risultato riporta 336 m.
Di più non so dire.
Potreste gentilmente darmi qualche suggerimento in modo che possa andare un po' più avanti?
Vi ringrazio moltissimo.
Ciao a tutti.
Risposte
Ciao
secondo me il ragionamento da fare è il seguente:
Non hai indicato informazioni sull'inclinazione del cannone, questo mi fa pensare che l'inclinazione possa variare.
Potendo variare, scegli l'inclinazione che ti da la gittata massima e calcoli la gittata che il cannone ha considerando come livello quello della scogliera. Pertanto vedi a che distanza (in direzione del mare) il proiettile arriva quando, una volta sparato, scende nuovamente alla stessa quota del punto di partenza. Chiamiamo questa distanza $x_1$
A questo punto, il proiettile avrà una velocità che puoi scomporre in una componente orizzontale (che si allontana dal cannone) e una verticale che scende verso il mare.
Calcoli quindi quanto tempo il tuo proiettile impiega dalla quota del cannone a raggiungere il mare (quindi a compiere 120m in verticale).
Durante questo intervallo di tempo, il proiettile si sposterà ancora in direzione del mare di una distanza $x_2$
pertanto la distanza (in direzione orizzontale) tra il punto di impatto in acqua e il cannone è $x = x_1 + x_2$
A questo punto non ti resta che tenere conto che il cannone si trova a 600 m all'interno rispetto al bordo della scogliera quindi la distanza dalla scogliera al punto in cui il proiettile cade in mare (quindi la distanza minima a cui posizionare le boe) sarà:
$dist_(boe) = x - 600$ ovviamente espresso in metri
Che ne dici? ti sembra sensato?
secondo me il ragionamento da fare è il seguente:
Non hai indicato informazioni sull'inclinazione del cannone, questo mi fa pensare che l'inclinazione possa variare.
Potendo variare, scegli l'inclinazione che ti da la gittata massima e calcoli la gittata che il cannone ha considerando come livello quello della scogliera. Pertanto vedi a che distanza (in direzione del mare) il proiettile arriva quando, una volta sparato, scende nuovamente alla stessa quota del punto di partenza. Chiamiamo questa distanza $x_1$
A questo punto, il proiettile avrà una velocità che puoi scomporre in una componente orizzontale (che si allontana dal cannone) e una verticale che scende verso il mare.
Calcoli quindi quanto tempo il tuo proiettile impiega dalla quota del cannone a raggiungere il mare (quindi a compiere 120m in verticale).
Durante questo intervallo di tempo, il proiettile si sposterà ancora in direzione del mare di una distanza $x_2$
pertanto la distanza (in direzione orizzontale) tra il punto di impatto in acqua e il cannone è $x = x_1 + x_2$
A questo punto non ti resta che tenere conto che il cannone si trova a 600 m all'interno rispetto al bordo della scogliera quindi la distanza dalla scogliera al punto in cui il proiettile cade in mare (quindi la distanza minima a cui posizionare le boe) sarà:
$dist_(boe) = x - 600$ ovviamente espresso in metri
Che ne dici? ti sembra sensato?
@Summer: mi sembra un po' complicato, come ragionamento. E si fonda su un fatto che non so se prendere per buono: che l'angolo di alzo pari a $pi/4$, che garantisce la massima gittata supponendo che il terreno sia piano intorno al cannone, sia anche quello che fa sì che il proiettile arrivi più lontano possibile in mare. Francamente non lo so. Prendendo per buona questa assunzione, l'equazione della traiettoria del proiettile diventa, ponendo l'origine nel punto in cui viene sparato dal cannone, la seguente:
a questo punto cerchi l'ascissa (positiva) del punto che ha ordinata $" "y=-120" m"$.
Mi resta comunque il dubbio di come giustificare la scelta $theta=pi/4" "$.
$y=x*tan theta-g/(2v_0^2 cos^2 theta)*x^2" " to " "y=x-g/v_0^2 x^2" "$ ;
a questo punto cerchi l'ascissa (positiva) del punto che ha ordinata $" "y=-120" m"$.
Mi resta comunque il dubbio di come giustificare la scelta $theta=pi/4" "$.
Grazie per i vostri suggerimenti.
Il testo del problema non fornisce l'angolo di tiro per cui, come pure avevo scritto (ma avevo sbagliato la figura) ho considerato come voi l'angolo per la gittata massima e cioè 45° , altrimenti come fare?
Che ne pensate?
Grazie di nuovo.
Ciao.
Il testo del problema non fornisce l'angolo di tiro per cui, come pure avevo scritto (ma avevo sbagliato la figura) ho considerato come voi l'angolo per la gittata massima e cioè 45° , altrimenti come fare?
Che ne pensate?
Grazie di nuovo.
Ciao.
"Palliit":
@Summer: mi sembra un po' complicato, come ragionamento. E si fonda su un fatto che non so se prendere per buono: che l'angolo di alzo pari a $pi/4$, che garantisce la massima gittata supponendo che il terreno sia piano intorno al cannone, sia anche quello che fa sì che il proiettile arrivi più lontano possibile in mare. Francamente non lo so. Prendendo per buona questa assunzione, l'equazione della traiettoria del proiettile diventa, ponendo l'origine nel punto in cui viene sparato dal cannone, la seguente:
$y=x*tan theta-g/(2v_0^2 cos^2 theta)*x^2" " to " "y=x-g/v_0^2 x^2" "$ ;
a questo punto cerchi l'ascissa (positiva) del punto che ha ordinata $" "y=-120" m"$.
Mi resta comunque il dubbio di come giustificare la scelta $theta=pi/4" "$.
Sì è possibile che il mio ragionamento fosse un po' macchinoso in effetti. Il modo in cui lo hai spiegato tu è molto più rapido.
Non mi è chiaro il perchè dici che ti resti il dubbio sulla gittata massima. Il fatto che la gittata massima si abbia quando l'angolo è $pi/4$ è facilmente dimostrabile, anche se credo che non si questo il tuo dubbio.
Che il terreno sia in piano credo si possa supporre, in caso contrario l'informazione sull'inclinazione del terreno sarebbe stata parte del testo dell'esercizio.
Il testo chiede di trovare la distanza minima a cui posizionare le boe di sicurezza, quindi prendendo la distanza massima di gittata ci si mette nel caso peggiore.
Son d'accordo con Pallit: il valore di 45 gradi per la gittata massima si applica se il terreno e' in piano su tutta la gittata del cannone (ovvero, quando il punto di impatto del proiettile e' alla stessa altezza del cannone, cioe' e' a quota y=0).
Nemmeno io sono certo che si applichi nel caso in cui il punto di impatto e' piu' basso del cannone di 120m. Bisognerebbe verificarlo, (che poi e' la soluzione dell'esercizio), con la condizione ulteriore che per $x=600$ sia $y>0$
Nemmeno io sono certo che si applichi nel caso in cui il punto di impatto e' piu' basso del cannone di 120m. Bisognerebbe verificarlo, (che poi e' la soluzione dell'esercizio), con la condizione ulteriore che per $x=600$ sia $y>0$
In effetti, per ottenere la quota $-120$ a $600+336$ metri di distanza di punto di lancio occorre un angolo di $43,88242°$
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Se si esplicita la gittata del cannone in funzione dell'angolo di lancio e si prova a valutarne il massimo viene un'espressione molto brutta.
Un modo per farlo potrebbe esere il seguente: se io avessi un cannone virtuale posto al livello del mare, che si trovi ad una distanza $d$ dietro il mio cannone (per chiarici se il cannone dell'esercizio si trova in (0,0) il mare si trova a (600,-120) e il cannone virtuale che pongo al livello del mare si trova a (-d,-120)) allora so per certo che la gittata massima sarebbe quando il cannone spara a $pi/4$. Siccome voglio che la palla che spara mi passi per (0,0) e siccome so che l'energia si conserva, posso calcolarmi la velocità del lancio di questo cannone e anche $d$.
$d=v_ocos(pi/4)t$
$0=v_osin(pi/4)t-1/2g(t)^2-120$
$v_f^2=v_o^2-2gH$
dove so che $v_f=90m/s$
dall'ultima ricavo che $v_o=102m/s$
dalla seconda che $72t-4.9t^2-120=0$ cioè $t=1.92s $ (prendo quello minore perchè l'altro tempo si riferisce ad una posizione successiva).
quindi $d=138m$
a questo punto mi calcolo la gittata massima (sempre del cannone virtuale posto a terra)
$X= (v_o)^2/g = 1060 m $
Per trovare la distanza che mi chiede il problema sottraggo a $X$ la somma tra la distanza del cannone vero e lo strapiombo ($600m$) e la distanza tra il cannone virtuale e quello vero ($d=138m$)
$D=1060-138-600=322m$
Un modo per farlo potrebbe esere il seguente: se io avessi un cannone virtuale posto al livello del mare, che si trovi ad una distanza $d$ dietro il mio cannone (per chiarici se il cannone dell'esercizio si trova in (0,0) il mare si trova a (600,-120) e il cannone virtuale che pongo al livello del mare si trova a (-d,-120)) allora so per certo che la gittata massima sarebbe quando il cannone spara a $pi/4$. Siccome voglio che la palla che spara mi passi per (0,0) e siccome so che l'energia si conserva, posso calcolarmi la velocità del lancio di questo cannone e anche $d$.
$d=v_ocos(pi/4)t$
$0=v_osin(pi/4)t-1/2g(t)^2-120$
$v_f^2=v_o^2-2gH$
dove so che $v_f=90m/s$
dall'ultima ricavo che $v_o=102m/s$
dalla seconda che $72t-4.9t^2-120=0$ cioè $t=1.92s $ (prendo quello minore perchè l'altro tempo si riferisce ad una posizione successiva).
quindi $d=138m$
a questo punto mi calcolo la gittata massima (sempre del cannone virtuale posto a terra)
$X= (v_o)^2/g = 1060 m $
Per trovare la distanza che mi chiede il problema sottraggo a $X$ la somma tra la distanza del cannone vero e lo strapiombo ($600m$) e la distanza tra il cannone virtuale e quello vero ($d=138m$)
$D=1060-138-600=322m$
@ondine: ci avevo pensato anch'io a questo modo di procedere, ma un particolare mi ha fatto pensare che non fosse corretto. In pratica il cannone virtuale spara un proiettile che ricade alla stessa quota da cui è partito, percorrendo quindi un arco di parabola simmetrico. Va da sé che se viene sparato con una pendenza di $pi/4$ debba ricadere con pendenza $-pi/4$. Tuttavia, se si immettono i dati ed il risultato si trova che la pendenza della traiettoria nel momento in cui il proiettile colpisce il mare è maggiore: anziché il $-1$ in cui speravo, la tangente alla parabola in tale punto ha coefficiente angolare $-1.22$. Sempre che non abbia fatto errori, ma un'analisi grafica del problema mi fa pensare che sia un risultato credibile.
@petrol89: mi viene il dubbio di aver male interpretato il testo: il cannone sta sopra la scogliera, a 600 metri dal suo bordo e quindi 120 metri sopra il livello del mare? Viceversa ho capito male.
"Palliit":
@ondine: ci avevo pensato anch'io a questo modo di procedere, ma un particolare mi ha fatto pensare che non fosse corretto. In pratica il cannone virtuale spara un proiettile che ricade alla stessa quota da cui è partito, percorrendo quindi un arco di parabola simmetrico. Va da sé che se viene sparato con una pendenza di $pi/4$ debba ricadere con pendenza $-pi/4$. Tuttavia, se si immettono i dati ed il risultato si trova che la pendenza della traiettoria nel momento in cui il proiettile colpisce il mare è maggiore: anziché il $-1$ in cui speravo, la tangente alla parabola in tale punto ha coefficiente angolare $-1.22$. Sempre che non abbia fatto errori, ma un'analisi grafica del problema mi fa pensare che sia un risultato credibile.
Errori di calcolo a parte, penso tu abbia ragione, i due sistemi non sono equivalenti. Che ci sia davvero la necessità di calcolare la derivata prima della gittata in funzione dell'angolo di lancio?Viene molto brutta..
Mi sono ricordato di questa discussione simile:
viewtopic.php?f=19&t=185130&hilit=Parabola#p8333467
Dove si trattava di trovare $v(theta)$ e minimizzarla. Nel vostro esercizio la V è nota in modulo, si tratta di trovare l’angolo di lancio tale che la parabola passi per la cima della scogliera, di coordinate (600,120) . Di conseguenza si trova anche la gittata.
L'eq cartesiana della parabola, se non erro , è :
$y = xtgalpha -1/2gx^2/(v_0cosalpha)^2$
Imponendo che passi per la cima della scogliera : (600,120) , con la $v_0$ assegnata , non si riesce trovare l'angolo di lancio $alpha$ , e quindi poi la gittata ?
PS : il risultato proposto dal libro è palesemente sbagliato. Infatti, ponendo la gittata uguale a : $d = 600 + 336 = 936m$ , ed essendo :
$d = v_0^2/g sen(2alpha)$
risulta , col valore di $d$ e la velocita $v_0 = 90 m/s$ , che il seno di $2alpha$ è maggiore di 1 : assurdo.
viewtopic.php?f=19&t=185130&hilit=Parabola#p8333467
Dove si trattava di trovare $v(theta)$ e minimizzarla. Nel vostro esercizio la V è nota in modulo, si tratta di trovare l’angolo di lancio tale che la parabola passi per la cima della scogliera, di coordinate (600,120) . Di conseguenza si trova anche la gittata.
L'eq cartesiana della parabola, se non erro , è :
$y = xtgalpha -1/2gx^2/(v_0cosalpha)^2$
Imponendo che passi per la cima della scogliera : (600,120) , con la $v_0$ assegnata , non si riesce trovare l'angolo di lancio $alpha$ , e quindi poi la gittata ?
PS : il risultato proposto dal libro è palesemente sbagliato. Infatti, ponendo la gittata uguale a : $d = 600 + 336 = 936m$ , ed essendo :
$d = v_0^2/g sen(2alpha)$
risulta , col valore di $d$ e la velocita $v_0 = 90 m/s$ , che il seno di $2alpha$ è maggiore di 1 : assurdo.
A questo punto mi pare doveroso che l'OT descriva meglio (con un disegno sarebbe il massimo) quale sia esattamente il contesto e che verifichi se i dati/risultato che ha pubblicato sono corretti.
Anche io ho capito così.
Grazie a tutti per i vari contributi che mi avete fornito.
Ciao.
Grazie a tutti per i vari contributi che mi avete fornito.
Ciao.
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