Lagrangiana relativistica
Salve,
che voi sappiate esiste un'espressione per la Lagrangiana di una sistema meccanico relativistico? A lezione c'è stata fatta vedere solo in un caso particolare, mi chiedevo se esistesse una sua espressione generale che cercando in giro su internet non ho trovato.
Ho tentato io una dimostrazione ripartendo dal principio di d'Alembert e sono arrivato a questa espressione:
\(\displaystyle -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial }{\partial \dot{q_k}}\left ( \sum_{i=1}^{N}\frac{E_{0_i}^2}{E_i} \right )+\frac{\partial }{\partial q_k}\left ( \sum_{i=1}^{N}\frac{E_{0_i}^2}{E_i} \right )+\frac{\partial V}{\partial q_k}=0 \)
dove \(\displaystyle N \) = numero di particelle, \(\displaystyle E_{0_i} = m_{0_i}c^2 \) e \(\displaystyle E_i=\gamma _i m_{0_i}c^2 \).
Non riesco però a fare l'ultimo passo, ovvero esprimere quelle sommatorie come la totale energia del sistema in analisi.
Un aiutino?
Grazie in anticipo.
che voi sappiate esiste un'espressione per la Lagrangiana di una sistema meccanico relativistico? A lezione c'è stata fatta vedere solo in un caso particolare, mi chiedevo se esistesse una sua espressione generale che cercando in giro su internet non ho trovato.
Ho tentato io una dimostrazione ripartendo dal principio di d'Alembert e sono arrivato a questa espressione:
\(\displaystyle -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial }{\partial \dot{q_k}}\left ( \sum_{i=1}^{N}\frac{E_{0_i}^2}{E_i} \right )+\frac{\partial }{\partial q_k}\left ( \sum_{i=1}^{N}\frac{E_{0_i}^2}{E_i} \right )+\frac{\partial V}{\partial q_k}=0 \)
dove \(\displaystyle N \) = numero di particelle, \(\displaystyle E_{0_i} = m_{0_i}c^2 \) e \(\displaystyle E_i=\gamma _i m_{0_i}c^2 \).
Non riesco però a fare l'ultimo passo, ovvero esprimere quelle sommatorie come la totale energia del sistema in analisi.
Un aiutino?
Grazie in anticipo.
Risposte
io sapevo fare così:
un moto rettilineo uniforme $vecx (t) = vecx _0 +vecv _0 t$ è una retta nello spazio-tempo. se ora muniamo lo spazio tempo della metrica di Lorentz ci si aspetta che le rette siano delle geodetiche (estremali della corrispondente lunghezza), ovvero siano curve $Gamma$ tali che $deltas(Gamma)=0$ dove $s(Gamma)$ è la lunghezza pseudo-scalare. infatti ricordando che $ds=gamma^(-1)c dt$ si ha
$s[vecx (t)] = int_(Gamma) ds= int_(Gamma)gamma^(-1)c dt$
che è analogo al caso dei principi variazionali dove si aveva che il funzionale era l'azione $S[vecq (t)]=int Ldt$.
qui quindi il ruolo della lagrangiana è giocato da $L=gamma^(-1)c$ ed il problema di cercare i movimenti estremali è equivalente a cercare i movimenti di questa lagrangiana.
per dimostrare invece che gli estremali sono proprio moti rettilinei uniformi esiste un lemma.
dato poi che una costante moltiplicativa non altera le equazioni del moto si può considerare la più generale lagrangiana $L=a sqrt(1-v^2 / c^2)$.
per determinare $a$ usiamo il "principio di corrispondenza" (la meccanica relativistica deve cioè ridursi a quella classica nel limite $v/c -> 0$). quindi deve valere (in quel limite) che $L ~= 1/2 m v^2 + \text{cost}$ (nella lagrangiana le costanti additive sono irrilevanti).
prendendo quindi la lagrangiana che abbiamo scritto prima ed espandendo la radice si ottiene $L~= a-a/2 v^2 / c^2$.
per confronto si giunge quindi al valore $a=-mc^2$
un moto rettilineo uniforme $vecx (t) = vecx _0 +vecv _0 t$ è una retta nello spazio-tempo. se ora muniamo lo spazio tempo della metrica di Lorentz ci si aspetta che le rette siano delle geodetiche (estremali della corrispondente lunghezza), ovvero siano curve $Gamma$ tali che $deltas(Gamma)=0$ dove $s(Gamma)$ è la lunghezza pseudo-scalare. infatti ricordando che $ds=gamma^(-1)c dt$ si ha
$s[vecx (t)] = int_(Gamma) ds= int_(Gamma)gamma^(-1)c dt$
che è analogo al caso dei principi variazionali dove si aveva che il funzionale era l'azione $S[vecq (t)]=int Ldt$.
qui quindi il ruolo della lagrangiana è giocato da $L=gamma^(-1)c$ ed il problema di cercare i movimenti estremali è equivalente a cercare i movimenti di questa lagrangiana.
per dimostrare invece che gli estremali sono proprio moti rettilinei uniformi esiste un lemma.
dato poi che una costante moltiplicativa non altera le equazioni del moto si può considerare la più generale lagrangiana $L=a sqrt(1-v^2 / c^2)$.
per determinare $a$ usiamo il "principio di corrispondenza" (la meccanica relativistica deve cioè ridursi a quella classica nel limite $v/c -> 0$). quindi deve valere (in quel limite) che $L ~= 1/2 m v^2 + \text{cost}$ (nella lagrangiana le costanti additive sono irrilevanti).
prendendo quindi la lagrangiana che abbiamo scritto prima ed espandendo la radice si ottiene $L~= a-a/2 v^2 / c^2$.
per confronto si giunge quindi al valore $a=-mc^2$
Ho cercato un po' in giro , e ho trovato questo :
http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.11 ... alCode=ajp
purtroppo però l'articolo non è scaricabile, a meno che non ti iscrivi al sito
Il formalismo per una singola particella, come ha spiegato egregiamente Cooper, lo conosci già , suppongo, e comunque si può vedere qui:
http://users.physics.harvard.edu/~morii ... ture17.pdf
in queste slides , ad un certo punto si legge questo :
insomma , sembra che non si riesca ad avere una soddisfacente formulazione relativistica per un sistema di molte particelle, tranne che in casi particolari . Ho controllato il Goldstein , a pag 313 , e dice proprio quello...
Io penso che si dovrebbe ragionare sull' invarianza dei 4-impulsi delle particelle , la cui parte temporale è $E_i/c$ e la parte spaziale è la qdm relativistica $gamma_im_iv_i$ . Ma non saprei come sfruttare questo fatto, in un sistema multiplo .
Quando le particelle sono solo due , la trattazione analitica non è difficile , ad es nel caso di urto .
Mi spiace di non esser in grado di aiutarti . Bisognerebbe scaricare quell'articolo citato all'inizio .
http://aapt.scitation.org/doi/abs/10.11 ... alCode=ajp
purtroppo però l'articolo non è scaricabile, a meno che non ti iscrivi al sito
Il formalismo per una singola particella, come ha spiegato egregiamente Cooper, lo conosci già , suppongo, e comunque si può vedere qui:
http://users.physics.harvard.edu/~morii ... ture17.pdf
in queste slides , ad un certo punto si legge questo :
insomma , sembra che non si riesca ad avere una soddisfacente formulazione relativistica per un sistema di molte particelle, tranne che in casi particolari . Ho controllato il Goldstein , a pag 313 , e dice proprio quello...
Io penso che si dovrebbe ragionare sull' invarianza dei 4-impulsi delle particelle , la cui parte temporale è $E_i/c$ e la parte spaziale è la qdm relativistica $gamma_im_iv_i$ . Ma non saprei come sfruttare questo fatto, in un sistema multiplo .
Quando le particelle sono solo due , la trattazione analitica non è difficile , ad es nel caso di urto .
Mi spiace di non esser in grado di aiutarti . Bisognerebbe scaricare quell'articolo citato all'inizio .
Vi ringrazio ragazzi, siete stati molto gentili.
A quanto pare non è una cosa semplice come credevo, anche se quell'articolo sembra faccia proprio quello che stavo cercando di fare io.
A quanto pare non è una cosa semplice come credevo, anche se quell'articolo sembra faccia proprio quello che stavo cercando di fare io.
Ad ogni modo ci stavo ripensando e guardate che cosa bella...
Se nella formula che ho scritto in [1], pongo N=1 ottengo:
\( \displaystyle -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial }{\partial \dot{q_k}}\left ( \frac{E_{0}}{\gamma} +V\right )+\frac{\partial }{\partial q_k}\left ( \frac{E_{0}}{\gamma}+V \right )=0 \)
da cui posso porre:
\(\displaystyle L=-\frac{E_{0}}{\gamma} -V =-m_0c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-V \)
che sembra essere proprio quella che dice Cooper nel caso in cui la particella non sia libera (presenza aggiuntiva di V), o sbaglio?
A questo punto ho pensato: ma quale sarebbe il problema nel porre semplicemente \( \displaystyle L=-\left ( \sum_{i=1}^{N}\left ( \frac{E_{0_i}}{\gamma_i}\right )+V\right ) \) nella mia equazione in [1]
E' così strano che la Lagrangiana abbia quella espressione, anche se in essa non compare esplicitamente l'energia cinetica totale del sistema?
Chissà se in quell'articolo trovano proprio questa...
Se nella formula che ho scritto in [1], pongo N=1 ottengo:
\( \displaystyle -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial }{\partial \dot{q_k}}\left ( \frac{E_{0}}{\gamma} +V\right )+\frac{\partial }{\partial q_k}\left ( \frac{E_{0}}{\gamma}+V \right )=0 \)
da cui posso porre:
\(\displaystyle L=-\frac{E_{0}}{\gamma} -V =-m_0c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-V \)
che sembra essere proprio quella che dice Cooper nel caso in cui la particella non sia libera (presenza aggiuntiva di V), o sbaglio?
A questo punto ho pensato: ma quale sarebbe il problema nel porre semplicemente \( \displaystyle L=-\left ( \sum_{i=1}^{N}\left ( \frac{E_{0_i}}{\gamma_i}\right )+V\right ) \) nella mia equazione in [1]
E' così strano che la Lagrangiana abbia quella espressione, anche se in essa non compare esplicitamente l'energia cinetica totale del sistema?
Chissà se in quell'articolo trovano proprio questa...
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