Lagrangiana, piccole oscillazioni.
Avrei un po' di dubbi da esporvi:
1) Le equazioni di Lagrange, essendo scalari, sono invarianti in qualsiasi sistema di riferimento che consideriamo? E cio' le distingue dalle equazioni newtoniane?
2) Nell'oscillatore armonico, sotto ipotesi di piccole oscillazioni e di perturbazioni "deboli" del sistema in esame dalla config. d'equilibrio, non riesco a spiegarmi perché:
sviluppo l'energia potenziale $U$ in serie di Taylor:
$U(x)=U(0)+dot U(0)x+1/2 ddot U(0)x^2+o(x^2)$
Perché i primi due termini dello sviluppo possono essere trascurati? Lo zero dentro le parentesi è dovuto allo sviluppo centrato in 0?
3)Nell'oscillatore forzato, oltre a considerare la componente cinetica e quella potenziale, va considerata anche la seconda energia potenziale $Psi(x,t)$ dovuta alla presenza del campo esterno. Sviluppandolo in serie di Taylor si ha:
$Psi(x,t)=Psi(0,t)+dot Psi(0,t)x + 1/2 ddot Psi(0,t)x^2+o(x^2)$
Perché viene considerato solamente il secondo termine in quanto il primo, essendo funzione solo del tempo, puo' essere omesso nella funzione lagrangiana?
1) Le equazioni di Lagrange, essendo scalari, sono invarianti in qualsiasi sistema di riferimento che consideriamo? E cio' le distingue dalle equazioni newtoniane?
2) Nell'oscillatore armonico, sotto ipotesi di piccole oscillazioni e di perturbazioni "deboli" del sistema in esame dalla config. d'equilibrio, non riesco a spiegarmi perché:
sviluppo l'energia potenziale $U$ in serie di Taylor:
$U(x)=U(0)+dot U(0)x+1/2 ddot U(0)x^2+o(x^2)$
Perché i primi due termini dello sviluppo possono essere trascurati? Lo zero dentro le parentesi è dovuto allo sviluppo centrato in 0?
3)Nell'oscillatore forzato, oltre a considerare la componente cinetica e quella potenziale, va considerata anche la seconda energia potenziale $Psi(x,t)$ dovuta alla presenza del campo esterno. Sviluppandolo in serie di Taylor si ha:
$Psi(x,t)=Psi(0,t)+dot Psi(0,t)x + 1/2 ddot Psi(0,t)x^2+o(x^2)$
Perché viene considerato solamente il secondo termine in quanto il primo, essendo funzione solo del tempo, puo' essere omesso nella funzione lagrangiana?
Risposte
ciao. cerco di risponderti....
1) Non capisco tanto bene cosa intendi. In ogni caso direi di no. Le equazioni di Lagrange sono vettoriali perchè sono costruite con i gradienti della lagrangiana che si trasformano passando tra diversi sistemi di riferimento.
2) Non è che vengono trascurati. Il termine con la derivata prima rappresenta la forza, quindi, per definizione, si annulla in un punto di equillibrio. Il termine U(0) invece è una costante, cioè non dipende da q, quindi ai fini del calcolo delle equazioni del moto è del tutto ininfluente.
3) Qua proprio non capisco...potresti descrivere meglio cosa è quel potenziale aggiuntivo dipendente dal tempo?
1) Non capisco tanto bene cosa intendi. In ogni caso direi di no. Le equazioni di Lagrange sono vettoriali perchè sono costruite con i gradienti della lagrangiana che si trasformano passando tra diversi sistemi di riferimento.
2) Non è che vengono trascurati. Il termine con la derivata prima rappresenta la forza, quindi, per definizione, si annulla in un punto di equillibrio. Il termine U(0) invece è una costante, cioè non dipende da q, quindi ai fini del calcolo delle equazioni del moto è del tutto ininfluente.
3) Qua proprio non capisco...potresti descrivere meglio cosa è quel potenziale aggiuntivo dipendente dal tempo?
Per la 3 lo ometti perchè poi devi inserire la approsimazione che hai ottenuto nelle equazioni di Lagrange dove sai che al primo termine derivi rispetto alla componente generalizzata e il tuo termine essendo dipendente solo dal tempo risulta identicamente nullo
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