Lagrangiana nel continuo
Salve!
Vorrei sapere se esiste un'equivalente della funzione lagrangiana nel continuo. Ovvero, per un sistema di particelle posso ricavarmi la lagrangiana e da questa, con le equazioni di Euler-Lagrange, le equazioni del moto (ammesso certo che tutto fili nel migliore dei modi
).
La mia domanda è se, data un'equazione nel continuo, $y'(t) = f(t,y(t))$ vi sia una procedura analoga. Equivalentemente, vorrei sapere se esiste una sorta di funzionale azione sul continuo, o un principio di Hamilton, sempre sul continuo.
Spero di essermi spiegato, in ogni caso, qualsiasi aiuto o rimando è gradito!
Ciao e buona giornata
Vorrei sapere se esiste un'equivalente della funzione lagrangiana nel continuo. Ovvero, per un sistema di particelle posso ricavarmi la lagrangiana e da questa, con le equazioni di Euler-Lagrange, le equazioni del moto (ammesso certo che tutto fili nel migliore dei modi
).La mia domanda è se, data un'equazione nel continuo, $y'(t) = f(t,y(t))$ vi sia una procedura analoga. Equivalentemente, vorrei sapere se esiste una sorta di funzionale azione sul continuo, o un principio di Hamilton, sempre sul continuo.
Spero di essermi spiegato, in ogni caso, qualsiasi aiuto o rimando è gradito!
Ciao e buona giornata
Risposte
Non ricavi direttamente la lagrangiana, ma una funzione che si chiama densità lagrangiana $l$ che poi vai ad integrare sullo spazio per ottenere la lagrangiana. Dopodiché ottieni le analoghe equazioni di Eulero-Lagrange usando proprio il principio variazionale.
L'argomento è spiegato molto bene nei primi due paragrafi del capitolo 13 del libro "Meccanica classica" di Goldstein, "dinamica dei sistemi continui e dei campi".
L'argomento è spiegato molto bene nei primi due paragrafi del capitolo 13 del libro "Meccanica classica" di Goldstein, "dinamica dei sistemi continui e dei campi".
Il formalismo lagrangiano è alla base della Teoria Quantistica dei Campi; trovi una spiegazione ad esempio qui:
http://www.theorie.physik.uni-goettingen.de/~kree/master/print.pdf da pag. 128 in poi.
http://www.theorie.physik.uni-goettingen.de/~kree/master/print.pdf da pag. 128 in poi.
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