Lagrangiana ed equazioni del moto (meccanica analitica)

[cosssa]

Ciao! Sto svolgendo dei primi esercizi per quanto riguarda la meccanica lagrangiana e ho alcuni dubbi sul ragionamento e procedimento.

In questo specifico esercizio ho:

Un piano orizzontale con assi $Oxy$ in cui è presente un solido circolare di massa $M$ e raggio $R$ con centro $c$ sull'asse delle x, questo può traslare sull'asse senza ruotare. Sul piano è posta anche un'asta omogenea, massa $m$ e lunghezza $L=Rsqrt(2)$ i cui estremi A e B possono scorrere lungo una guida corrispondente il bordo del solido circolare. Tale asta è soggetta all'unica forza attiva presente nel sistema $F=-kHG$ , $k>0$ dove G è il baricentro dell'asta e H la proiezione di G sull'asse x. Si assumano come variabili lagrangiane l'ascissa x di $c$ (centro del solido circolare) e l'angolo $\theta$ che CG forma con l'asse x.

Ora so bene che senza un disegno del sistema è tutto molto più difficile da comprendere ma spero che ci si possa fare almeno un idea di cosa c'è in gioco.

Ho calcolato l'energia cinetica considerando le coordinate di $G(x_G,y_G)$ in funzione di $\theta$ e dei dati che ho dal problema.

$ T=1/2Mdot(x_c)^2+1/2mv_G^2 + 1/2I_c dot(theta)^2 $

tenendo conto che $v_G^2=x_G^2+y_G^2$

in questo modo ottengo:

$T=1/2Mdot(x_c)^2+1/2m(dot(x_c)^2+R^2 cos^2(\theta) dot(theta)^2+R^2sin^2 (2\theta) dot(theta)^2 + dot(x_c)Rsqrt(2)cos(\theta) dot(theta))+(mL^2)/24 dot(theta)^2 $

Mentre per quanto riguarda l'energia potenziale del sistema dato che sono su un piano orizzontale non devo tener conto dell'accelerazione di gravità (giusto?) e ho come unica forza attiva $F=-kHG$
Quindi dovrei avere

$U=1/2k|HG|^2$ con $|HG|=Rsin^2(\theta)$

allora

$U=1/2kR^2sin^4(\theta)$


Posso ora calcolare la lagrangiana come $L=T-U$ e successivamente le equazioni del moto con

$ d/dt(\partialL)/(\partialdot(q)) - (\partialL)/(\partialq)=0 $

Nel mio caso ho $dot(q)=dot(theta)$ , $q=theta$ e $dot(q)=dot(x_c)$ , $q=x_c$

Facendo i calcoli ottengo come equazioni del moto quanto segue per $theta$:

$ Rddot(theta)(cos^2theta+sin^2(2theta))+R/2dot(theta)^2(4sin(2theta)cos(2theta)-sin(2theta))+sqrt(2)/2ddot(x_c)costheta+L^2/(12R) + 2kR/msin^3thetacostheta=0 $

e per $x_c$:

$ ddot(x_c)(M+m)+ 1/2mRsqrt(2)(costhetaddot(theta)-sintheta dot(theta)^2)=0 $

Vorrei capire se sto ragionando nel modo corretto anche perchè non ho un riscontro nè la soluzione dell'esercizio.
So che è lungo e laborioso ma spero che qualcuno di voi mi possa dire se sto procedendo in modo giusto anche perchè adesso devo determinare gli equilibri e devo porre $(\partialU)/(\partialtheta)=0$ e così anche con $x_c$ ma proprio quest'ultimo non è presente nell'energia potenziale da me trovata quindi non so se sto tralasciando qualcosa nei mie calcoli e ragionamenti.

[professorkappa]

Mi pare che ci sia qualche errore di qui e di la.
Prova a vedere come si raffronta con la mia soluzione, che puoi scaricare qui:

https://www.dropbox.com/s/bbpv93d33uc47 ... 6.jpg?dl=0

[cosssa]

Grazie mille è stato utilissimo vedere la tua soluzione! Ho fatto parecchi errori più che altro nell'impostare all'inizio i vari dati e questo mi ha complicato molto i calcoli successivi..l'unica cosa che non mi è chiara è perchè calcoli l'equazione del moto con l'energia cinetica e non con la lagrangiana.

[professorkappa]

E' la stessa identica formula che usi tu, ma la mia notazione tiene gia' conto che il potenziale delle forze esterne $V=f(q)$ (cioe' non dipende da $dotq$), e di conseguenza $ d/dt([partialV]/[partialdotq])=0 $
Con questa considerazione,

$ d/dt([partialL]/[partialdotq])-[partialL]/[partialq]=0 implies d/dt([partialE_k]/[partialdotq])-[partialE_k]/[partialq]=[partialV]/[partialq]=F_q $

Che danno le stesse equazioni del moto canonico (cioe' partendo dalla lagrangiana $L=E_k-U$)

V e' il potenziale della forza (attento, NON l'energia potenziale, quella e' U, anche se nella mia soluzione ho usato U per indicare il potenziale, la sostanza non cambia).
A questo proposito, un consiglio: io personalmente uso il potenziale V, perche mi riduce il rischio di sbagliare i segni. La lagrangiana e' potentissima, perche ti riduce il numero di equazioni eliminando i vincoli interni, ma e' un procedimento subdolo con i maledetti segni, quindi scegli quello che ti pare, ma usalo sempre (consiglio personale).

$F_q$ e' anche nota come componente lagrangiana della forza esterna, cioe' la componente che compie lavoro.
Nel tuo caso, per esempio, la $F_x=0$ perche la componente della forza esterna non compie lavoro al variare della coordinata lagrangiana x, mentre al variare della coordinata lagrangiana $theta$ compie lavoro, quindi $ F_theta ne0 $ e va calcolata (l'ho calcolata nella mia soluzione se non ricordo male)