Lagrangiana e molle
Cari utenti,
mi sono imbattuto in un problema di meccanica razionale ma un dubbio mi attanaglia:
Il sistema è costituito da tre molle di costante elastica k adagiate sull'asse x collegate a due masse m_1 e m_2
(SCHEMA: muro,molla_1,massa_1,molla_2,massa_2,molla_3,muro)
le molle possono muoversi solo sull'asse x, non vi sono efetti dovuti alla gravità.
Ricavare le equazioni di Lagrange.
IL MIO RAGIONAMENTO
ho già risolto casi in cui fosse presente una molla, e lì l'energia potenziale era semplicemente $U=1/2kx^2$, ora che però non posso centrare il sistema di riferimento nel punto di riposo della molla(dato che sono tre), non so come Impostare il calcolo dell'energia potenziale, qualcuno può darmi una mano?
mi sono imbattuto in un problema di meccanica razionale ma un dubbio mi attanaglia:
Il sistema è costituito da tre molle di costante elastica k adagiate sull'asse x collegate a due masse m_1 e m_2
(SCHEMA: muro,molla_1,massa_1,molla_2,massa_2,molla_3,muro)
le molle possono muoversi solo sull'asse x, non vi sono efetti dovuti alla gravità.
Ricavare le equazioni di Lagrange.
IL MIO RAGIONAMENTO
ho già risolto casi in cui fosse presente una molla, e lì l'energia potenziale era semplicemente $U=1/2kx^2$, ora che però non posso centrare il sistema di riferimento nel punto di riposo della molla(dato che sono tre), non so come Impostare il calcolo dell'energia potenziale, qualcuno può darmi una mano?
Risposte
Solitamente si considerano le coordinate lagrangiane $[x_1]$ e $[x_2]$ a partire dalle rispettive posizioni di equilibrio. Supponendo molle e masse rispettivamente uguali:
$[L=1/2mdotx_1^2+1/2mdotx_2^2-1/2kx_1^2-1/2k(x_2-x_1)^2-1/2kx_2^2]$
$[L=1/2mdotx_1^2+1/2mdotx_2^2-1/2kx_1^2-1/2k(x_2-x_1)^2-1/2kx_2^2]$
Ti ringrazio infinitamente per la risposta, però, se non ti arreca disturbo, vorrei chiederti qualche ulteriore spiegazione:
perchè è lecito, in uno stesso sistema, adottare dei diversi riferimenti (le posizioni di equilibrio per ciascuna molla)?
Inoltre, potresti spiegarmi come hai ricavato il potenziale della seconda molla? $x_1-x_2-l$?
Grazie mille
perchè è lecito, in uno stesso sistema, adottare dei diversi riferimenti (le posizioni di equilibrio per ciascuna molla)?
Inoltre, potresti spiegarmi come hai ricavato il potenziale della seconda molla? $x_1-x_2-l$?
Grazie mille
"mattcryo":
Perchè è lecito, in uno stesso sistema, adottare dei diversi riferimenti (le posizioni di equilibrio per ciascuna molla)?
Per quale motivo non dovrebbe esserlo? Le coordinate lagrangiane si introducono per individuare univocamente la posizione dei punti facenti parte del sistema. Questo è l'unico requisito necessario. Se si vuole riferire la loro posizione rispetto ad un origine comune, ovviamente si è liberi di farlo. Tuttavia, quando si studia il sistema costituito da un numero arbitrario di masse puntiformi collegate da molle, la scelta che ti ho indicato risulta essere la più naturale.
"mattcryo":
Potresti spiegarmi come hai ricavato il potenziale della seconda molla?
In effetti, avendo fatto un po' di confusione, ho modificato e corretto il mio post precedente. In ogni modo, l'energia potenziale elastica associata ad una molla vale $[U=1/2k(l-l_0)^2]$, dove $[l_0]$ è la lunghezza a riposo e $[l]$ è la lunghezza ad un generico istante. In questo caso, $[l-l_0=x_2-x_1]$.
Ti ringrazio ancora per la disponibilità; in effetti, essendo poco abiuato alla trattazione lagrangiana dei sistemi fisici, ho ancora qualche reticenza a definire un sistema di riferimento "multiplo", anche perchè, purtroppo, non è semplice conciliare 4 corsi in contemporanea, specialmente se a meccanica analitica sono stati assegnati solo 5CFU....
Sperando di riuscire a trovare un po' di tempo per questa interessantissima branca della fisica, ti ringrazio nuovamente
Sperando di riuscire a trovare un po' di tempo per questa interessantissima branca della fisica, ti ringrazio nuovamente
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