Lagrangiana di un sistema

[giantmath]

si deve scrivere la Lagrangiana del seguente sistema:



in cui $ m $ è vincolata a muoversi nel piano xy lungo l'ellisse che ha la parametrizzazione $ { ( x=acostheta ),( y=bsintheta ):} $ con $ a>b>0 $ , $ theta∈[0,2pi[ $ e $ tantheta'=b/atantheta $ .

quello che non ho capito è come ricavare $ theta $ da quest'ultima relazione per poter scrivere la Lagrangiana

[anonymous_0b37e9]

Se si devono esprimere le coordinate cartesiane in funzione dell'angolo $\theta'$, tanto vale procedere in coordinate polari:

$[x=rcos\theta'] ^^ [y=rsin\theta']$

In questo modo:

$[x^2/a^2+y^2/b^2=1] rarr [(r^2cos^2\theta')/a^2+(r^2sin^2\theta')/b^2=1] rarr [r=(ab)/sqrt(b^2cos^2\theta'+a^2sin^2\theta')] rarr$

$[x=(abcos\theta')/sqrt(b^2cos^2\theta'+a^2sin^2\theta')] ^^ [y=(ab sin\theta')/sqrt(b^2cos^2\theta'+a^2sin^2\theta')]$

Insomma, anche se si possono ottenere le medesime formule introducendo il parametro $\theta$, ho la netta impressione che si tratti di un procedimento più involuto.

[Lampo1089]

Si tratta di esprimere l'energia cinetica e il potenziale in termini dell'unica coordinata lagrangiana.
Semplicemente (a meno di strafalcioni):

\[
L = \frac{1}{2} m\left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2\right) - m g y = \frac{1}{2} m\left(a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta\right)\dot{\theta}^2 - m g b \sin\theta
\]

non è necessario invertire le relazioni per potere scrivere la lagrangiana

[anonymous_0b37e9]

"Lampo1089":
Si tratta di esprimere l'energia cinetica e il potenziale in termini dell'unica coordinata lagrangiana.

Visto che, nell'immagine allegata, compare $\theta'$, presumo che la Lagrangiana debba essere espressa in funzione di $\theta'$ e non di $theta$. Viceversa, la consegna sarebbe fin troppo banale.

[Lampo1089]

Effettivamente

[giantmath]

grazie!