Lagrangiana

[kit79]

Ciao,
Sia $L$ la Lagrangiana rispetto alle "vecchie" coordinate $L=L(q,(dq)/dt,t)$

Facciamo un cambio di coordinate: $q -> Q(q,(dq)/dt,t)$ e $(dq)/dt->(dQ)/dt(q,(dq)/dt,t)$

Ovviamente vale anche l'inverso, cioè esprimere le vecchie coordinate rispetto alle nuove.

Nei libri per trovare la nuova lagrangiana $L'$ rispetto alle nuove coordinate $L'(Q,(dQ)/dt,t)$ di solito si scrive:
$L(q,(dq)/dt,t)=L(q(Q,(dQ)/dt,t),(dq)/dt(Q,(dQ)/dt,t),t)=L'(Q,(dQ)/dt,t)$

Però:
sia $L$ che $L'$ devono soddisfare il principio di Hamilton $delta*int dt*L = 0$ e $delta*int dt*L' =0$ e quindi è facile vedere che deve valere $L - L' = (dF)/dt$ dove $F$ è la cosiddetta "funzione generatrice".

Dalla prima espressione che ho scritto sembrerebbe che $L=L'$, invece $L-L'=(dF)/dt$

Non so spiegarmi questa differenza...

E poi (all'incontrario):
si sa che la differenza delle Hamiltoniane nelle vecchie e nelle nuove coordinate è uguale a $H' - H = (dF)/dt$. Visto che questa è giusta, nel libro dice che non vale scrivere $H(q,p,t)=H(q(Q,P,t),p(Q,P,t),t)=H'(Q,P,t)$ .

Sembra una contraddizione, ma forse la spiegazione è nella lagrangiana di sopra...

Mah, fatemi sapere...grazie, è molto interessante...

[kit79]

nessuno che ha fatto un corso di meccanica generale?

[alle.fabbri]

Ciao. L'approccio variazionale alla meccanica sostituisce i principi di Newton con il principio di stazionarietà dell'azione, definita tramite integrale temporale della lagrangiana. Dati due sistemi di coordinate ${q}$ e ${Q}$ di lagrangiane $L$ e $L'$ niente assicura che $L=L'$, infatti le trasformazioni possono dipendere dal tempo e questo dovrebbe convincerti che in generale le due lagrangiane puntualmente possono assumere valori differenti. Per principio sappiamo però che
$\delta \int_(t_1)^(t_2) L(q, \dot q, t) dt = 0$ e $\delta \int_(t_1)^(t_2) L'(Q, \dot Q, t) dt = 0$
sulle traiettorie fisiche. Quindi
$\delta \int_(t_1)^(t_2) (L-L') dt = 0$
dal punto di vista variazionale il modo più generale di esprimere lo zero a destra del numeratore è
$\delta \int_(t_1)^(t_2) (dF)/(dt) dt$
infatti
$\int_(t_1)^(t_2) (dF)/(dt) dt = F(t_2) - F(t_1)$
non dipende dalla traiettoria scelta quindi la sua variazione è nulla.
Hai quindi ottenuto la relazione
$L-L' = (dF)/(dt)$
Ti convince così?
Il discorso viene ancora meglio se passi al formalismo hamiltoniano. Infatti introducendo un'altra variabile ${p}$ riscriviamo il tutto come
$\delta \int_(t_1)^(t_2) (p \dot q - H(q,p,t) ) dt = 0$
con la trasformazione sullo spazio delle fasi
$Q = Q(q,p,t)$ e $P=P(q,p,t)$
cambiamo modo di descrivere il fenomeno, ma vale sempre che
$\delta \int_(t_1)^(t_2) (P \dot Q - H'(Q,P,t) ) dt = 0$
con lo stesso ragionamento di prima puoi scrivere
$\delta \int_(t_1)^(t_2) ( p \dot q - P \dot Q + (H'- H) )dt = \delta \int_(t_1)^(t_2) [ p dq - P dQ + (H'- H)dt ] = 0$
il ragionamento ora è analogo a prima. L'unica differenza sta nel fatto che l'ultima forma dell'azione suggerisce che a destra, al posto di zero, ci sia
$\delta \int_(t_1)^(t_2) d/(dt) F(q,Q,t) dt = \delta \int_(t_1)^(t_2) dF = 0$
che è possibile solo $dF$ è una forma differenziale chiusa. Allora dall'identificazione
$dF = p dq - P dQ + (H'-H) dt$
non solo ottieni la relazione che cercavi
$H'-H = (\partial F)/(\partial t)$ (c'è la derivata parziale)
ma trovi anche le trasformazioni, infatti
$p = p(q,Q,t) = (\partial F)/(\partial q)$ e $P = P(q,Q,t) = -(\partial F)/(\partial Q)$
ammesso sia possibile, invertiamo la prima rispetto a p e Q per ottenere Q=Q(q,p,t) e la inseriamo nella seconda ricavando P=P(q,p,t).

Spero di non averi confuso le idee....

[kit79]

Grazie di aver risposto innanzitutto...

La relazione $H' - H = (partialF)/(partialt)$ oltre che nei libri l'avevamo vista a lezione, quindi tutto ok.

La relazione $L-L' = (dF)/(dt)$ l'ho vista in un libro (nella serie Schaum con la dimostrazione che hai fatto tu) e non a lezione! A lezione avevo visto la seguente:

$L(q,Q,t)=L(q(Q,(dQ)/dt,t), (dq)/dt (Q,(dQ)/dt,t),t)=L'(Q,(dQ)/dt,t)$ che di per se è facile da capire, ma il mio problema è metterla in relazione con $L-L' = (dF)/(dt)$.
Mi sembra si dicano due cose differenti. Con quella serie di uguaglianze sembra si dica che $L=L'$ mentre con la dimostrazione tramite il principio di Hamilton si dice chiaramente (e l'ho capito) che non lo sono.
Forse sono io che non riesco a capire il significato dell'espressione vista a lezione...
Spero che mi hai capito, e grazie per un'altra risposta in merito (tutto quello che hai scritto l'ho capito).