Lagrange VS Eulero
In fisica stiamo studiando fluidodinamica e il mio prof ha accennato a due differenti "punti di vista" per la descrizione del moto di un fluido, il punto di vista Lagrangiano e il punto di vista Euleriano.
Ha spiegato brevemente le differenze fra i due sistemi, tuttavia sono parecchio curioso, anche perchè molto spesso leggo cose tipo le "Euleriane", le "Lagrangiane" e penso si riferiscano proprio a questo.
Quindi, la domanda è: può un differente "punto di vista" essere tanto importante nella fisica?
Avete qualche risorsa su cui possa approfondire?
Grazie, Saluti Spaziali
Fabio
Ha spiegato brevemente le differenze fra i due sistemi, tuttavia sono parecchio curioso, anche perchè molto spesso leggo cose tipo le "Euleriane", le "Lagrangiane" e penso si riferiscano proprio a questo.
Quindi, la domanda è: può un differente "punto di vista" essere tanto importante nella fisica?
Avete qualche risorsa su cui possa approfondire?
Grazie, Saluti Spaziali
Fabio
Risposte
Sostanzialmente una descrizione euleriana o lagrangiana è solo una questione di comodità nell'ottenere le equazioni che si cercano.
Euleriana: osservi una determinata porzione dello spazio e ti chiedi come cambia il comportamento di tutte le particelle che passano di li tra quando entrano e quando escono dal tuo spazio di osservazione. Facendo questo per tutti i volumetti infinitesimi in cui dividi il tuo spazio ottieni le dinamiche globali del sistema.
Lagrangiana: scegli una particella, ti ci metti a cavallo e vedi cosa succede lungo il suo cammino. Facendo questo per tutte le particelle che compongono il tuo sistema, ottieni le equazioni che governano la dinamica dell'intero sistema.
Quando si parla di Lagrangiane spesso si sta parlando delle note equazioni di Lagrange che permettono di ottenere le equazioni del moto dei corpi partendo da considerazioni di carattere energetico. Pertanto, benchè intimamente le lagrangiane sono connesse con l'osservatore lagrangiano, in generale i due termini rappresentano due entità ben differenti.
Euleriana: osservi una determinata porzione dello spazio e ti chiedi come cambia il comportamento di tutte le particelle che passano di li tra quando entrano e quando escono dal tuo spazio di osservazione. Facendo questo per tutti i volumetti infinitesimi in cui dividi il tuo spazio ottieni le dinamiche globali del sistema.
Lagrangiana: scegli una particella, ti ci metti a cavallo e vedi cosa succede lungo il suo cammino. Facendo questo per tutte le particelle che compongono il tuo sistema, ottieni le equazioni che governano la dinamica dell'intero sistema.
Quando si parla di Lagrangiane spesso si sta parlando delle note equazioni di Lagrange che permettono di ottenere le equazioni del moto dei corpi partendo da considerazioni di carattere energetico. Pertanto, benchè intimamente le lagrangiane sono connesse con l'osservatore lagrangiano, in generale i due termini rappresentano due entità ben differenti.
Meccanica dei fluidi:
Sia D una regione di $R^3$ riempita di un fluido, di cui si vuole studiare il movimento:
Il punto di vista di Eulero è quello in cui l'incognita fondamentale del problema è il campo di velocità $u(x,t)$, dove $u(x,t)$ è la velocità della particella di fluido nel punto $x$ al tempo $t$.
Il punto di vista di Lagrange è quello di seguire il movimento di ogni ben individuata particella di fluido.
La connessione formale tra i due punti di vista si ha proprio nell'interpretazione fisica del campo $u$:
assegnato il campo di velocità $u(x,t)$, allora il movimento di ogni particella di fluido è soluzione dell'equazione differenziale (nell'incognita $x(t)$):
$x'=u(x,t)$
Sia D una regione di $R^3$ riempita di un fluido, di cui si vuole studiare il movimento:
Il punto di vista di Eulero è quello in cui l'incognita fondamentale del problema è il campo di velocità $u(x,t)$, dove $u(x,t)$ è la velocità della particella di fluido nel punto $x$ al tempo $t$.
Il punto di vista di Lagrange è quello di seguire il movimento di ogni ben individuata particella di fluido.
La connessione formale tra i due punti di vista si ha proprio nell'interpretazione fisica del campo $u$:
assegnato il campo di velocità $u(x,t)$, allora il movimento di ogni particella di fluido è soluzione dell'equazione differenziale (nell'incognita $x(t)$):
$x'=u(x,t)$
Aggiungo che la descrizione euleriana è formalmente coerente con la formulazione integrale dei bilanci di energia per il sistema aperto, mentre applicando l'equivalente della formulazione lagrangiana al primo principio della termodinamica per il sistema aperto equivarrebbe a considerare un sistema chiuso di volume $dV$ e seguirlo nel corso della trasformazione ed estendere il risultato a tutti i volumi dV appartenenti al dominio del fluido.
Faccio un esempio:
Consideriamo un compressore adiabatico, possiamo fare il bilancio integrale su tutta l'apparecchiatura, applicando l'approccio euleriano, ed è quello che si usualmente, oppure possiamo seguire un volumetto del fluido in ingresso al compressore ed immaginare che esso subisca una compressione adiabatica come se fosse un sistema chiuso, il risultato è il medesimo, ma il secondo metodo è un po più artificioso.
Faccio un esempio:
Consideriamo un compressore adiabatico, possiamo fare il bilancio integrale su tutta l'apparecchiatura, applicando l'approccio euleriano, ed è quello che si usualmente, oppure possiamo seguire un volumetto del fluido in ingresso al compressore ed immaginare che esso subisca una compressione adiabatica come se fosse un sistema chiuso, il risultato è il medesimo, ma il secondo metodo è un po più artificioso.
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