La forza di Lorenz in un problema di meccanica

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H questo problema. Al punto a ho trovato devo trovare l'energia potenziale. Un contributo e dato dalla forza elastica, il secondo contributo è dato dalla forza magnetica $V=-\frac{1}{2}r\cdot F=-\frac{1}{2}r\cdot (\frac{e}{c}v \times B)$. Ho ricavato il potenziale elastico dalla seguente considerazione, e vorrei sapere se il ragionamento è corretto: $f=-k \vec r$ allora $V=\frac{k}{2} \vec r ^2=\frac{k}{2}(x^2+y^2)=\frac{k}{2}(r^2 cos^2 \phi+r^2 \sin^2 \phi)=\frac{k}{2}r^2$.

La seguente è la soluzione per il potenziale magnetico. Non capisco come con le coordinate polari ricavi il secondo passaggio.
Devo sostituire ad $r$ ed a $v$ le coordinate polari ed eseguire secondo definizione il prodotto vettoriale tenendo conto che $B_ex$ e $B_ey$ sono nulli?

Un'altra cosa non mi è chiara. $F_B$ è sempre stata $F_B=qv\times B$, da dove tira fuori $F_B=(\frac{e}{c}\times B)$?

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Aggiorno: Ho risolto il secondo potenziale secondo definizione. Rimangono le altre domande (non del foglio, ma le mie), fra cui aggiungo il significato di $\omega _{L}$.