La derivata di una melodia
Non so quasi niente di fisica ma mi è venuta un'idea che mi ossessiona da una settimana, quindi mi permetto di postarla anche se probabilmente sarà una cavolata.
Se ho ben capito le "note" dipendono dalla frequenza della vibrazione generata dallo strumento. Se noi prendessimo una melodia e la riportassimo su un grafico avremmo una funzione che associa ad ogni istante nel tempo una determinata frequenza- una specie di spartito su un piano cartesiano. Ammesso che la melodia sia derivabile, se ne prendiamo la derivata otteniamo qualcosa di musicalmente armonico e sensato?
Lo so che è una stupidaggine ma non riesco proprio a togliermela dalla testa...
Se ho ben capito le "note" dipendono dalla frequenza della vibrazione generata dallo strumento. Se noi prendessimo una melodia e la riportassimo su un grafico avremmo una funzione che associa ad ogni istante nel tempo una determinata frequenza- una specie di spartito su un piano cartesiano. Ammesso che la melodia sia derivabile, se ne prendiamo la derivata otteniamo qualcosa di musicalmente armonico e sensato?
Lo so che è una stupidaggine ma non riesco proprio a togliermela dalla testa...
Risposte
Magari può servire. Qui si parla di grafico di una melodia:
http://books.google.it/books?id=sOWw15f ... &ct=result
http://books.google.it/books?id=sOWw15f ... &ct=result
Beh, intanto come una velocità non è uno spostamento, la derivata di un suono non è più un suono! La derivata temporale di un segnale fisico ne cambia ovviamente le dimensioni.
Se trascuriamo questo 'dettaglio' e ci riferiamo al segnale tal quale indipendentemente dalle dimensioni (e quindi a meno dell'ampiezza) è chiaro che in generale l'operazione di derivazione cambia la 'melodia'.
Non sempre però, se lo fai con la 'melodia' di un diapason il suono non cambia.
La mia impressione è che, in generale, l'effetto sarebbe di distorcere con forte amplificazione degli alti... magari a qualche rockettaro piacerebbe anche...
Se trascuriamo questo 'dettaglio' e ci riferiamo al segnale tal quale indipendentemente dalle dimensioni (e quindi a meno dell'ampiezza) è chiaro che in generale l'operazione di derivazione cambia la 'melodia'.
Non sempre però, se lo fai con la 'melodia' di un diapason il suono non cambia.
La mia impressione è che, in generale, l'effetto sarebbe di distorcere con forte amplificazione degli alti... magari a qualche rockettaro piacerebbe anche...
interessante....
c'è un modo per "derivare" una forma d'onda, dal momento che a parte suoni semplici non esiste una funzione matematica esplicita?
Ci saranno metodi numerici, che calcolano la tangente in ciascun punto....
Però anche secondo me dovrebbe venire fuori un suono simile a quello originale, solo un po' distorto o sfasato, o riverberato perchè si tratta comunque sempre di sovrapposizioni di onde sinusoidali, la cui derivata è sempre sinusoidale....
c'è un modo per "derivare" una forma d'onda, dal momento che a parte suoni semplici non esiste una funzione matematica esplicita?
Ci saranno metodi numerici, che calcolano la tangente in ciascun punto....
Però anche secondo me dovrebbe venire fuori un suono simile a quello originale, solo un po' distorto o sfasato, o riverberato perchè si tratta comunque sempre di sovrapposizioni di onde sinusoidali, la cui derivata è sempre sinusoidale....
"boba74":
Però anche secondo me dovrebbe venire fuori un suono simile a quello originale, solo un po' distorto o sfasato, o riverberato perchè si tratta comunque sempre di sovrapposizioni di onde sinusoidali, la cui derivata è sempre sinusoidale....
Uhm, guarda che, sulle orme di J. Baptiste, possiamo dire che ogni funzione sufficientemente regolare è sviluppabile in serie sua. Ergo, non mi fiderei troppo di questo discorso, anche se l'idea poteva sembrare essere buona.
Solo come osservazione...
C'è un canone di Bach che se "derivato" rimane molto simile (a sentirsi) alla melodia di partenza... Quando ero all'università ci hanno fatto un bell'incontro ove ci hanno fatto sentire proprio questo "effetto"... mi scuso ma non ricordo al momento il titolo del brano!
C'è un canone di Bach che se "derivato" rimane molto simile (a sentirsi) alla melodia di partenza... Quando ero all'università ci hanno fatto un bell'incontro ove ci hanno fatto sentire proprio questo "effetto"... mi scuso ma non ricordo al momento il titolo del brano!
Però bisogna distinguere e capire qual'è il grafico che si vuole derivare...
se si parla del grafico della melodia mono-corda (per intenderci, quello illustrato nel link di Fioravante), questo è semplicemente una serie temporale di note, in cui in ascissa abbiamo il tempo e in ordinata la frequenza di una nota), allora in tal caso derivare questo significa ottenere una melodia che in generale è completamente diversa, simile solo in certi casi fortuiti per alcune successioni di note.
Ma se invece parliamo di onda sonora, allora il discorso cambia: in tal caso infatti sul grafico abbiamo in ascissa sempre il tempo, in ordinata l'ampiezza del segnale, allora quì sì che si parla di onde sinusoidali, perchè la frequenza è data dal perioro di oscillazione del segnale più che dal suo valore di ampiezza, e questo tipo di segnale può portare qualunque suono e rumore (vari strumenti contemporaneamente, con melodie e accordi), e non solo una semplice melodia. In tal caso, derivare questa funzione dovrebbe essere solo uno dei tanti "effetti" audio, quale può essere un'equalizzazione, un echo, un riverbero, ecc.... anche se sono curioso di cosa possa saltar fuori...
se si parla del grafico della melodia mono-corda (per intenderci, quello illustrato nel link di Fioravante), questo è semplicemente una serie temporale di note, in cui in ascissa abbiamo il tempo e in ordinata la frequenza di una nota), allora in tal caso derivare questo significa ottenere una melodia che in generale è completamente diversa, simile solo in certi casi fortuiti per alcune successioni di note.
Ma se invece parliamo di onda sonora, allora il discorso cambia: in tal caso infatti sul grafico abbiamo in ascissa sempre il tempo, in ordinata l'ampiezza del segnale, allora quì sì che si parla di onde sinusoidali, perchè la frequenza è data dal perioro di oscillazione del segnale più che dal suo valore di ampiezza, e questo tipo di segnale può portare qualunque suono e rumore (vari strumenti contemporaneamente, con melodie e accordi), e non solo una semplice melodia. In tal caso, derivare questa funzione dovrebbe essere solo uno dei tanti "effetti" audio, quale può essere un'equalizzazione, un echo, un riverbero, ecc.... anche se sono curioso di cosa possa saltar fuori...
"Lord K":
Solo come osservazione...
C'è un canone di Bach che se "derivato" rimane molto simile (a sentirsi) alla melodia di partenza... Quando ero all'università ci hanno fatto un bell'incontro ove ci hanno fatto sentire proprio questo "effetto"... mi scuso ma non ricordo al momento il titolo del brano!
Probabilmente ti stai confondendo con la colonna sonora de "Lo squalo"
"nnsoxke":
[quote="Lord K"]Solo come osservazione...
C'è un canone di Bach che se "derivato" rimane molto simile (a sentirsi) alla melodia di partenza... Quando ero all'università ci hanno fatto un bell'incontro ove ci hanno fatto sentire proprio questo "effetto"... mi scuso ma non ricordo al momento il titolo del brano!
Probabilmente ti stai confondendo con la colonna sonora de "Lo squalo"[/quote]
Oppure con la scena della doccia di "Psycho"...
"boba74":
Però bisogna distinguere e capire qual'è il grafico che si vuole derivare...
se si parla del grafico della melodia mono-corda (per intenderci, quello illustrato nel link di Fioravante), questo è semplicemente una serie temporale di note, in cui in ascissa abbiamo il tempo e in ordinata la frequenza di una nota), allora in tal caso derivare questo significa ottenere una melodia che in generale è completamente diversa, simile solo in certi casi fortuiti per alcune successioni di note.
??? una funzione di quel tipo non è derivabile, almeno in senso classico escludendo delta di Dirac e orpelli del genere.
"boba74":
Ma se invece parliamo di onda sonora, allora il discorso cambia: in tal caso infatti sul grafico abbiamo in ascissa sempre il tempo, in ordinata l'ampiezza del segnale, allora quì sì che si parla di onde sinusoidali, perchè la frequenza è data dal perioro di oscillazione del segnale più che dal suo valore di ampiezza, e questo tipo di segnale può portare qualunque suono e rumore (vari strumenti contemporaneamente, con melodie e accordi), e non solo una semplice melodia.
Anche qui il tuo ragionamento non è tanto condivisibile. Anche una semplice melodia (come dici tu) non è tanto semplice dal punto di vista del suo andamento temporale. Non è solo il 'rumore' a disturbare le sinusoidi pulite, pensa solo al timbro degli strumenti.
Vista come funzione del tempo anche Fra Martino suonata col flauto dolce è una bella funzioncina!
"mircoFN":
[quote="boba74"]Però bisogna distinguere ... per alcune successioni di note.
??? una funzione di quel tipo non è derivabile, almeno in senso classico escludendo delta di Dirac e orpelli del genere.
[/quote]sottoscrivo.
scusate...non ho ben capito che grafico ci sarebbe da derivare.
Innanzitutto per melodia si intende un sequenza di note. Quando invece abbiamo delle note che suonano insieme si parla di armonia. Cioè una melodia sono delle note in serie, armonia tratta di note in parallelo.
Mettiamo che la melodia è suonata da toni puri (sinusoidi). Se come grafico intendete in ascissa il tempo e in ordinate l'intensità (pressione) sonora, avremmo un grafico con una sinusoide dopo l'altra, a tratti. La funzione sarà definita a tratti: Nell'intervallo di tempo in cui vi è una nota, l'espressione della funzione sarà sin(f1 * x). Nell'intervallo di tempo di un'altra nota l'espressione sara sin(f2 * x) e così via.
Ora la derivata di una sinusoide è la cosinusoide, con la stessa frequenza (e ampiezza diversa, ma questo non interessa). Quindi la melodia è la stessa, il timbro è lo stesso. Cambia la fase iniziale dei suoni (sinusoidi che diventano cosinusoidi).
Coerreggetemi se sbaglio...
Innanzitutto per melodia si intende un sequenza di note. Quando invece abbiamo delle note che suonano insieme si parla di armonia. Cioè una melodia sono delle note in serie, armonia tratta di note in parallelo.
Mettiamo che la melodia è suonata da toni puri (sinusoidi). Se come grafico intendete in ascissa il tempo e in ordinate l'intensità (pressione) sonora, avremmo un grafico con una sinusoide dopo l'altra, a tratti. La funzione sarà definita a tratti: Nell'intervallo di tempo in cui vi è una nota, l'espressione della funzione sarà sin(f1 * x). Nell'intervallo di tempo di un'altra nota l'espressione sara sin(f2 * x) e così via.
Ora la derivata di una sinusoide è la cosinusoide, con la stessa frequenza (e ampiezza diversa, ma questo non interessa). Quindi la melodia è la stessa, il timbro è lo stesso. Cambia la fase iniziale dei suoni (sinusoidi che diventano cosinusoidi).
Coerreggetemi se sbaglio...
se invece il grafico ha in ascissa il tempo e in ordinata la frequenza, allora negli istanti in cui viene cambiata una nota la funzione non è derivabile poichè vi è una discontinuità di prima specie, per il resto la derivata è 0.
"ZeroMemory":
scusate...non ho ben capito che grafico ci sarebbe da derivare.
Innanzitutto per melodia si intende un sequenza di note. Quando invece abbiamo delle note che suonano insieme si parla di armonia. Cioè una melodia sono delle note in serie, armonia tratta di note in parallelo.
Mettiamo che la melodia è suonata da toni puri (sinusoidi). Se come grafico intendete in ascissa il tempo e in ordinate l'intensità (pressione) sonora, avremmo un grafico con una sinusoide dopo l'altra, a tratti. La funzione sarà definita a tratti: Nell'intervallo di tempo in cui vi è una nota, l'espressione della funzione sarà sin(f1 * x). Nell'intervallo di tempo di un'altra nota l'espressione sara sin(f2 * x) e così via.
Ora la derivata di una sinusoide è la cosinusoide, con la stessa frequenza (e ampiezza diversa, ma questo non interessa). Quindi la melodia è la stessa, il timbro è lo stesso. Cambia la fase iniziale dei suoni (sinusoidi che diventano cosinusoidi).
Coerreggetemi se sbaglio...
Nessuna melodia in pratica è suonata da toni puri. Ti immagini l'incipit della Quinta o il coro del Nabucco eseguito da un'orchestra di diapason?
Non è nemmeno vero che si ha una sequenza di sinusoidi pure. Qualunque suono, per quanto semplice e 'puro', emesso da uno strumento è già una complessa combinazione di armoniche (noi sentiamo quelle comprese in una certa banda di frequenze).
Cosa significa definita a tratti? La funzione è definita nel tempo, i tratti se mai ce li mettiamo noi. Considera che ciò che conta (arriva al cervello) è il segnale elettrico trasformato dall'orecchio e quindi una funzione pressione-tempo filtrata dalla banda di sensibilità e convertita. Per quanto complessa, tale funzione può essere ragionevolmente considerata continua e derivabile nel tempo. Non vi è quindi stacco netto tra una sequenza di armoniche che fanno il do e quelle successive che fanno il re.
In questo 'blending' di armoniche l'effetto della derivazione produce necessariamente un rimescolamento dato che l'amplificazione di ogni armonica è proporzionale alla sua frequenza (la derivata di A*sin(f * t) è f*A*cos(f * t)) per cui il timbro e il suono cambiano.
ok...ora ho capito meglio ciò che chiedevi. Comunque le conclusioni dovrebbero essere le stesse.
Prendiamo un pianoforte. Il timbro non è affatto semplice, ma Fourier ci dice che la forma d'onda del pianoforte è data da una combinazione lineare di sinusoidi e cosinusoidi. Mettiamo che suono una melodia (suono quindi un solo tasto alla volta e uno dopo l'altro), per esempio do, re, mi; ogni nota dura 1 secondo. Il grafico che ha in ascissa il tempo e in ordinata la pressione sonora sarà descritto dalla seguente funzione:
$y=\{(a1*sin(f1*x) + a2*sin(f2*x) ... + b1*cos(g1*x) + b2*cos(g2*x)..., se 0<=x<1),(a1*sin(h1*x) + a2*sin(h2*x) ... + b1*cos(i1*x) + b2*cos(i2*x)..., se 1<=x<2),(a1*sin(l1*x) + a2*sin(l2*x) + b1*cos(m1*x) + b2*cos(m2*x)..., se 2<=x<3):}$
adesso deriviamo il primo tratto:
abbiamo un'espressione data da una combinazione lineare di funzioni seno e coseno. La linearità dell'operatore derivata ci dice che l'espressione della derivata sarà la combinazione lineare della derivata di ogni addendo, l'omogeneità dell'operatore derivata ci dice che i coefficienti saranno gli stessi:
a1*D(sin(f1*x)) + a2*D(sin(f2*x)) ... + b1*D(cos(g1*x)) + b2*D(cos(g2*x)) ...
sappiamo che D(sin(a*x)) = a*cos(a*x)$, $D(cos(a*x)) = -a*sin(a*x)
quindi l'espressione derivata sarà:
$a1*f1*cos(f1*x) + a2*f2*cos(f2*x) text{...} - b1*g1*sin(g1*x) - b2*g2*sin(g2*x) text{...}$
Le note saranno le stesse, quindi la melodia. Pure il timbro sarà lo stesso. Cambia la fase e l'ampiezza delle armoniche, che sarà direttamente proporzionale alla loro frequenza. Puoi vedere questo processo come un'equalizzazione del suono.
fatemi sapere se ho detto cose sensate o cose che non stanno nè in cielo nè in terra. Sono solo un liceale e ho provato a dare una risposta perchè penso di esserne in grado, ma sò che posso anche sbagliare.
Prendiamo un pianoforte. Il timbro non è affatto semplice, ma Fourier ci dice che la forma d'onda del pianoforte è data da una combinazione lineare di sinusoidi e cosinusoidi. Mettiamo che suono una melodia (suono quindi un solo tasto alla volta e uno dopo l'altro), per esempio do, re, mi; ogni nota dura 1 secondo. Il grafico che ha in ascissa il tempo e in ordinata la pressione sonora sarà descritto dalla seguente funzione:
$y=\{(a1*sin(f1*x) + a2*sin(f2*x) ... + b1*cos(g1*x) + b2*cos(g2*x)..., se 0<=x<1),(a1*sin(h1*x) + a2*sin(h2*x) ... + b1*cos(i1*x) + b2*cos(i2*x)..., se 1<=x<2),(a1*sin(l1*x) + a2*sin(l2*x) + b1*cos(m1*x) + b2*cos(m2*x)..., se 2<=x<3):}$
adesso deriviamo il primo tratto:
abbiamo un'espressione data da una combinazione lineare di funzioni seno e coseno. La linearità dell'operatore derivata ci dice che l'espressione della derivata sarà la combinazione lineare della derivata di ogni addendo, l'omogeneità dell'operatore derivata ci dice che i coefficienti saranno gli stessi:
a1*D(sin(f1*x)) + a2*D(sin(f2*x)) ... + b1*D(cos(g1*x)) + b2*D(cos(g2*x)) ...
sappiamo che D(sin(a*x)) = a*cos(a*x)$, $D(cos(a*x)) = -a*sin(a*x)
quindi l'espressione derivata sarà:
$a1*f1*cos(f1*x) + a2*f2*cos(f2*x) text{...} - b1*g1*sin(g1*x) - b2*g2*sin(g2*x) text{...}$
Le note saranno le stesse, quindi la melodia. Pure il timbro sarà lo stesso. Cambia la fase e l'ampiezza delle armoniche, che sarà direttamente proporzionale alla loro frequenza. Puoi vedere questo processo come un'equalizzazione del suono.
fatemi sapere se ho detto cose sensate o cose che non stanno nè in cielo nè in terra. Sono solo un liceale e ho provato a dare una risposta perchè penso di esserne in grado, ma sò che posso anche sbagliare.
scusa non avevo finito di leggere tutto il post. Avevi gia detto dell'amplificazione delle armoniche. Comunque io intendevo a livello di melodia. Beh l'effetto allora è di sfasare il suono di 90 gradi e di equalizzarlo. Per il timbro dipende cosa intendi. Il suono finale sarà sempre di un pianoforte, o di un coro, o quello che vuoi. Io per timbro intendo quello.
dimmi cosa ne pensi
dimmi cosa ne pensi
Non concordo. Il timbro è grossolanamente lo spettro armonico ovvero la frazione di armoniche di una certa frequenza rispetto alle altre. La derivata cambia questo rapporto e quindi cambia il timbro. Non credo che un pianoforte emetta note che hanno un contenuto armonico invariante per derivazione, un diapson lo fa.
ciao
ciao
Ottima spiegazione Zeromemory, che poi era quello che volevo esprimere concettualmente nella mia prima risposta....
Derivando un suono di pianoforte (se intendiamo la forma d'onda), otteniamo un suono sfasato e di ampiezza modificata, ma che ha sempre le stesse frequenze, quindi la "melodia" intesa come successione di suoni di diverse frequenze, non cambia. L'effetto è solo una distorsione, un'equalizzazione, probabilmente salterà fuori un pianoforte distorto o in un qualche modo alterato, il problema è stabilire se sarà ancora un suono riconoscibile come "pianoforte" o se invece sembrerà uno strumento completamente diverso.
Il lato positivo di questo metodo è che ogni suono può essere scomposto in somma di sinusoidi, perciò non si applica solo a una melodia semplice, ma a un qualunque suono composto, rumore compreso.
Resta aperto il problema iniziale, cioè se noi consideriamo la melodia come un grafico continuo a tratti, allora in tal caso la sua derivata è sempre nulla, e lì ammetto di essermi sbagliato, perchè il lo consideravo continuo quando in realtà non lo è, perchè ciascuna nota della melodia ha una frequenza che è costante per il tempo in cui essa viene suonata, ma nel passaggio da una nota all'altra perde continuità, e non è derivabile.....
Derivando un suono di pianoforte (se intendiamo la forma d'onda), otteniamo un suono sfasato e di ampiezza modificata, ma che ha sempre le stesse frequenze, quindi la "melodia" intesa come successione di suoni di diverse frequenze, non cambia. L'effetto è solo una distorsione, un'equalizzazione, probabilmente salterà fuori un pianoforte distorto o in un qualche modo alterato, il problema è stabilire se sarà ancora un suono riconoscibile come "pianoforte" o se invece sembrerà uno strumento completamente diverso.
Il lato positivo di questo metodo è che ogni suono può essere scomposto in somma di sinusoidi, perciò non si applica solo a una melodia semplice, ma a un qualunque suono composto, rumore compreso.
Resta aperto il problema iniziale, cioè se noi consideriamo la melodia come un grafico continuo a tratti, allora in tal caso la sua derivata è sempre nulla, e lì ammetto di essermi sbagliato, perchè il lo consideravo continuo quando in realtà non lo è, perchè ciascuna nota della melodia ha una frequenza che è costante per il tempo in cui essa viene suonata, ma nel passaggio da una nota all'altra perde continuità, e non è derivabile.....
Scusate l'intromissione, ma la conversazione è molto stimolante e vorrei poter dare un contributo.
Cercavo in internet, per svago, una qualche delucidazione su che relazioni matematiche sono individuate per definire melodia ed armonia. Sono capitato quasi subito qua e la discussione mi è sembrata alla mia portata.
Il ragionamento portato fino ad ora non include l'aspetto ritmico.
Il suono in una partitura non è rappresentato.
io me lo figuro più così:
Sono rappresentate delle successioni di "vettori" portatori di "armonia" che sono un sottoinsieme di un insieme discreto di punti.
Possiamo anche sapere esattamente quanti punti:
se consideriamo gli strumenti come dimensioni, ogni strumento porta n ottave e 12 semitoni (nel caso occidentale moderno) dove n dipende dallo strumento
ovvero dal numero di ottave che riesce a coprire.
La successione di vettori ha un indice temporale individuabile nell'unità ritmica base della melodia.
Un esempio: un tempo 4/4 è suddivisibile in potenze di due a piacimento.
Possiamo anche dire che una melodia ha supporto compatto, ovvero ha un numero finito di intervalli: da dove inizia a dove finisce.
Possiamo anche pensare che sia una successione periodica.
Possiamo anche pensare che lo spazio delle armonie e quello del ritmo siano toroidali.
Con uno spazio del genere la derivata continua non ha ragione di essere, la derivata che si deve usare è il vettore differenza nell'unità di tempo.
questo vettore indica la traslazione del vettore $Vi$ al vettore $Vi+1$ della successione.
Quale sarà il risultato in uno spartito di una tale derivata discreta?
se assumiamo periodicità nello spartito possiamo considerare note negative e positive.
Ed è quindi possibile individuare una corrispondente partitura corrispondente ad una successione di vettori ottenuti come la differenza di vettori di una melodia.
Senza andare a fare un programma che derivi S. Martino possiamo immaginare cosa verrebbe fuori a grandi linee smorzando l'entusiasmo:
>Consideriamo un solo strumento!!!
E qui iniziano i ragionamenti.
la sequenza di tasti del pianoforte diventa una unica pigiata sul primo tasto?
le note che sono più lunghe di una unità temporale come si considerano?
questa ultima domanda salta fuori perché musicalmente è diverso due mezzi tempi da un tempo, non c'è la "battuta" a metà della nota lunga 1.
L'idea della "battuta" mi porta a pensare che la melodia vada associata a due successioni, una che porta l'informazione della durata della nota
ed una che porta informazione dei vettori armonici.
Se applichiamo la derivata solo alla componente vettoriale considerando nulle tutte le note che hanno valore nullo di durata
e riproduciamo lasciando le "durate" originali, allora cosa viene fuori?
successione di tasti al pianoforte:
serie di pigiate del primo tasto.
successione decrescente di tasti al pianoforte:
serie di pigiate dell'ultimo tasto.
successione di ogni due tasti:
secondo e penultimo tasto per crescenti e decrescenti.
se consideriamo come unità temporale il "mezzo pigiamento" le cose si complicano:
la successione di melodie $M=(1,2,3,4)$ e tempi $T(1,1,1,1)$ diventa
$M1=(1,0,2,0,3,0,4,0)$ e $T1(2,0,2,0,2,0,2,0)$
le derivate:
$DM=(1,1,1,-3)$ in virtù della periodicità
$DM1=(-1,2,-2,3,-3,4,-4,1)$
Se utilizziamo i tempi T1 possiamo ottenere qualcosa di immaginabile come:
la pressione dell'ultimo tasto per 2 mezzi tempi, del penultimo e così via, ovvero la stessa scala rovesciata!
che dire della derivata seconda?
se nullifichiamo otterremmo $DM1=(-1,0,-2,0,-3,0,-4)$ equivalente in esecuzione temporale a DM (nel senso umano) (FORSE non pigiare una nota non esclude che essa ci sia comunque)
la derivata seconda: nel caso fortuito in cui sia il primo caso, quello in cui non nullifichiamo, ma lasciamo i valori.
$D2M1=(3,-4,5,-6,7,-8,5,-2)->(3,8,5,6,7,4,5,10)$ e quindi immaginiamo una sola ottava di 12 semitoni.
riscriviamo dm1
$DM1=(12,2,11,3,10,4,9,1)$ e quindi $D2M1=(-10,9,-8,7,-6,5,-8,11)->(2,9,4,7,6,5,4)$
i risultanti sono molto diversi!!
nel caso degli annullamenti
$DM1=(-1,0,-2,0,-3,0,-4)->(12,0,11,0,10,0,9,0)$ e quindi $D2M1=(-12,0,-11,0,-10,0,-9,0)->(1,0,2,0,3,0,4,0)
comunque se i tempi sono singoli
$A=(1,2,3,4) DA=(1,1,1,9) D2A=(0,0,8,4) D3A=(0,0,8,8) D4A=(0,8,0,4) D5A=(8,4,4,8) D6A=(8,0,0,8) D7A=(4,0,8,0)
D8A=(8,8,4,4) D9A=(0,8,0,4)
.
.
Ok, mi sono dilungato, spero che qualcuno si diverta con questi pensierini.
Cercavo in internet, per svago, una qualche delucidazione su che relazioni matematiche sono individuate per definire melodia ed armonia. Sono capitato quasi subito qua e la discussione mi è sembrata alla mia portata.
Il ragionamento portato fino ad ora non include l'aspetto ritmico.
Il suono in una partitura non è rappresentato.
io me lo figuro più così:
Sono rappresentate delle successioni di "vettori" portatori di "armonia" che sono un sottoinsieme di un insieme discreto di punti.
Possiamo anche sapere esattamente quanti punti:
se consideriamo gli strumenti come dimensioni, ogni strumento porta n ottave e 12 semitoni (nel caso occidentale moderno) dove n dipende dallo strumento
ovvero dal numero di ottave che riesce a coprire.
La successione di vettori ha un indice temporale individuabile nell'unità ritmica base della melodia.
Un esempio: un tempo 4/4 è suddivisibile in potenze di due a piacimento.
Possiamo anche dire che una melodia ha supporto compatto, ovvero ha un numero finito di intervalli: da dove inizia a dove finisce.
Possiamo anche pensare che sia una successione periodica.
Possiamo anche pensare che lo spazio delle armonie e quello del ritmo siano toroidali.
Con uno spazio del genere la derivata continua non ha ragione di essere, la derivata che si deve usare è il vettore differenza nell'unità di tempo.
questo vettore indica la traslazione del vettore $Vi$ al vettore $Vi+1$ della successione.
Quale sarà il risultato in uno spartito di una tale derivata discreta?
se assumiamo periodicità nello spartito possiamo considerare note negative e positive.
Ed è quindi possibile individuare una corrispondente partitura corrispondente ad una successione di vettori ottenuti come la differenza di vettori di una melodia.
Senza andare a fare un programma che derivi S. Martino possiamo immaginare cosa verrebbe fuori a grandi linee smorzando l'entusiasmo:
>Consideriamo un solo strumento!!!
E qui iniziano i ragionamenti.
la sequenza di tasti del pianoforte diventa una unica pigiata sul primo tasto?
le note che sono più lunghe di una unità temporale come si considerano?
questa ultima domanda salta fuori perché musicalmente è diverso due mezzi tempi da un tempo, non c'è la "battuta" a metà della nota lunga 1.
L'idea della "battuta" mi porta a pensare che la melodia vada associata a due successioni, una che porta l'informazione della durata della nota
ed una che porta informazione dei vettori armonici.
Se applichiamo la derivata solo alla componente vettoriale considerando nulle tutte le note che hanno valore nullo di durata
e riproduciamo lasciando le "durate" originali, allora cosa viene fuori?
successione di tasti al pianoforte:
serie di pigiate del primo tasto.
successione decrescente di tasti al pianoforte:
serie di pigiate dell'ultimo tasto.
successione di ogni due tasti:
secondo e penultimo tasto per crescenti e decrescenti.
se consideriamo come unità temporale il "mezzo pigiamento" le cose si complicano:
la successione di melodie $M=(1,2,3,4)$ e tempi $T(1,1,1,1)$ diventa
$M1=(1,0,2,0,3,0,4,0)$ e $T1(2,0,2,0,2,0,2,0)$
le derivate:
$DM=(1,1,1,-3)$ in virtù della periodicità
$DM1=(-1,2,-2,3,-3,4,-4,1)$
Se utilizziamo i tempi T1 possiamo ottenere qualcosa di immaginabile come:
la pressione dell'ultimo tasto per 2 mezzi tempi, del penultimo e così via, ovvero la stessa scala rovesciata!
che dire della derivata seconda?
se nullifichiamo otterremmo $DM1=(-1,0,-2,0,-3,0,-4)$ equivalente in esecuzione temporale a DM (nel senso umano) (FORSE non pigiare una nota non esclude che essa ci sia comunque)
la derivata seconda: nel caso fortuito in cui sia il primo caso, quello in cui non nullifichiamo, ma lasciamo i valori.
$D2M1=(3,-4,5,-6,7,-8,5,-2)->(3,8,5,6,7,4,5,10)$ e quindi immaginiamo una sola ottava di 12 semitoni.
riscriviamo dm1
$DM1=(12,2,11,3,10,4,9,1)$ e quindi $D2M1=(-10,9,-8,7,-6,5,-8,11)->(2,9,4,7,6,5,4)$
i risultanti sono molto diversi!!
nel caso degli annullamenti
$DM1=(-1,0,-2,0,-3,0,-4)->(12,0,11,0,10,0,9,0)$ e quindi $D2M1=(-12,0,-11,0,-10,0,-9,0)->(1,0,2,0,3,0,4,0)
comunque se i tempi sono singoli
$A=(1,2,3,4) DA=(1,1,1,9) D2A=(0,0,8,4) D3A=(0,0,8,8) D4A=(0,8,0,4) D5A=(8,4,4,8) D6A=(8,0,0,8) D7A=(4,0,8,0)
D8A=(8,8,4,4) D9A=(0,8,0,4)
.
.
Ok, mi sono dilungato, spero che qualcuno si diverta con questi pensierini.
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