La densità dell'acqua nell'oceano

[*brssfn76]

Salve

non riesco a dimostrare che la densità alla profondità y dell'oceano è dato da $\rho(y)=\rho_0[1+\rho_0gyK]$ dove K è il coefficente di compressibilità.
Ho provato a fare considerazioni su una quantità fissa di massa in funzione della variazione di volume che il cubetto infinitesimo subisce alla profondità y:

$p=(\DeltaV)/V k$ dove p è la pressione esercitata sul cubetto; non so se l'idea di partenza è giusta.... ad ogni modo per ora ho solo pasticciato e strappato fogliettini..... non è che qualcuno mi saprebbe dare la dritta giusta ?

grazie

[Falco5x]

"brssfn76":$\rho(y)=\rho_0[1+\rho_0gyK]$ dove K è il coefficente di compressibilità.
$p=(\DeltaV)/V k$

Per prima cosa mi senbra strana quella formula. Infatti poiché k più è alto più il corpo risulta incomprimibile (nel senso che serve molta più pressione per comprimerlo), mi sembra strano che invece la densità aumenti all'aumentare di K; direi invece che all'aumentare di k la densità dovrebbe rimanere sempre più costante... per cui mi aspetterei che la densità fosse inversamente dipendente da k.
Allora provo a ricavare quella formula.

$dP = g\rho dy$

$k = - V\frac{dP}{dV} = - \frac{m}{\rho }\frac{dP}{\frac{dV}{d\rho }d\rho } = - \frac{m}{\rho }\frac{dP}{ - \frac{m}{\rho ^2}d\rho } = \rho \frac{dP}{d\rho }$

$dP = \frac{k}{\rho }d\rho = g\rho dy$

$\int_{\rho _0}^\rho \frac{d\rho }{\rho ^2} = \int_0^y \frac{g}{k}dy $

$\frac{1}{\rho _0} - \frac{1}{\rho } = \frac{g}{k}y$

$\rho = \frac{\rho _0}{1 - \frac{g}{k}y\rho _0} ~= \rho _0( 1 + \frac{g}{k}y\rho _0 )$

L'ultima "quasi" uguaglianza vale quando la compressibilità è molto piccola (cioè k molto grande), come succede con l'acqua. Si può notare come la densità dipenda inversamente da k, come supponevo all'inizio.

[*brssfn76]

Penso di aver capito la tua correzione....... in effetti nei miei tentativi quel k mi finiva a denominatore e non avevo interpretato correttamente il significato fisico della costante di compressibilità: più si va verso il fondale e meno si riesce a comprimere perchè le forze intermollecolari diventano maggiori e tendono a respingere le molecole.

Una cosa soltanto ....alla fine hai fatto uno sviluppo in serie al primo ordine?
E poi $ DP=g\rhody$ hai considerato la densità costante in un tratto infinitesimo? io li lasciavo una $\rho(y)$ perchè consideravo la variazione "nel cubetto"
e questo forse mi ha portato a confondermi....

comunque grazie uscisse in un esame ne farò tesoro....

ciao

[Falco5x]

Quando si ha una funzione del tipo:
$y=\frac(1)(1-x)$
con x molto piccolo rispetto a 1, allora si può sviluppare in serie di Mc Laurin e scrivere:
$y = \frac{1}{1 - x} ~= \frac{1}{(1 - x)}_{x = 0} + x \frac{1}{( 1 - x )^2}_{x = 0} = 1 + x$
oppure in altro modo:
$y = \frac{1}{1 - x} = \frac{1 + x}{( 1 - x )( 1 + x )} = \frac{1 + x}{1 - x^2} ~= 1 + x$
considerando $x^2$ infinitesimo di ordine superiore e quindi trascurabile.

Riguardo alla relazione $dP=g\rhody$, anch'io qui intendo $\rho(y)$, però all'interno del cubetto infinitesimo va considerata costante, come tutte le funzioni di y (ad esempio $P$). Qua il trucco sta nel far sparire $P$ considerandola esprimibile mediante $\rho$ e poi integrare l'equazione differenziale a variabili separabili risultante.