Invarianza di scala

[5mrkv]

Sia $p$ una particella di $m=1$ in un potenziale unidimensionale $V(x)=\frac{x^6}{3}$ approssimazione per $x->\infty$ di $V(x)=4x^2-\frac{5}{2}x^4+\frac{1}{6}x^3$. Determinare la legge di scala con cui il periodo dipende dall'ampiezza $T \prop x \alpha$ e dell'energia $T \prop E^{\beta}$ (la $\alpha$ deve essere una variazione di scala delle coordiante).

Ora, io so che le trasformazioni di scala sono quelle che modificano la Lagrangiana ma lasciana invariate le equazioni del moto. Ovvero moltiplicano la Lagrangiana per una costante o la sommano ad una derivata totale del tempo. Non capisco però la domanda. Vedo che i punti di inversione per il moto sulla parabola ($x^6 \/ 6$) sono dati da $|x|=(E)^(1/6)$ sostituendo $E$ a $V$ poichè nel punto di inversione l'energia è solo potenziale. Ma poi? La soluzione prosegue dicendo che usando l'invarianza di scala si trova che $\alpha = -2$ e quindi $\beta = -\frac{1}{3}$. A che cosa fa riferimento? Il periodo è dato da $T=\sqrt{2}\int_{-x}^{x}\frac{dx}{\sqrt{E-V}}$, ottenuta modificando $dt=\frac{m}{2}\frac{dx}{\sqrt{E-V}}$ dove ho moltiplicato per $2$ il cammino di integrazione fra $-x$ e $x$ e ho sostituito $m$.