Invarianza dell'equazione di schroedinger
agli amici fisici (o cultori della materia, o affini) chiedo questo:
a voi qualcuno ha mai dimostrato l'invarianza dell'equazione di Schroedinger sotto il gruppo di Galileo?
ad esempio per un classico boost $x'=x-vt$ ?
a me no, per adesso non l'ha dimostrato nessuno.
e provando a fare i conti mi sono venute diverse perplessità che domani vi posterò, ora sono un po' stanco.
a voi qualcuno ha mai dimostrato l'invarianza dell'equazione di Schroedinger sotto il gruppo di Galileo?
ad esempio per un classico boost $x'=x-vt$ ?
a me no, per adesso non l'ha dimostrato nessuno.
e provando a fare i conti mi sono venute diverse perplessità che domani vi posterò, ora sono un po' stanco.
Risposte
ti ho solleticato io con la conversazione in private message? 
interessante 
no, nessuno me l'ha mai fatta vedere...
intuitivamente direi che la funzione d'onda non cambia se cambiamo sistema di riferimento inerziale...(potrei anche sbagliare) se lo vediamo matematicamente è meglio
no, nessuno me l'ha mai fatta vedere...
intuitivamente direi che la funzione d'onda non cambia se cambiamo sistema di riferimento inerziale...(potrei anche sbagliare) se lo vediamo matematicamente è meglio
è inevitabile che la funzione d'onda cambi, visto che i due sistemi di riferimento O e O' non misurano la stessa energia di una particella. e appena si prova a scrivere l'equazione di Schroedinger per O' si vede che se la funzione d'onda restasse la stessa per O e per O' essa non sarebbe sicuramente covariante.
vi lancio il problema, se vi va tra un paio di giorni confrontiamo i risultati (o anche prima)
stiamo in una dimensione, per semplicità.
utiliziamo questa convenzione per il boost
$\{(x'=x - vt ), (t'=t):}$
provare che se vale $-1/(2m)del_{x'}^2 psi' = i del_{t'} psi'$ allora vale $-1/(2m)del_{x}^2 psi = i del_t psi$
@giacor: si, e in parallelo l'inizio del corso di relatività
@cantaro: secondo me non ce la fan vedere perchè c'è un po' di polvere da mettere sotto il tappeto mi sorprende però la scarsità di materiale sul web dedicato all'argomento.
vi lancio il problema, se vi va tra un paio di giorni confrontiamo i risultati (o anche prima)
stiamo in una dimensione, per semplicità.
utiliziamo questa convenzione per il boost
$\{(x'=x - vt ), (t'=t):}$
provare che se vale $-1/(2m)del_{x'}^2 psi' = i del_{t'} psi'$ allora vale $-1/(2m)del_{x}^2 psi = i del_t psi$
@giacor: si, e in parallelo l'inizio del corso di relatività
@cantaro: secondo me non ce la fan vedere perchè c'è un po' di polvere da mettere sotto il tappeto
mi sorprende però la scarsità di materiale sul web dedicato all'argomento.
Dal momento che ogni funzione d'onda si può decomporre in onde piane consideriamo questo caso.
Scriviamo l'onda nei due sistemi di riferimento $S$ ed $S'$:
$\psi(\vecr,t) = Aexp[i/h (\vecp*\vecr-Et)]$
$\psi'(\vecr',t) = Aexp[i/h (\vecp'*\vecr'-E't)]$
Abbiamo poi le leggi di trasformazione:
$vecr = \vecr'+\vecvt$
$vecp = \vecp'+m\vecv$
$E = E'+\vecp'*\vecv+1/2mv^2$
Sostituendo tutto otteniamo:
$\psi(\vecr,t) = Aexp[i/h (\vecp*\vecr-Et)] = Aexp{i/h[(\vecp'+m\vecv)*(\vecr'+\vecvt)-(E'+\vecp'*\vecv+1/2mv^2)t]}$
$= Aexp[i/h(\vecp'*\vecr'+\vecp'*\vecvt+m\vecv*\vecr'+mv^2t -E't-\vecp'*\vecvt-1/2mv^2t)]$
$= Aexp[i/h(\vecp'*\vecr'-E't+m\vecv*\vecr'+1/2mv^2t)] = \psi'(\vecr',t)exp[i/h(m\vecv*\vecr'+1/2mv^2t)]$
Per semplicità consideriamo il caso unidimensionale:
$ih{\del\psi(x,t)}/{\delt} = -{h^2}/{2m}{\del^2\psi(x,t)}/{\delx^2}$
$ih{\del}/{\delt}[\psi'(x-vt,t)e^{i/h(mvx-1/2mv^2t)}] = -{h^2}/{2m}{\del^2}/{\delx^2}[\psi'(x-vt,t)e^{i/h(mvx-1/2mv^2t)}]$
Chiamiamo $f(x',t) = \psi'(x',t)e^{i/h(mvx'+1/2mv^2t)}$.
Allora:
$ih{\delf(x',t)}/{\delt} = -{h^2}/{2m}{\del^2f(x',t)}/{\delx^2} = -{h^2}/{2m}[{\del^2f(x',t)}/{\delx'^2}({\delx'}/{\delx})^2+{\delf(x',t)}/{\delx'}{\del^2x'}/{\delx^2}]$
Nel caso in considerazione questa si riduce a:
$ih{\delf(x',t)}/{\delt} = -{h^2}/{2m}{\del^2f(x',t)}/{\delx'^2}$
Calcolo:
${\delf(x',t)}/{\delt} = e^{i/h(mvx'+1/2mv^2t)}[{\del\psi'(x',t)}/{\delt} + {imv^2}/{2h}\psi'(x',t)]$
${\del^2f(x',t)}/{\delx'^2} = e^{i/h(mvx'+1/2mv^2t)}[{\del^2\psi'(x',t)}/{\delx^2} + {2imv}/{h}{\del\psi'(x',t)}/{\delx} - {m^2v^2}/{h^2}\psi'(x',t)]$
Sostituendo tutto viene:
$ih{\del}/{\delt}\psi'(x',t) = -{h^2}/{2m}{\del^2}/{\delx^2}\psi'(x',t) - ihv{\del}/{\delx}\psi'(x',t) + mv^2\psi'(x',t)$
Per ora mi fermo qui...
Scriviamo l'onda nei due sistemi di riferimento $S$ ed $S'$:
$\psi(\vecr,t) = Aexp[i/h (\vecp*\vecr-Et)]$
$\psi'(\vecr',t) = Aexp[i/h (\vecp'*\vecr'-E't)]$
Abbiamo poi le leggi di trasformazione:
$vecr = \vecr'+\vecvt$
$vecp = \vecp'+m\vecv$
$E = E'+\vecp'*\vecv+1/2mv^2$
Sostituendo tutto otteniamo:
$\psi(\vecr,t) = Aexp[i/h (\vecp*\vecr-Et)] = Aexp{i/h[(\vecp'+m\vecv)*(\vecr'+\vecvt)-(E'+\vecp'*\vecv+1/2mv^2)t]}$
$= Aexp[i/h(\vecp'*\vecr'+\vecp'*\vecvt+m\vecv*\vecr'+mv^2t -E't-\vecp'*\vecvt-1/2mv^2t)]$
$= Aexp[i/h(\vecp'*\vecr'-E't+m\vecv*\vecr'+1/2mv^2t)] = \psi'(\vecr',t)exp[i/h(m\vecv*\vecr'+1/2mv^2t)]$
Per semplicità consideriamo il caso unidimensionale:
$ih{\del\psi(x,t)}/{\delt} = -{h^2}/{2m}{\del^2\psi(x,t)}/{\delx^2}$
$ih{\del}/{\delt}[\psi'(x-vt,t)e^{i/h(mvx-1/2mv^2t)}] = -{h^2}/{2m}{\del^2}/{\delx^2}[\psi'(x-vt,t)e^{i/h(mvx-1/2mv^2t)}]$
Chiamiamo $f(x',t) = \psi'(x',t)e^{i/h(mvx'+1/2mv^2t)}$.
Allora:
$ih{\delf(x',t)}/{\delt} = -{h^2}/{2m}{\del^2f(x',t)}/{\delx^2} = -{h^2}/{2m}[{\del^2f(x',t)}/{\delx'^2}({\delx'}/{\delx})^2+{\delf(x',t)}/{\delx'}{\del^2x'}/{\delx^2}]$
Nel caso in considerazione questa si riduce a:
$ih{\delf(x',t)}/{\delt} = -{h^2}/{2m}{\del^2f(x',t)}/{\delx'^2}$
Calcolo:
${\delf(x',t)}/{\delt} = e^{i/h(mvx'+1/2mv^2t)}[{\del\psi'(x',t)}/{\delt} + {imv^2}/{2h}\psi'(x',t)]$
${\del^2f(x',t)}/{\delx'^2} = e^{i/h(mvx'+1/2mv^2t)}[{\del^2\psi'(x',t)}/{\delx^2} + {2imv}/{h}{\del\psi'(x',t)}/{\delx} - {m^2v^2}/{h^2}\psi'(x',t)]$
Sostituendo tutto viene:
$ih{\del}/{\delt}\psi'(x',t) = -{h^2}/{2m}{\del^2}/{\delx^2}\psi'(x',t) - ihv{\del}/{\delx}\psi'(x',t) + mv^2\psi'(x',t)$
Per ora mi fermo qui...
grazie del contributo, io avevo seguito un approccio equivalente, e il risultato è simile:
gli operatori si trasformano così:
$nabla'=nabla$ (1)
$del'_{t'}=del_{t}+v_j del_j$ (2)
e la funzione d'onda viene $psi'(x',t')=e^(-i(1/2 m v^2 t + mvx)) psi(x-vt, t)$ (3)
per lo stesso motivo che hai scritto tu (userò sempre h=1)
sostituendo (1)(2) e (3) in $-1/(2m)del_{x'}^2 psi' = i del_{t'} psi'$
viene
(lato sx dell'equazione di Schr ) $-1/(2m) del_x[ e^([...]) (del_x psi - imv psi)] = (1/2 i v del_x psi - 1/2 m v^2 psi - 1/2m del_{x}^2 psi + 1/2 v del_x psi) e^([...])$
(lato dx) $ (i del_t psi + 1/2 mv^2 psi + iv delx psi + mv^2 psi) e^([...])$
quindi $-1/(2m) del_{x}^2 psi = i del_t psi + 2mv^2psi$
la parte lineare in v mi si semplifica, ma come a te resta quella quadratica che moltiplica $psi$
purtroppo in questi casi è facilissimo fare errori di segno e mi auguro che riguardando il tutto a mente lucida se ne vadano i termini che danno fastidio.
considerazioni:
_abbiamo sbagliato entrambi i conti o l'equazione di S. non è covariante per boost galieliano? quest'ultima ipotesi mi sembra improbabile.
_la trasformazione (3) benchè per le onde piane sia più che evidente la sua veridicità, non mi piace per questo fatto: contiene la massa m! il cambio di sistema di riferimento va a dipendere dalla massa della particella?
_secondo voi è possibile scrivere (3) con dei metodi operatoriali? ho provato a scrivere $psi' = U(x) psi$ ove U(x) è il generatore di traslazioni, ma il risultato è diverso.
gli operatori si trasformano così:
$nabla'=nabla$ (1)
$del'_{t'}=del_{t}+v_j del_j$ (2)
e la funzione d'onda viene $psi'(x',t')=e^(-i(1/2 m v^2 t + mvx)) psi(x-vt, t)$ (3)
per lo stesso motivo che hai scritto tu (userò sempre h=1)
sostituendo (1)(2) e (3) in $-1/(2m)del_{x'}^2 psi' = i del_{t'} psi'$
viene
(lato sx dell'equazione di Schr ) $-1/(2m) del_x[ e^([...]) (del_x psi - imv psi)] = (1/2 i v del_x psi - 1/2 m v^2 psi - 1/2m del_{x}^2 psi + 1/2 v del_x psi) e^([...])$
(lato dx) $ (i del_t psi + 1/2 mv^2 psi + iv delx psi + mv^2 psi) e^([...])$
quindi $-1/(2m) del_{x}^2 psi = i del_t psi + 2mv^2psi$
la parte lineare in v mi si semplifica, ma come a te resta quella quadratica che moltiplica $psi$
purtroppo in questi casi è facilissimo fare errori di segno e mi auguro che riguardando il tutto a mente lucida se ne vadano i termini che danno fastidio.
considerazioni:
_abbiamo sbagliato entrambi i conti o l'equazione di S. non è covariante per boost galieliano? quest'ultima ipotesi mi sembra improbabile.
_la trasformazione (3) benchè per le onde piane sia più che evidente la sua veridicità, non mi piace per questo fatto: contiene la massa m! il cambio di sistema di riferimento va a dipendere dalla massa della particella?
_secondo voi è possibile scrivere (3) con dei metodi operatoriali? ho provato a scrivere $psi' = U(x) psi$ ove U(x) è il generatore di traslazioni, ma il risultato è diverso.
Non ho capito bene perchè nella derivata rispetto al tempo c'è un più davanti alla velocità.
Poi la relazione tra le funzioni d'onda nei due sistemi è diversa da quella che ho trovato (a parte ovviamente $h=1$) o sbaglio?
Poi la relazione tra le funzioni d'onda nei due sistemi è diversa da quella che ho trovato (a parte ovviamente $h=1$) o sbaglio?
"Eredir":
Non ho capito bene perchè nella derivata rispetto al tempo c'è un più davanti alla velocità.
c'è un più perchè $frac{del}{del t'} = frac{del x^j}{del t'} frac{del}{delx^j} + frac{delt}{delt'}frac{del}{delt}= v^j frac{del}{delx^j} + frac{del}{delt}$
"Eredir":
Poi la relazione tra le funzioni d'onda nei due sistemi è diversa da quella che ho trovato (a parte ovviamente $h=1$) o sbaglio?
premetto che a questo punto della giornata mi va insieme la vista, ma non vedo la differenza tra le due relazioni, portando al di là dell'uguale l'esponenziale cambia il suo segno e le due sono equivalenti.
"wedge":
premetto che a questo punto della giornata mi va insieme la vista, ma non vedo la differenza tra le due relazioni, portando al di là dell'uguale l'esponenziale cambia il suo segno e le due sono equivalenti.
La mia viene $\psi(x,t) = \psi'(x',t)e^{i(mvx-1/2mv^2t)}$.
La tua viene $psi(x-vt,t) = \psi'(x',t)e^{i(mvx+1/2mv^2t)}$.
Anch'io faccio un po' fatica a questo punto, però non mi sembrano proprio uguali.
scusami, io avevo letto questa
ma mi sa che l'r primato cambia poi le cose
"Eredir":
Sostituendo tutto otteniamo:
$\psi(\vecr,t) = ... = \psi'(\vecr',t)exp[i/h(m\vecv*\vecr'+1/2mv^2t)]$
ma mi sa che l'r primato cambia poi le cose
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