Intorno all'Equatore
Salve a tutti 
Ho il seguente quesito:
Due treni identici partono per un giro intorno al mondo lungo l'Equatore in direzioni opposte.
Partono insieme, viaggiano alla stessa velocità e su binari paralleli ma diversi.
Quale treno consumerà per primo il "battistrada" delle sue ruote ?
Avrei dovuto postare il problema nelle sezioni più ludiche ma l'ho scritto qui perché non so se ho ben compreso la soluzione, che pubblico sotto con le mie considerazioni.
L'ho messa sotto spoiler così chi vuole può commentare senza influenze.
Cordialmente, Alex
Ho il seguente quesito:
Due treni identici partono per un giro intorno al mondo lungo l'Equatore in direzioni opposte.
Partono insieme, viaggiano alla stessa velocità e su binari paralleli ma diversi.
Quale treno consumerà per primo il "battistrada" delle sue ruote ?
Avrei dovuto postare il problema nelle sezioni più ludiche ma l'ho scritto qui perché non so se ho ben compreso la soluzione, che pubblico sotto con le mie considerazioni.
L'ho messa sotto spoiler così chi vuole può commentare senza influenze.
Cordialmente, Alex
Risposte
Metto in spoiler anch'io visto che tu hai messo in spoiler..
@Faussone
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"Esco dallo spoiler" senno sembriamo una setta segreta
direi di sì
La forza centrifuga è la stessa perché essa è funzione solo della massa dell'oggetto e della velocità angolare di rotazione del riferimento non inerziale. Entrambe queste quantità sono uguali per i due treni.
La forza di Coriolis, a differenza di quella centrifuga, è funzione anche della velocità (nel senso vettoriale!) dell'oggetto rispetto al riferimento non inerziale, e quindi essa cambia per i due treni. Per calcolarla basta usare la sua formula
\(\displaystyle \vec F_{cor}=-2m\vec \omega \times \vec v \)
dove \(\displaystyle \vec v \) è la velocità rispetto al riferimento non inerziale.
"axpgn":
Nel "mio" SdR inerziale (dove io vedo la Terra girare) il ragionamento che ho fatto è corretto?
direi di sì
"axpgn":
Volendo andare oltre le mie conoscenze posso dire che la forza centrifuga è la stessa perché il movimento dei due treni è simmetrico rispetto a me che mi muovo con la Terra?
La forza centrifuga è la stessa perché essa è funzione solo della massa dell'oggetto e della velocità angolare di rotazione del riferimento non inerziale. Entrambe queste quantità sono uguali per i due treni.
"axpgn":
Per quanto riguarda Coriolis, ho provato a ragionarci ma finché si tratta del classico esempio della giostra o dei venti terrestri la cosa è chiara ma in questo caso non riesco a vedere dove sta ...
La forza di Coriolis, a differenza di quella centrifuga, è funzione anche della velocità (nel senso vettoriale!) dell'oggetto rispetto al riferimento non inerziale, e quindi essa cambia per i due treni. Per calcolarla basta usare la sua formula
\(\displaystyle \vec F_{cor}=-2m\vec \omega \times \vec v \)
dove \(\displaystyle \vec v \) è la velocità rispetto al riferimento non inerziale.
mathbells,
aggiungi pure per Alex che la velocità relativa del treno nel sistema rotante è diretta perpendicolarmente al raggio terrestre.
Perciò per il treno che va verso Est il risultato del prodotto vettoriale $vec\omegaxxvecv$ è diretto verso il centro della terra, quindi la forza di Coriolis è diretta in verso centrifugo per via del segno " $-$ ", cioè la forza di Coriolis tende a "staccare dai binari" il treno stesso.
Invece per il treno che va verso Ovest il risultato del prodotto vettoriale $vec\omegaxxvecv$ è diretto verso l'esterno, cioè verticalmente verso l'alto, quindi la forza di Coriolis è diretta verso il centro e perciò "attacca di più" il treno sui binari.
Un aereo di massa $m$ che segua una rotta equatoriale, è soggetta alla forza peso $mg$ , alla forza centrifuga di trascinamento (nel rif. rotante) , diretta in senso opposto al peso, che vale $m\omega^2R \approx (mg)/300$ , e alla forza di Coriolis. Perché questa assuma valori confrontabili con la forza centrifuga occorre che $2\omegav$ sia confrontabile con $\omega^2R$ . PErcio $v$ deve essere dell'ordine di $(\omegaR)/2 = 835 (km)/h$ , che non è una velocità eccessiva per un aereo di linea.
aggiungi pure per Alex che la velocità relativa del treno nel sistema rotante è diretta perpendicolarmente al raggio terrestre.
Perciò per il treno che va verso Est il risultato del prodotto vettoriale $vec\omegaxxvecv$ è diretto verso il centro della terra, quindi la forza di Coriolis è diretta in verso centrifugo per via del segno " $-$ ", cioè la forza di Coriolis tende a "staccare dai binari" il treno stesso.
Invece per il treno che va verso Ovest il risultato del prodotto vettoriale $vec\omegaxxvecv$ è diretto verso l'esterno, cioè verticalmente verso l'alto, quindi la forza di Coriolis è diretta verso il centro e perciò "attacca di più" il treno sui binari.
Un aereo di massa $m$ che segua una rotta equatoriale, è soggetta alla forza peso $mg$ , alla forza centrifuga di trascinamento (nel rif. rotante) , diretta in senso opposto al peso, che vale $m\omega^2R \approx (mg)/300$ , e alla forza di Coriolis. Perché questa assuma valori confrontabili con la forza centrifuga occorre che $2\omegav$ sia confrontabile con $\omega^2R$ . PErcio $v$ deve essere dell'ordine di $(\omegaR)/2 = 835 (km)/h$ , che non è una velocità eccessiva per un aereo di linea.
Prima di tutto grazie a tutti 
Poi ... avevo iniziato a ragionare sulla formula di Coriolis fornita da Mathbells ma non trovavo differenze tra le due perché avevo inteso che $\barv$ fosse la velocità dei treni e per quel che ricordavo del "cross product" ($\vecomega xx \vecv =omegavsintheta$) ad angoli uguali (o meglio, supplementari) mi tornavano seni uguali (pure nel segno) ma ecco che ...
Ok, allora mi torna (e in buona sostanza è simile al mio ragionamento inziale) se non fosse per una cosa: come si trova la velocità relativa (e quindi perché è perpendicolare)?
... cioè è la stessa cosa di quando ho due SdR in movimento uno verso l'altro ed utilizzo la velocità di uno relativamente all'altro per passare dalla velocità di un corpo in un sistema a quella nell'altro ?
Un'ultima cosa: la forza centrifuga NON è il risultato di un prodotto vettoriale ma solo dei moduli, giusto? Mi manca però la $L$ nel dimensionamento della forza centrifuga ... presumo che nella formula ci vada anche una distanza ... forse ...
Cordialmente, Alex
Poi ... avevo iniziato a ragionare sulla formula di Coriolis fornita da Mathbells ma non trovavo differenze tra le due perché avevo inteso che $\barv$ fosse la velocità dei treni e per quel che ricordavo del "cross product" ($\vecomega xx \vecv =omegavsintheta$) ad angoli uguali (o meglio, supplementari) mi tornavano seni uguali (pure nel segno) ma ecco che ...
"navigatore":
... che la velocità relativa del treno nel sistema rotante è diretta perpendicolarmente al raggio terrestre.
Ok, allora mi torna (e in buona sostanza è simile al mio ragionamento inziale) se non fosse per una cosa: come si trova la velocità relativa (e quindi perché è perpendicolare)?
... cioè è la stessa cosa di quando ho due SdR in movimento uno verso l'altro ed utilizzo la velocità di uno relativamente all'altro per passare dalla velocità di un corpo in un sistema a quella nell'altro ?Un'ultima cosa: la forza centrifuga NON è il risultato di un prodotto vettoriale ma solo dei moduli, giusto? Mi manca però la $L$ nel dimensionamento della forza centrifuga ... presumo che nella formula ci vada anche una distanza ... forse ...
Cordialmente, Alex
Ho modificato leggermente il mio messaggio mentre scrivevi il tuo. Ho messo le forze che sente un aereo di linea percorrendo una rotta equatoriale.
Nel sistema che ruota con la terra , il treno che percorre l'equatore ha una velocità relativa che è tangente all'equatore, quindi perpendicolare al raggio terrestre in ogni punto dell'equatore. La velocità relativa del treno rispetto alla terra vale….la velocità del treno !
In un riferimento assoluto, centrato nel centro terra ma con asse $z$ coincidente con l'asse terrestre e con assi $xy$ rivolti permanentemente verso le stelle fisse, la velocità assoluta di un punto all'equatore è somma vettoriale , in quel punto, di velocità relativa e velocità di trascinamento :
$vecv_a = vecv_r + vecv_t$
La forza apparente centrifuga, in ogni riferimento rotante, è data da : $ vecF_c = -m*vec\omegaxx(vec\omegaxxvecR)$ .
È radiale e diretta verso l'esterno.
Nel sistema che ruota con la terra , il treno che percorre l'equatore ha una velocità relativa che è tangente all'equatore, quindi perpendicolare al raggio terrestre in ogni punto dell'equatore. La velocità relativa del treno rispetto alla terra vale….la velocità del treno !
In un riferimento assoluto, centrato nel centro terra ma con asse $z$ coincidente con l'asse terrestre e con assi $xy$ rivolti permanentemente verso le stelle fisse, la velocità assoluta di un punto all'equatore è somma vettoriale , in quel punto, di velocità relativa e velocità di trascinamento :
$vecv_a = vecv_r + vecv_t$
La forza apparente centrifuga, in ogni riferimento rotante, è data da : $ vecF_c = -m*vec\omegaxx(vec\omegaxxvecR)$ .
È radiale e diretta verso l'esterno.
Per quanto riguarda Coriolis, ho provato a ragionarci ma finché si tratta del classico esempio della giostra o dei venti terrestri la cosa è chiara ma in questo caso non riesco a vedere dove sta ...
Come funziona ?
Guarda, in un sistema di riferimento assoluto, se vuoi vedere le formule, funziona cosi. R=raggio terrestre.
Indichiamo con \( \dot\varphi \) la velocita angolare relativa alla terra ( \( \dot\varphi=\frac{v_r}R \) ) e con \( \dot\theta \) la velocita' angolare della terra (il sistema rotante non inerziale, con origine coincidente con quella del sistema assoluto).
Le rotazioni sono positive verso est (antiorarie). Il moto e' "centrale" quindi il versore $\vec{n}$ normale alla traiettoria e' positivo quando rivolto verso il polo O e quello tangenziale $\vec{\tau} in accordo alla mano destra e' positivo quando "punta verso Est", in modo che \( \vec{v_r}=v_r\vec{\tau} \) quando il punto viaggia verso Est, e \( \vec{v_r}=-v_r\vec{\tau} \) quando viaggia verso ovest (guardiamo il piano equatoriale dal polo Nord)
In queste condizioni puoi scrivere in forma vettoriale:
Forze esterne = accelerazione assoluta = accelerazione relativa + accelerazione trascinamento + accelerazione coriolis
Uniche forze esterne, il peso mg e la reazione N
\( m\vec{g}+\vec{N}=m\vec{a_r}+m\vec{a_t}+m\vec{a_c} \)
da cui:
\( \vec{N}=-m\vec{g}+m\vec{a_r}+m\vec{a_t}+m\vec{a_c} \)
In entrambi i casi, sia che viaggi verso Est o verso Ovest:
Accelerazione relativa e' un'accelerazione centripeta \( ( \vec{a_r}= a_r\vec{n}=\dot\varphi^2R \vec{n}) \)
Accelerazione trascinamento, pure centripeta: ( \( \vec{a_t}= a_r\vec{n}=\dot\theta^2R \vec{n}\) )
L'accelerazione di Coriolis invece varia: quando viaggia verso Est,
\( \vec{a_c}= 2\vec{\dot\theta} \times \vec{v_r}=2\dot\theta\dot\ v_r\vec{n} \)
verso Ovest
\( \vec{a_c}= 2\vec{\dot\theta} \times (-\vec{v_r})=-2\dot\theta\dot\ v_r\vec{n} \)
Moltiplicando scalarmente la (I) per $\vec{n}$ si ha che:
verso Est
\( -N=-mg+\dot\varphi^2R +\dot\theta^2R +2\dot\theta\dot\ v_r \)
che riarrangiata da
\( N=mg-\dot\varphi^2R -\dot\theta^2R-2\dot\theta\dot\ v_r \)
Verso ovest, la forza di Coriolis cambia segno (le altre no), quindi
\( N=mg-\dot\varphi^2R -\dot\theta^2R+2\dot\theta\dot\ v_r \)
Come funziona ?
Guarda, in un sistema di riferimento assoluto, se vuoi vedere le formule, funziona cosi. R=raggio terrestre.
Indichiamo con \( \dot\varphi \) la velocita angolare relativa alla terra ( \( \dot\varphi=\frac{v_r}R \) ) e con \( \dot\theta \) la velocita' angolare della terra (il sistema rotante non inerziale, con origine coincidente con quella del sistema assoluto).
Le rotazioni sono positive verso est (antiorarie). Il moto e' "centrale" quindi il versore $\vec{n}$ normale alla traiettoria e' positivo quando rivolto verso il polo O e quello tangenziale $\vec{\tau} in accordo alla mano destra e' positivo quando "punta verso Est", in modo che \( \vec{v_r}=v_r\vec{\tau} \) quando il punto viaggia verso Est, e \( \vec{v_r}=-v_r\vec{\tau} \) quando viaggia verso ovest (guardiamo il piano equatoriale dal polo Nord)
In queste condizioni puoi scrivere in forma vettoriale:
Forze esterne = accelerazione assoluta = accelerazione relativa + accelerazione trascinamento + accelerazione coriolis
Uniche forze esterne, il peso mg e la reazione N
\( m\vec{g}+\vec{N}=m\vec{a_r}+m\vec{a_t}+m\vec{a_c} \)
da cui:
\( \vec{N}=-m\vec{g}+m\vec{a_r}+m\vec{a_t}+m\vec{a_c} \)
In entrambi i casi, sia che viaggi verso Est o verso Ovest:
Accelerazione relativa e' un'accelerazione centripeta \( ( \vec{a_r}= a_r\vec{n}=\dot\varphi^2R \vec{n}) \)
Accelerazione trascinamento, pure centripeta: ( \( \vec{a_t}= a_r\vec{n}=\dot\theta^2R \vec{n}\) )
L'accelerazione di Coriolis invece varia: quando viaggia verso Est,
\( \vec{a_c}= 2\vec{\dot\theta} \times \vec{v_r}=2\dot\theta\dot\ v_r\vec{n} \)
verso Ovest
\( \vec{a_c}= 2\vec{\dot\theta} \times (-\vec{v_r})=-2\dot\theta\dot\ v_r\vec{n} \)
Moltiplicando scalarmente la (I) per $\vec{n}$ si ha che:
verso Est
\( -N=-mg+\dot\varphi^2R +\dot\theta^2R +2\dot\theta\dot\ v_r \)
che riarrangiata da
\( N=mg-\dot\varphi^2R -\dot\theta^2R-2\dot\theta\dot\ v_r \)
Verso ovest, la forza di Coriolis cambia segno (le altre no), quindi
\( N=mg-\dot\varphi^2R -\dot\theta^2R+2\dot\theta\dot\ v_r \)
"axpgn":
...e per quel che ricordavo del "cross product" (ω⃗ ×v⃗ =ωvsinθ) ad angoli uguali (o meglio, supplementari) mi tornavano seni uguali (pure nel segno)
...però evidentemente non ricordavi che il risultato del prodotto vettore è un vettore e non un modulo (come hai scritto nella formula), e quindi il risultato dipende anche dai versi dei vettori moltiplicati, e non solo dai loro moduli e direzioni. Ciò che ti ha fatto notare navigatore
... che la velocità relativa del treno nel sistema rotante è diretta perpendicolarmente al raggio terrestre.
è corretto ma non capisco come ti abbia potuto risolvere il tuo dubbio sull'uso della formula della forza di coriolis, perché per entrambe i treni le velocità relative sono perpendicolari al raggio terrestre. Quello che cambia per le due velocità sono i versi.
"mathbells":
... però evidentemente non ricordavi che il risultato del prodotto vettore è un vettore e non un modulo (come hai scritto nella formula), e quindi il risultato dipende anche dai versi dei vettori moltiplicati, e non solo dai loro moduli e direzioni. Ciò che ti ha fatto notare navigatore
No, no, lo ricordavo che era un vettore (perpendicolare al piano in cui giacciono i due "fattori" mi pare e per il verso si usa la regola della mano destra se non erro) ma visto che modulo e segno erano uguali ho dato per scontato che fossero uguali anche i versi ...
"mathbells":
... che la velocità relativa del treno nel sistema rotante è diretta perpendicolarmente al raggio terrestre.
è corretto ma non capisco come ti abbia potuto risolvere il tuo dubbio sull'uso della formula della forza di coriolis, perché per entrambe i treni le velocità relative sono perpendicolari al raggio terrestre. Quello che cambia per le due velocità sono i versi.
Perché navigatore ha detto anche quello (ho quotato il minimo che ritenevo importante ...)
Grazie a tutti dei contributi, ora ci ragionerò su per comprendere e assimilare quanto mi avete detto
Cordialmente, Alex
È semplice Alex. La velocità angolare è un vettore perpendicolare al piano equatoriale e diretto verso il polo Nord, poiché la terra ruota da Ovest verso Est, vista nel riferimento assoluto.
LA velocità tangenziale del treno invece è diretta una volta verso Est , una volta verso Ovest , Quindi l'accelerazione di Coriolis è diretta verso il centro terra quando il treno va ad Est, e verso l'esterno quando il treno va verso Ovest.
La forza di Coriolis ha i versi opposti alle corrispondenti accelerazioni. Quindi alleggerisce il treno nel viaggio verso Est, preme il treno sulle rotaie nel viaggio verso Ovest.
LA forza centrifuga invece, data dal doppio prodotto vettoriale che ho scritto, si può anche scrivere (applicando la regola del doppio prodotto vettoriale appunto ) : $ vecF_t = \omega^2vecR$ . È diretta sempre verso l'esterno.
LA velocità tangenziale del treno invece è diretta una volta verso Est , una volta verso Ovest , Quindi l'accelerazione di Coriolis è diretta verso il centro terra quando il treno va ad Est, e verso l'esterno quando il treno va verso Ovest.
La forza di Coriolis ha i versi opposti alle corrispondenti accelerazioni. Quindi alleggerisce il treno nel viaggio verso Est, preme il treno sulle rotaie nel viaggio verso Ovest.
LA forza centrifuga invece, data dal doppio prodotto vettoriale che ho scritto, si può anche scrivere (applicando la regola del doppio prodotto vettoriale appunto ) : $ vecF_t = \omega^2vecR$ . È diretta sempre verso l'esterno.
Sì, questo mi è chiaro; appena fatto mente locale, recuperando quello che sapevo e applicandolo a quanto avete scritto mi tornano i versi e quant'altro ... il quesito in quanto tale è superato (e più o meno era impostato correttamente dall'inizio ...); quello che mi manca adesso è il "quadro" in cui inserire i concetti espressi (che sono il risultato non il punto di partenza), e cioè detto semplicemente dovrei passare a leggermi la teoria ...
Beh, prima o poi ci farò un salto ...
Beh, prima o poi ci farò un salto ...
Quello che avevi scritto in effetti era corretto, tranne la seguente frase.
Se si vuole spiegare la differenza di forze sui binari con la forza centriguga occorre infatti considerare un riferimento solidale col treno che va verso ovest e un riferimento solidale col treno che va verso est. Allora è corretto riferirsi alle differenze di forze centrifughe sui due treni.
Se ci mettiamo in un riferimento soliale con la Terra invece la forza centrifuga agente sui due treni è la stessa e la differenza si spiega con la forza di Coriolis, come detto prima.
A secondo infatti del sistema di riferimento considerato cambia la maniera di interpretare le diverse forze.
"axpgn":
Questo treno consumerà prima le sue ruote perché la forza centrifuga è minore su questo treno.
Se si vuole spiegare la differenza di forze sui binari con la forza centriguga occorre infatti considerare un riferimento solidale col treno che va verso ovest e un riferimento solidale col treno che va verso est. Allora è corretto riferirsi alle differenze di forze centrifughe sui due treni.
Se ci mettiamo in un riferimento soliale con la Terra invece la forza centrifuga agente sui due treni è la stessa e la differenza si spiega con la forza di Coriolis, come detto prima.
A secondo infatti del sistema di riferimento considerato cambia la maniera di interpretare le diverse forze.
Il fatto è che quella frase non l'ho scritta io ma l'autore del quiz e fa parte della soluzione
Ed era proprio quella che non avevo compreso appieno ...
Grazie Faussone.
Cordialmente, Alex
Ed era proprio quella che non avevo compreso appieno ...
Grazie Faussone.
Cordialmente, Alex
Oltre ai due modi menzionati (osservatore solidale al treno oppure alla Terra) il problema può essere risolto anche in un sistema di riferimento inerziale: in pratica si usa la forza centrifuga, ma poichè per un osservatore inerzlale [OI] questa non esiste, la si chiama in modo diverso. L'OI sa in effetti due cose:
i) la curvatura di una traiettoria implica un'accelerazione normale $a = \frac{v^2}{\rho}$, dove $\rho$ è il raggio di curvatura della traiettoria (in questo caso della Terra)
ii) la particella, cioè il treno, è soggetta alla forza gravitazionale, di modulo $mg$ e con orientamento radiale.
Ne deduce l'esistenza di una reazione vincolare $T$ tale da spiegare la traiettoria osservata, e quindi $m\frac{v^2}{R} = mg - T$, ovvero $T=mg-m\frac{v^2}{R}$. Se $\Omega$ è la velocità angolare di rotazione terrestre, e $v$ la velocità del treno rispetto alla superficie, l'OI misura una velocità $v \pm \Omega R$ secondo la direzione concorde o discorde, a cui corrispondono i valori di reazione vincolare $T=mg - m\frac{(v \pm \Omega R)^2}{R}$, ovviamente maggiore nel caso di movimento discorde, cioè verso ovest.
i) la curvatura di una traiettoria implica un'accelerazione normale $a = \frac{v^2}{\rho}$, dove $\rho$ è il raggio di curvatura della traiettoria (in questo caso della Terra)
ii) la particella, cioè il treno, è soggetta alla forza gravitazionale, di modulo $mg$ e con orientamento radiale.
Ne deduce l'esistenza di una reazione vincolare $T$ tale da spiegare la traiettoria osservata, e quindi $m\frac{v^2}{R} = mg - T$, ovvero $T=mg-m\frac{v^2}{R}$. Se $\Omega$ è la velocità angolare di rotazione terrestre, e $v$ la velocità del treno rispetto alla superficie, l'OI misura una velocità $v \pm \Omega R$ secondo la direzione concorde o discorde, a cui corrispondono i valori di reazione vincolare $T=mg - m\frac{(v \pm \Omega R)^2}{R}$, ovviamente maggiore nel caso di movimento discorde, cioè verso ovest.
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