Integrazione radiazione di dipolo elettrico
Buongiorno a tutti,
immaginiamo di avere una sorgente $\vec{J}(\vec{x}')$ (densità di corrente) di dimensione $d$. Sia \[ \lambda= \frac{2\pi}{k}\] la lunghezza d'onda della radiazione emessa dalla sorgente.
il potenziale vettore è:
\[ \vec{A}(\vec{x})= (\frac{\mu_0}{4\pi}) \int d^3x' \frac{\vec{J}(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|} e^{ik|\vec{x}-\vec{x}'|} \]
voglio studiare il potenziale nella "zona di radiazione", cioè ad una distanza $r$ dal centro della sorgente tale che: \[ r \gg \lambda\]
Ora approssimando il denominatore con \[|\vec{x}-\vec{x}'| \simeq{r}\]
ed espandendo in serie di Taylor l'esponenziale e infine considerando il termine con $n=0$, ottengo la "radiazione di dipolo elettrico".
\[ \vec{A}(\vec{x}) \simeq (\frac{\mu_0}{4\pi}) (\frac{e^{ikr}}{r}) \int d^3x' \vec{J}(\vec{x}') \]
Considerando solo l'integrale, integrando per parti mi e vi chiedo perché il primo termine è nullo? Cioè dato
\[ \int d^3x' \vec{J}(\vec{x}') = \vec{J} \cdot \vec{x}' \Bigg|_{\text{tutto lo spazio}} - \int \vec{x}' (\vec{\nabla}\vec{J})d^3x' \]
Perché \[ \vec{J} \cdot \vec{x}' \Bigg|_{\text{tutto lo spazio}} = 0 \]
immaginiamo di avere una sorgente $\vec{J}(\vec{x}')$ (densità di corrente) di dimensione $d$. Sia \[ \lambda= \frac{2\pi}{k}\] la lunghezza d'onda della radiazione emessa dalla sorgente.
il potenziale vettore è:
\[ \vec{A}(\vec{x})= (\frac{\mu_0}{4\pi}) \int d^3x' \frac{\vec{J}(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|} e^{ik|\vec{x}-\vec{x}'|} \]
voglio studiare il potenziale nella "zona di radiazione", cioè ad una distanza $r$ dal centro della sorgente tale che: \[ r \gg \lambda\]
Ora approssimando il denominatore con \[|\vec{x}-\vec{x}'| \simeq{r}\]
ed espandendo in serie di Taylor l'esponenziale e infine considerando il termine con $n=0$, ottengo la "radiazione di dipolo elettrico".
\[ \vec{A}(\vec{x}) \simeq (\frac{\mu_0}{4\pi}) (\frac{e^{ikr}}{r}) \int d^3x' \vec{J}(\vec{x}') \]
Considerando solo l'integrale, integrando per parti mi e vi chiedo perché il primo termine è nullo? Cioè dato
\[ \int d^3x' \vec{J}(\vec{x}') = \vec{J} \cdot \vec{x}' \Bigg|_{\text{tutto lo spazio}} - \int \vec{x}' (\vec{\nabla}\vec{J})d^3x' \]
Perché \[ \vec{J} \cdot \vec{x}' \Bigg|_{\text{tutto lo spazio}} = 0 \]
Risposte
Non in tutto lo spazio, ma nel suo bordo? Se è così, essendo le correnti all'infinito nulle, quel termine sarà nullo. Giusto?
Mi spiego meglio.
Di solito, quando si integra per parti in più dimensioni, si ottengono due integrali di cui uno lo si trasforma, tramite il teorema di Gauss, in un integrale di superficie che, di solito, si annulla perchè magari il campo all'infinito è nullo o, come qui, le correnti all'infinito sono nulle perchè limitate.
E' proprio per questo fatto che si cerca di integrare per parti e così semplificare i risultati.
Sul finale, tu integri per parti e ottieni due termini. Il primo, perchè non è scritto come interale, ma con quella "strana" notazione, valida se si fosse in una dimensione?
Se scrivi quel termine come intgrale e poi lo trasformi con Gauss, magari trovi il risultato sperato.
Di solito, quando si integra per parti in più dimensioni, si ottengono due integrali di cui uno lo si trasforma, tramite il teorema di Gauss, in un integrale di superficie che, di solito, si annulla perchè magari il campo all'infinito è nullo o, come qui, le correnti all'infinito sono nulle perchè limitate.
E' proprio per questo fatto che si cerca di integrare per parti e così semplificare i risultati.
Sul finale, tu integri per parti e ottieni due termini. Il primo, perchè non è scritto come interale, ma con quella "strana" notazione, valida se si fosse in una dimensione?
Se scrivi quel termine come intgrale e poi lo trasformi con Gauss, magari trovi il risultato sperato.
Anzitutto grazie!
*) Ti spiego perché ho scritto così: \[ \vec{J} \cdot \vec{x}' \Bigg|_{\text{tutto lo spazio}} \]
Partivo dal fatto che \[ \int d^3x' \vec{J}(\vec{x}') = \int \int \int dx' dy' dz' \vec{J}(x',y',z') \]
quindi studiando gli integrali in una variabile avrei ottenuto
\[ \int dx' J_x = J_x \cdot x - \int \frac{\partial J_x}{\partial x} dx' \]
facendolo per tutte le componenti e (diciamo così) "riassemblando" il tutto, ho trovato quanto ho scritto... mi sembrava fattibile
*) Tornando a quanto mi hai detto devo usare il teorema della Divergenza (Gauss), correggimi se sbaglio, otterrei:
\[ \int d^3x' \vec{J}(\vec{x}') = \int_{\partial V} \vec{J} \cdot \vec{x}' \cdot \hat{n} dS - \int \vec{x}' (\vec{\nabla}\vec{J})d^3x' \]
*) Ti spiego perché ho scritto così: \[ \vec{J} \cdot \vec{x}' \Bigg|_{\text{tutto lo spazio}} \]
Partivo dal fatto che \[ \int d^3x' \vec{J}(\vec{x}') = \int \int \int dx' dy' dz' \vec{J}(x',y',z') \]
quindi studiando gli integrali in una variabile avrei ottenuto
\[ \int dx' J_x = J_x \cdot x - \int \frac{\partial J_x}{\partial x} dx' \]
facendolo per tutte le componenti e (diciamo così) "riassemblando" il tutto, ho trovato quanto ho scritto... mi sembrava fattibile
*) Tornando a quanto mi hai detto devo usare il teorema della Divergenza (Gauss), correggimi se sbaglio, otterrei:
\[ \int d^3x' \vec{J}(\vec{x}') = \int_{\partial V} \vec{J} \cdot \vec{x}' \cdot \hat{n} dS - \int \vec{x}' (\vec{\nabla}\vec{J})d^3x' \]
Mi sembra possa andare... Così, l'integrale sul bordo si annulla (per correnti limitate) ed ottieni quello che desideravi.
Magari, se posti anche nel forum di analisi o geometria, puoi trovare conferme più specifiche.
Magari, se posti anche nel forum di analisi o geometria, puoi trovare conferme più specifiche.
Grazie, gentilissimo! 
Ricapitolando, quando integro per parti sto in sostanza ottenendo 2 integrali che separano il dominio di integrazione:
il primo sul bordo del dominio $del V$ che "circonda" la sorgente limitata (domanda il bordo è ad $oo$ se non ho capito male) e il secondo all'interno del bordo del dominio $V$.
Chiaramente il primo termine è nullo perché la corrente essendo limitata non attraversa la superficie.
Ricapitolando, quando integro per parti sto in sostanza ottenendo 2 integrali che separano il dominio di integrazione:
il primo sul bordo del dominio $del V$ che "circonda" la sorgente limitata (domanda il bordo è ad $oo$ se non ho capito male) e il secondo all'interno del bordo del dominio $V$.
Chiaramente il primo termine è nullo perché la corrente essendo limitata non attraversa la superficie.
Secondo me è così 
Grazie!
Cerco conferme anche nella sezione di analisi e ti dico
Inviato dal mio Nexus 5
Cerco conferme anche nella sezione di analisi e ti dico
Inviato dal mio Nexus 5
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo