Integrale primo della hamiltoniana

[*brssfn76]

data la seguente hamiltoniana: $H=1/(2m)(rho_x^2+rho_y^2)-hrho_x +1/2ky^2$

determinare l'integrale generale

grazie

[Cantaro86]

cosa intendi per integrale generale??

io so che una grandezza F si dice integrale primo del moto se ${F,H}=0$

se intendi questo bisogna trovare una quantità che si conservi....

[*brssfn76]

perdonami forse il nome del topic ti ha tratto in inganno.......

l'integrale generale della Hamiltoniana significa trovare la legge di evoluzione delle coordinate x,y,$rho_x,rho_y$ rispetto
al tempo.

Ripensandoci e meditando questa mattina ci sono arrivato:

1- Si ricavano le equazioni di Hamilton
2- Si perviene ad un sistema di equazioni differenziali le cui soluzioni permettono di ricavare le leggi di evoluzione sopra cercate.

Ottengo

$x(t)=x_0+v_0t, y(t)=Asin(sqrt(k/m)t+phi), rho_x(t)=mv_0+h, rho_y(t)=sqrt(km)Acos(sqrt(k/m)t+phi)$

vedi se tornano anche a te

[Cmax1]

Un controllo qualitativo lo puoi fare senza calcoli: l'hamiltoniana è separabile (anzi, è già separata). Non dipende esplicitamente da $x$, e quindi $p_x$ è una costante del moto, mentre per $y$ è un oscillatore armonico, che è esattamente ciò che hai scritto.

[*brssfn76]

"Cmax":Un controllo qualitativo lo puoi fare senza calcoli: l'hamiltoniana è separabile (anzi, è già separata). Non dipende esplicitamente da $x$, e quindi $p_x$ è una costante del moto, mentre per $y$ è un oscillatore armonico, che è esattamente ciò che hai scritto.

come ti accorgi "ad occhio" dalla hamiltoniana che y è armonico?

[Cantaro86]

si... non sapevo che l'integrale generale fosse quello... io le chiamavo equazioni del moto...

comunque sembrano giuste...

giusto per curiosità dico che un integrale primo del moto in questo caso è $p_x$ (come ha fatto notare Cmax)

[Cmax1]

La tua hamiltoniana può essere scritta come $H=1/{2m}p_y^2+1/2ky^2$ + termini non dipendenti da $y$ o da $p_y$. che è evidentemente un oscillatore armonico indipendente dalle altre coordinate.