Integrale del lavoro in una guida circolare

[Bryan McHolland]

Stavo provando a dilettarmi con qualche integrale sul lavoro, non riesco però a raggiungere il risultato perchè salto il calcolo del differenziale nell'integrale epr sostituzione.

Situazione: guida circolare verticale, corpo che proviene dalla discesa di un piano inclinato, legge della conservazione dell'en meccanica ecc.
Quando però vado a calcolare il lavoro svolto dalla normale della guida passo dopo passo(cambia continuamente, almeno credo), non riesco a far venire il risultato atteso.

http://img156.imageshack.us/i/p1000305w.jpg/

[Bryan McHolland]

Direi up.

[Pdirac]

In questo modo mi sembra che stai considerando la velocità costante nella discesa della guida, mentre questa aumenta con il discendere della pallina, inoltre dovresti considerare solo la componente normale della forza peso, quindi ti converrebbe introdurre un parametro angolo e considerare il tutto tramite quello.
Detto questo, forse non capisco bene quello che intendi, ma se stai calcolando il lavoro compiuto dalla forza vincolare lungo la guida, non è semplicemente nullo (come in generale il lavoro di qualunque forza vincolare) ? La forza è, come hai detto tu, normale in ogni istante alla guida, e quando fai l'integrale di linea devi considerare il prodotto scalare tra la forza in quel punto e il tratto di cammino d'integrazione...

[Pdirac]

Puoi comunque verificare la cosa: chiamiamo $\theta$ l'angolo tra la semiretta che parte dal centro della semicirconferenza e arriva al punto iniziale della semicirconferenza e la semiretta che parte dal centro della semicirconferenza e arriva al punto in cui si trova la pallina (l'angolo che identifica la posizione della pallina per capirci). A questo punto se chiamiamo $v_0$ la velocità con cui la pallina inizia il suo giro, la velocità in funzione dell'angolo è $v(\theta)=sqrt(v_0^2 + 2gRsin\theta)$ con R il raggio. La corrispondente velocità angolare è $\omega(\theta) = (sqrt(v_0^2 + 2grsin\theta))/R$ e la forza centrifuga è in modulo $F_c(\theta) = m/R (v_0^2 + 2gRsin\theta)$ diretta verso la normale (esterna) alla circonferenza. La componente normale della forza peso è invece $F_p(\theta) = mgcos\theta$ diretta nella stessa direzione della forza centrifuga con verso opposto. La corrispondente forza vincolare che la guida applica sulla pallina per mantenerla "in posizione" è $vecF_N(\theta) = [mgcos\theta - m/R (v_0^2 + 2gRsin\theta)] vecu_n(\theta)$ con $vecu_n$ versore normale alla semicirconferenza nel punto identificato dall'angolo $\theta$; il che è quello che cerchiamo, facendo il prodotto scalare tra $vecF_N$ e $vecu_t$ si ha 0 in ogni punto.

[Bryan McHolland]

"Pdirac":la velocità in funzione dell'angolo è $v(\theta)=sqrt(v_0^2 + 2gRsin\theta)$

Non credo di aver capito bene questa espressione, il resto l'ho capito. Perchè $v(\theta)$ dovrebbe essere massima a metà della guida circolare? Non credo poi di capire l'impostazione dell'espressione della velocità a livello cinematico.