Innalzamento/abbassamento degli indici dei tensori
Ciao,
ho un dubbio sulle regole per l'innalzamento/abbassamento degli indici dei tensori usate per es in Relatività.
Consideriamo ad es l'abbassamento degli indici del tensore \(\displaystyle A^{\alpha \nu} \) attraverso il tensore metrico \(\displaystyle \eta = \text{diag} (-1, 1, 1, 1) \) nei 2 seguenti casi:
$\eta_{\mu \alpha} A^{\alpha \nu} \eta_{\sigma \nu} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\mu} \otimes e^{\sigma}$
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} \eta_{\mu \alpha} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\sigma} \otimes e^{\mu}$
I 2 tensori risultanti sono in generale diversi tra di loro in quanto $A_{\mu \sigma}$ non e' detto sia simmetrico.
E' corretto ? Grazie.
ps. stessa domanda presente anche su altro forum.
ho un dubbio sulle regole per l'innalzamento/abbassamento degli indici dei tensori usate per es in Relatività.
Consideriamo ad es l'abbassamento degli indici del tensore \(\displaystyle A^{\alpha \nu} \) attraverso il tensore metrico \(\displaystyle \eta = \text{diag} (-1, 1, 1, 1) \) nei 2 seguenti casi:
$\eta_{\mu \alpha} A^{\alpha \nu} \eta_{\sigma \nu} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\mu} \otimes e^{\sigma}$
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} \eta_{\mu \alpha} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\sigma} \otimes e^{\mu}$
I 2 tensori risultanti sono in generale diversi tra di loro in quanto $A_{\mu \sigma}$ non e' detto sia simmetrico.
E' corretto ? Grazie.
ps. stessa domanda presente anche su altro forum.
Risposte
Per la proprietà commutativa del prodotto, come possa la prima scrittura:
essere diversa dalla seconda:
non è dato sapere.
$\eta_{\mu \alpha}A^{\alpha \nu}\eta_{\sigma\nu}$
essere diversa dalla seconda:
$\eta_{\sigma \nu}A^{\alpha \nu}\eta_{\mu \alpha}$
non è dato sapere.
"anonymous_0b37e9":
Per la proprietà commutativa del prodotto.....
non è dato sapere.
Il punto non e' il set di coefficienti (ovviamente vale la proprietà commutativa del prodotto per cui il set di coefficienti coincide nei 2 casi). La questione che sollevavo e' relativa alla base prodotto tensoriale che e' diversa nei 2 casi.
Perdonami ma, chi le ha scritte in quel modo?
"anonymous_0b37e9":
Perdonami ma, chi le ha scritte in quel modo?
Le ho scritte io. Volevo capire la logica sottostante relativa a quella notazione.
Premesso che affrontare i tensori della relatività con il formalismo del prodotto tensoriale rischia di complicarti la vita, come possono due scritture perfettamente identiche, indici covarianti e controvarianti compresi, essere formalizzate in due modi diversi? Se stai seguendo un testo e sei sicuro di aver aggiunto quei simboli rispettando rigorosamente il formalismo adottato dal testo, l'unica via di uscita è che sia:
$e^{\mu} \otimes e^{\sigma}=e^{\sigma} \otimes e^{\mu}$
"anonymous_0b37e9":
come possono due scritture perfettamente identiche, indici covarianti e controvarianti compresi, essere formalizzate in due modi diversi?
Provo a spiegarmi meglio.
Dalle regole per l'abbassamento/innalzamento degli indici attraverso il tensore metrico le 2 scritture di cui ai post precedenti dovrebbero esser uguali.
Se pero' eseguiamo formalmente la contrazione nei 2 casi otteniamo rispettivamente:
\( \eta_{\mu \alpha}A^{\alpha \nu}\eta_{\sigma\nu} e^{\mu} \otimes e^{\sigma} = A_{\mu \sigma} e^{\mu} \otimes e^{\sigma}\)
\( \eta_{\sigma \nu}A^{\alpha \nu}\eta_{\mu \alpha} e^{\sigma} \otimes e^{\mu} = A_{\mu \sigma} e^{\sigma} \otimes e^{\mu}\)
I coefficienti all'interno di \( A_{\mu \sigma} \) sono ovviamente uguali nei 2 casi ma i vettori del prodotto tensoriale a cui si riferiscono no. Per es nel caso $n=2$ otteniamo:
\( A_{1 1} e^{1} \otimes e^{1} + A_{1 2} e^{1} \otimes e^{2} + A_{2 1} e^{2} \otimes e^{1} + A_{2 2} e^{2} \otimes e^{2} \)
\( A_{1 1} e^{1} \otimes e^{1} + A_{1 2} e^{2} \otimes e^{1} + A_{2 1} e^{1} \otimes e^{2} + A_{2 2} e^{2} \otimes e^{2} \)
In generale, il prodotto tensoriale non è simmetrico. Guarda il paragrafo 4.7 di queste lezioni:
http://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf
nella definizione, bisogna stare attenti a quale vettore $v$ occupa la slot di $a$, e quale vettore occupa la slot di $b$, i risultati possono essere diversi.
Per una migliore comprensione sarebbe opportuno leggersi tutto il cap. 4 . Sono d’accordo con Sergeant Elias, devi assumere a priori che il prodotto tensoriale delle basi sia simmetrico, per poter dire che le due scritture da te pensate sono uguali. Ho letto anche la discussione su quell’altro forum, e direi che la risposta data è giusta.
Sono anch’io dell’avviso che mettersi a studiare la relatività a partire dal prodotto tensoriale è solo fonte di grosse difficoltà e confusione, perché il prodotto tensoriale è un concetto di per sé semplice: basta prendere tutte le componenti di un tensore di tipo $(p,q)$ e moltiplicarle per tutte le componenti di un tensore di tipo $ (r,s)$ , per avere le componenti del tensore prodotto esterno tipo $ (p+r, q+s)$ :
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product
ma alcuni autori lo rendono cosí formale da farlo risultare praticamente incomprensibile. E francamente non se ne vede proprio il bisogno. Io ho sempre preferito ragionare direttamente sulle componenti e le loro trasformazioni tensoriali ( le regole ti sono note, inutile ripetere!) , anziché su concetti alquanto più astratti.
http://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf
nella definizione, bisogna stare attenti a quale vettore $v$ occupa la slot di $a$, e quale vettore occupa la slot di $b$, i risultati possono essere diversi.
Per una migliore comprensione sarebbe opportuno leggersi tutto il cap. 4 . Sono d’accordo con Sergeant Elias, devi assumere a priori che il prodotto tensoriale delle basi sia simmetrico, per poter dire che le due scritture da te pensate sono uguali. Ho letto anche la discussione su quell’altro forum, e direi che la risposta data è giusta.
Sono anch’io dell’avviso che mettersi a studiare la relatività a partire dal prodotto tensoriale è solo fonte di grosse difficoltà e confusione, perché il prodotto tensoriale è un concetto di per sé semplice: basta prendere tutte le componenti di un tensore di tipo $(p,q)$ e moltiplicarle per tutte le componenti di un tensore di tipo $ (r,s)$ , per avere le componenti del tensore prodotto esterno tipo $ (p+r, q+s)$ :
https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product
ma alcuni autori lo rendono cosí formale da farlo risultare praticamente incomprensibile. E francamente non se ne vede proprio il bisogno. Io ho sempre preferito ragionare direttamente sulle componenti e le loro trasformazioni tensoriali ( le regole ti sono note, inutile ripetere!) , anziché su concetti alquanto più astratti.
"Shackle":
In generale, il prodotto tensoriale non è simmetrico. Guarda il paragrafo 4.7 di queste lezioni:
http://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf
nella definizione, bisogna stare attenti a quale vettore $v$ occupa la slot di $a$, e quale vettore occupa la slot di $b$, i risultati possono essere diversi.
Si ho letto il cap 4, infatti il prodotto tensoriale non e' commutativo.
Quindi, formalmente, quando nei testi viene riportata una operazione di innalzamento/abbassamento degli indici di un tensore attraverso (eventualmente occorrenze multiple) del tensore metrico (e/o il suo inverso) in generale l'ordine con cui e' scritta e' determinante.
In altre parole formalmente non possiamo 'commutare' la posizione delle occorrenze del tensore metrico (o del suo inverso) senza cambiare il risultato della contrazione (ovvero del tensore finale che otteniamo).
Ma fondamentalmente in Relatività, sia ristretta che generale, si assume che il tensore metrico sia simmetrico :$ g_(munu) = g_(numu)$.
"Shackle":
Ma fondamentalmente in Relatività, sia ristretta che generale, si assume che il tensore metrico sia simmetrico :$ g_(munu) = g_(numu)$.
Si ma il punto non e' il tensore metrico, e' il tensore del quale vuoi innalzare/abbassare gli indici ($A^{\alpha \nu}$ nell'esempio)
Ad es a partire dalla scrittura $\eta_{\mu \alpha} A^{\alpha \nu} \eta_{\sigma \nu}$ anche se scambiamo gli indici del tensore metrico $\eta$ nel modo $\eta_{\alpha \mu} A^{\alpha \nu} \eta_{\nu \sigma}$ otteniamo ancora il risultato di prima che e' diverso dall'altro, ovvero:
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} \eta_{\mu \alpha} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\sigma} \otimes e^{\mu}$
@ cianfa72
Quale sarebbe la risorsa comprendente i contenuti che hai esposto?
Quale sarebbe la risorsa comprendente i contenuti che hai esposto?
"anonymous_0b37e9":
Quale sarebbe la risorsa comprendente i contenuti che hai esposto?
Scusa non sono sicuro di aver capito...cosa intendi per risorsa ? Grazie.
Un libro o una dispensa. Se possibile, gli avrei dato volentieri un'occhiata.
"anonymous_0b37e9":
Un libro o una dispensa. Se possibile, gli avrei dato volentieri un'occhiata.
Non ne ho una specifica, e' una domanda che mi ponevo visto che il semplice prodotto delle componenti dei tensori ovviamente e' commutativo.
@ cianfa72
Torno da capo, e faccio riferimento al tuo primo post sull’argomento, perché vorrei prima di tutto capire bene il dubbio. Il primo post è questo:
Qui è pacifico che il tensore metrico $eta_(munu) $ è simmetrico, tant’è vero che lo hai scritto in forma diagonale $diag (-1,1,1,1) $ : più simmetrico di cosí non si può !
Mi concentro quindi sulle componenti del tensore A dato. Hai scritto il primo caso a questa maniera :
$\eta_{\mu \alpha} A^{\alpha \nu} \eta_{\sigma \nu} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\mu} \otimes e^{\sigma}$
Procedo passo per passo, facendo il primo abbassamento dell’indice $alpha$ :
$eta_(\mu\alpha) A^(\alpha\nu) = A_(mu)^(\star\nu) $
l'asterisco in alto a destra di $A_(mu)^(\star\nu)$ sta ad indicare il posto lasciato vuoto da $alpha$ , che abbassandosi è diventato $\mu$ , primo indice del tensore metrico.
Adesso scrivo la seconda contrazione :
$A_(mu)^(\star\nu) eta_(\sigma\nu) = A_(\mu\sigma)^(\star\star)$
ora ho scritto due asterischi a destra di $A_(\mu\sigma)^(\star\star)$, per indicare che anche $\nu$ si è abbassato diventando $\sigma$ , secondo indice del tensore metrico.
Ma tieni presente che tutto questo è molto formale, gli asterischi per indicare i posti vuoti (parlo in maniera molto informale, per capirci ) lasciati dagli indici non si indicano quasi mai, io ho incontrato solo un caso in cui è importante la posizione degli indici , ed é quello del tensore di curvatura di Riemann, il cui primo indice (controvariante) si contrae con l’ultimo indice (covariante) per dare il tensore di Ricci.
Andiamo avanti, col tuo secondo caso , ripetendo il procedimento di contrazione . Parto da :
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} \eta_{\mu \alpha} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\sigma} \otimes e^{\mu}$
e svolgo le contrazioni scritte a sinistra del segno $\Rightarrow$ passo dopo passo, una per volta:
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} = A_\sigma^(\alpha\star)$
il pedice $sigma$ dovrebbe stare sotto l’asterisco, ma non riesco a metterlo lí . Comunque ci siamo capiti.
Contraendo ancora con $\eta_{\mu \alpha}$ ottengo : $ A_(\sigma\mu) $ ( non metto asterischi).
E quindi può darsi benissimo, ritengo, che $A_(\mu\sigma)$ sia diverso da $ A_(\sigma\mu) $, se non si è specificato a priori che il tensore A è simmetrico.
Ma ripeto che tutto ciò è alquanto formale. Comunque, l’autore Alberto Tibaldi, che per me è uno dei più chiari al riguardo, nella sua pubblicazione :
http://www.tibaldi.eu/sections/Download ... ensori.pdf
scrive questo nel paragrafo dedicato al prodotto tensoriale (1.6 ) :
si noti che tutte queste operazioni non sono in generale commutative: gli indici (apice e pedice) hanno un ordine ben preciso, che identifica l’ordine degli operandi del prodotto tensoriale.
In relatività , ripeto, ho trovato che bisogna fare attenzione all’ordine degli indici solo quando dal tensore di Riemann :
$R_(\star\beta\mu\nu)^\alpha $
si deve ricavare il tensore di Ricci contraendo $\alpha$ con $\nu$ .
Torno da capo, e faccio riferimento al tuo primo post sull’argomento, perché vorrei prima di tutto capire bene il dubbio. Il primo post è questo:
ho un dubbio sulle regole per l'innalzamento/abbassamento degli indici dei tensori usate per es in Relatività.
Consideriamo ad es l'abbassamento degli indici del tensore \(\displaystyle A^{\alpha \nu} \) attraverso il tensore metrico \(\displaystyle \eta = \text{diag} (-1, 1, 1, 1) \) nei 2 seguenti casi:
$\eta_{\mu \alpha} A^{\alpha \nu} \eta_{\sigma \nu} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\mu} \otimes e^{\sigma}$
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} \eta_{\mu \alpha} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\sigma} \otimes e^{\mu}$
I 2 tensori risultanti sono in generale diversi tra di loro in quanto $A_{\mu \sigma}$ non e' detto sia simmetrico
Qui è pacifico che il tensore metrico $eta_(munu) $ è simmetrico, tant’è vero che lo hai scritto in forma diagonale $diag (-1,1,1,1) $ : più simmetrico di cosí non si può !
Mi concentro quindi sulle componenti del tensore A dato. Hai scritto il primo caso a questa maniera :
$\eta_{\mu \alpha} A^{\alpha \nu} \eta_{\sigma \nu} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\mu} \otimes e^{\sigma}$
Procedo passo per passo, facendo il primo abbassamento dell’indice $alpha$ :
$eta_(\mu\alpha) A^(\alpha\nu) = A_(mu)^(\star\nu) $
l'asterisco in alto a destra di $A_(mu)^(\star\nu)$ sta ad indicare il posto lasciato vuoto da $alpha$ , che abbassandosi è diventato $\mu$ , primo indice del tensore metrico.
Adesso scrivo la seconda contrazione :
$A_(mu)^(\star\nu) eta_(\sigma\nu) = A_(\mu\sigma)^(\star\star)$
ora ho scritto due asterischi a destra di $A_(\mu\sigma)^(\star\star)$, per indicare che anche $\nu$ si è abbassato diventando $\sigma$ , secondo indice del tensore metrico.
Ma tieni presente che tutto questo è molto formale, gli asterischi per indicare i posti vuoti (parlo in maniera molto informale, per capirci ) lasciati dagli indici non si indicano quasi mai, io ho incontrato solo un caso in cui è importante la posizione degli indici , ed é quello del tensore di curvatura di Riemann, il cui primo indice (controvariante) si contrae con l’ultimo indice (covariante) per dare il tensore di Ricci.
Andiamo avanti, col tuo secondo caso , ripetendo il procedimento di contrazione . Parto da :
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} \eta_{\mu \alpha} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\sigma} \otimes e^{\mu}$
e svolgo le contrazioni scritte a sinistra del segno $\Rightarrow$ passo dopo passo, una per volta:
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} = A_\sigma^(\alpha\star)$
il pedice $sigma$ dovrebbe stare sotto l’asterisco, ma non riesco a metterlo lí . Comunque ci siamo capiti.
Contraendo ancora con $\eta_{\mu \alpha}$ ottengo : $ A_(\sigma\mu) $ ( non metto asterischi).
E quindi può darsi benissimo, ritengo, che $A_(\mu\sigma)$ sia diverso da $ A_(\sigma\mu) $, se non si è specificato a priori che il tensore A è simmetrico.
Ma ripeto che tutto ciò è alquanto formale. Comunque, l’autore Alberto Tibaldi, che per me è uno dei più chiari al riguardo, nella sua pubblicazione :
http://www.tibaldi.eu/sections/Download ... ensori.pdf
scrive questo nel paragrafo dedicato al prodotto tensoriale (1.6 ) :
si noti che tutte queste operazioni non sono in generale commutative: gli indici (apice e pedice) hanno un ordine ben preciso, che identifica l’ordine degli operandi del prodotto tensoriale.
In relatività , ripeto, ho trovato che bisogna fare attenzione all’ordine degli indici solo quando dal tensore di Riemann :
$R_(\star\beta\mu\nu)^\alpha $
si deve ricavare il tensore di Ricci contraendo $\alpha$ con $\nu$ .
"Shackle":
Andiamo avanti, col tuo secondo caso , ripetendo il procedimento di contrazione. Parto da :
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} \eta_{\mu \alpha} \Rightarrow A_{\mu \sigma} e^{\sigma} \otimes e^{\mu}$
e svolgo le contrazioni scritte a sinistra del segno $\Rightarrow$ passo dopo passo, una per volta:
$\eta_{\sigma \nu} A^{\alpha \nu} = A_\sigma^(\alpha\star)$
il pedice $sigma$ dovrebbe stare sotto l’asterisco, ma non riesco a metterlo lí.
Quindi il pedice $\sigma$ si trova in seconda posizione in basso (non in prima in basso), per cui alla fine dopo la seconda contrazione ottengo ancora $A_(\mu \sigma)$, questa volta tuttavia la base prodotto tensoriale e' invertita ovvero e' $e^{\sigma} \otimes e^{\mu}$.
Vi torna ?
In definitiva, che cosa ritieni ? Che le due scritture da te proposte possano essere differenti? Si, per me è plausibile. Se in una equazione tensoriale è necessario specificare che un tensore deve essere simmetrico, lo si specifica senza altro, se non occorre non si fa alcuna precisazione e si va avanti.
"Shackle":
In definitiva, che cosa ritieni ? Che le due scritture da te proposte possano essere differenti? Si, per me è plausibile.
Si esatto, anche io la vedo così. Invertendo l'ordine in cui compare il tensore metrico (o il suo inverso) eventualmente in occorrenze multiple, il risultato della contrazione (ovvero dell'innalzamento/abbassamento degli indici di un fissato tensore) in generale cambia.
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