Info su formulazione operatoriale e path integral in QM
Salve a tutti,
vorrei solo alcune informazioni.
Sappiamo tutti che oltre alla "classica" formulazione operatoriale delle meccanica quantistica, esiste anche la formulazione alternativa di Feynman tramite path integral.
Questa fomulazione e' molto usata in teoria dei campi, meccaninca statistica ecc...
Io qualche anno fa l'ho studiata in un corso di teoria dei campi, ma non ci ho mai fatto conti.
Quello che vorrei sapere e':
- per fare i conti, e' davvero piu' conveniente?
- e da un punto di vista numerico? (che metodi numerici si usano?)
- ci sono metodi piu' efficienti? i tempi computazionali sono minori?
confronti, esempi e referenze sono ben gradite. Grazie
vorrei solo alcune informazioni.
Sappiamo tutti che oltre alla "classica" formulazione operatoriale delle meccanica quantistica, esiste anche la formulazione alternativa di Feynman tramite path integral.
Questa fomulazione e' molto usata in teoria dei campi, meccaninca statistica ecc...
Io qualche anno fa l'ho studiata in un corso di teoria dei campi, ma non ci ho mai fatto conti.
Quello che vorrei sapere e':
- per fare i conti, e' davvero piu' conveniente?
- e da un punto di vista numerico? (che metodi numerici si usano?)
- ci sono metodi piu' efficienti? i tempi computazionali sono minori?
confronti, esempi e referenze sono ben gradite. Grazie
Risposte
Ciao!
Ora vado di fretta resisti un po' e poi appena ho tempo ti rispondo!
Ora vado di fretta resisti un po' e poi appena ho tempo ti rispondo!
Come sai, la formulazione di Feynman della Meccanica Quantistica si basa sul concetto di Path Integral (integrale sui cammini) il quale permette di esprimere l'ampiezza di transizione tra due punti spazio-temporali senza far ricorso a vettori di stato ed operatori dello spazio di Hilbert.
Si può dire che questo approccio alla MQ dato da Feynamn è molto più intuitivo perchè generalizza il concetto di azione di Meccanica Classica, rimpiazza il concetto di unica traiettoria con una somma (integrale) su tutti le possibili (infinite) traiettorie.
L'importanza pratica della formulazione di Feynman è dovuta al fatto che essa è una buona alternativa alle tecnica di soluzione dell'equazione di schrodinger. Bisogna dire però che se l'equazione di Schrodinger si risolve esattamente (particella libera, buca di potenziale... etc etc..) questo medoto non serve a nulla, anzi peggiora i calcoli.. Tuttavia i casi in cui l'equazione di schrodinger si risolve in modo esatto sono casi eccezzionali, per la maggior parte di problemi veramente importanti e rilevanti l'equazione di schrodinger è irrisolvibile, ed entra così in gioco il Path Integral.
Se rimaniamo nell'ambito della MQ non Relativistica i vantaggi che offre la nuova formulazione sono veramente pochi, come ad esempio approssimazioni, ma la situazione si ribalta quando uniamo la Relatività!
Con la Teoria Quantistica dei Campi (QFT) il Path Integral è vitale. Il motivo è dato dal fatto che il tempo ha un ruolo diversa dallo spazio nella quantizzazione canonica, mentre nell'approccio di Feynman l'iconveniente è deviato poichè il tempo e le coordinate spaziali sono sullo stesso piano...
Quindi si, si può dire che è molto più conveniente (è quasi l'unica soluzione) la formulazione di Feynman, solo quando si sta parlando di MQ Relativistica e QFT, oppure in alcuni particolari casi di MQ non Relativistica.
Ciao spero di esserti stato d'aiuto! Se hai domande chiedi.
Si può dire che questo approccio alla MQ dato da Feynamn è molto più intuitivo perchè generalizza il concetto di azione di Meccanica Classica, rimpiazza il concetto di unica traiettoria con una somma (integrale) su tutti le possibili (infinite) traiettorie.
L'importanza pratica della formulazione di Feynman è dovuta al fatto che essa è una buona alternativa alle tecnica di soluzione dell'equazione di schrodinger. Bisogna dire però che se l'equazione di Schrodinger si risolve esattamente (particella libera, buca di potenziale... etc etc..) questo medoto non serve a nulla, anzi peggiora i calcoli.. Tuttavia i casi in cui l'equazione di schrodinger si risolve in modo esatto sono casi eccezzionali, per la maggior parte di problemi veramente importanti e rilevanti l'equazione di schrodinger è irrisolvibile, ed entra così in gioco il Path Integral.
Se rimaniamo nell'ambito della MQ non Relativistica i vantaggi che offre la nuova formulazione sono veramente pochi, come ad esempio approssimazioni, ma la situazione si ribalta quando uniamo la Relatività!
Con la Teoria Quantistica dei Campi (QFT) il Path Integral è vitale. Il motivo è dato dal fatto che il tempo ha un ruolo diversa dallo spazio nella quantizzazione canonica, mentre nell'approccio di Feynman l'iconveniente è deviato poichè il tempo e le coordinate spaziali sono sullo stesso piano...
Quindi si, si può dire che è molto più conveniente (è quasi l'unica soluzione) la formulazione di Feynman, solo quando si sta parlando di MQ Relativistica e QFT, oppure in alcuni particolari casi di MQ non Relativistica.
Ciao spero di esserti stato d'aiuto! Se hai domande chiedi.
Vorrei sottolineare la straordinaria genialità ed importanza del formalismo di Feynman.
MC: la meccanica classica vi è contenuta perchè se l'azione è molto maggiore di h tagliato (ed in MC succede proprio così), allora le fasi di tutti i cammini si annullano a vicenda eccetto quella corrispondente al cammino per cui l'azione è minima.
MQ: la meccanica quantistica non relativistica vi è contenuta perchè l'eq di Schr è direttamente deducibile dal formalismo di Fey.
QFT: qui si fanno gli sviluppi perturbativi dell'integrale di Fey dove però, invece delle possibili traiettorie, vi sono i possibili campi (integrali sui campi). Inoltre, gli sviluppi perturbativi dell'integrale sono uno-uno con i diagrammi di Fey. Questo è stupefacente !!!!
MC: la meccanica classica vi è contenuta perchè se l'azione è molto maggiore di h tagliato (ed in MC succede proprio così), allora le fasi di tutti i cammini si annullano a vicenda eccetto quella corrispondente al cammino per cui l'azione è minima.
MQ: la meccanica quantistica non relativistica vi è contenuta perchè l'eq di Schr è direttamente deducibile dal formalismo di Fey.
QFT: qui si fanno gli sviluppi perturbativi dell'integrale di Fey dove però, invece delle possibili traiettorie, vi sono i possibili campi (integrali sui campi). Inoltre, gli sviluppi perturbativi dell'integrale sono uno-uno con i diagrammi di Fey. Questo è stupefacente !!!!
Ragazzi, vi ringrazio per le risposte... ma in realta' non mi avete risposto!
A me interessa sapere le cose da un punto di vista pratico! Ovvero come ottenere il numerino che serve agli sperimentali.
L'equazione di Schroedinger si risolve numericamente, con il metodo alle differenze finite per esempio.
Con il path integral, come si fa? ci guadagno qualcosa usando questo metodo?
A me interessa sapere le cose da un punto di vista pratico! Ovvero come ottenere il numerino che serve agli sperimentali.
L'equazione di Schroedinger si risolve numericamente, con il metodo alle differenze finite per esempio.
Con il path integral, come si fa? ci guadagno qualcosa usando questo metodo?
Numericamente, of course, come quasi sempre ... Per quanto riguarda la convenienza, in QFT l'eq di Schr non vale, per cui l'alternativa è la matrice S di Dirac (degli scattering). Quest'ultima non è uno-uno con i duagrammi di Fey per cui il formalismo di Fey è ineludibile.
"anonymous_af8479":
Numericamente, of course, come quasi sempre ...
Grazie della risposta.
Vorrei capire meglio questa frase. In che senso "quasi sempre"?
C'e' dunque un guadagno computazionale usando la formulazione a path integral? Sai per caso che metodi si usano?
Per 'quasi sempre' intendevo dire che le soluzioni analitiche sono un'eccezione, la norma è la via numerica. Nel caso di Fey credo che la soluzione analitica sia solo per pochissimi casi. Non conosco le tecniche numeriche usate, comunque tieni presente che apprssimare un integrale, anche se a n dimensioni, è solo un problema di tempo macchina che con il progresso tecnologico si riduce esponenzialmente...
Ps. Anche per l'eq di Schr si preferiscono metodi integrali tramite le funzioni di Green dell'operatore di evoluzione temporale. Approssimare eq differenziali è molto scabroso, mentre con gli integrali si va sul velluto
Ps. Anche per l'eq di Schr si preferiscono metodi integrali tramite le funzioni di Green dell'operatore di evoluzione temporale. Approssimare eq differenziali è molto scabroso, mentre con gli integrali si va sul velluto
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