Induzione di Faraday e deformazione di una molla

[Astonish1]

Salve forum,

Sto preparando l'esame di Fisica nel mio corso di studi in Scienze Geologiche, ma purtroppo mi sono imbattuto in un esercizio-tipo d'esame che, pur avendolo impostato bene (credo), non riesco a risolvere.

[size=200]?[/size] Problema:

Una corrente $I(t)=2t^2$ circola nel filo indefinitamente lungo a sinistra nella figura. Supponendo i rami del circuito come indeformabili, calcolare la deformazione elastica della molla per $t=2 s$ dall'inizio della fase transitoria, cioè quella fase in cui la forza risultante sulla molla non è nulla. Filo, molla e circuito giacciono sullo stesso piano.

Ecco la figura


Nota: In figura ho già aggiunto il verso calcolato per la corrente indotta nel circuito, l'andamento del campo magnetico generato dal filo e un asse x di riferimento.

[size=200]![/size] Soluzione (parziale):

[*:ms70fie6]Innanzitutto ho calcolato il campo magnetico generato in funzione di x e t, cioè $B(x,t)=\frac{\mu_0 t^2}{\pi x}$[/*:ms70fie6]
[*:ms70fie6]Quindi ho calcolato il flusso magnetico dipendente da x attraverso il circuito, cioè $\Phi_B(x)=\frac{\mu_0 l t^2}{\pi} \ln(b/(a+x)-1)t^2$[/*:ms70fie6]
[*:ms70fie6]Avendo il flusso magnetico attraverso il circuito per ogni valore di x, cioè in qualunque posizione si sposti il circuito, e applicando contemporaneamente la legge di induzione di Faraday ($\varepsilon=-\frac{d\Phi_B}{dt}$) e la legge di Ohm ($i=\varepsilon/R$)[/*:ms70fie6] si ottiene la corrente nel circuito pari a $i(x,t)=\frac{2\mu_0 l}{\pi R}\ln(b/(a+x)-1)t$
[*:ms70fie6]A questo punto, tramite la formula $\vec F_B=i\cdot \vec l\times\vec B$, si possono calcolare le forza magnetiche agenti su ogni ramo del circuito[/*:ms70fie6]
[*:ms70fie6]Le forze magnetiche agenti sui tratti AB e CD sono uguali e contrarie, per cui le escludiamo. Le forze magnetiche agenti su BC e DA invece, rispettivamente $F_{BC}$ e $F_{DA}$, hanno stessa direzione, verso opposto e moduli diversi. In particolare $F_{DA}>F_{BC}$, cioè

$\frac{2\mu_0^2 l^2 t^3}{\pi^2 R (a+x)} \ln(b/(a+x)-1)> -\frac{2\mu_0^2 l^2 t^3}{\pi^2 R (b+x)} \ln(b/(a+x)-1)$[/*:ms70fie6]
[*:ms70fie6]La sommatoria per x di tutte la forze agenti è pari a $\sum F_x=F_{AD}+F_{BC}+F_e$, dove $F_e$ è la forza elastica della molla. Quindi, la forza totale è pari a

$\sum F_x=\frac{2\mu_0^2 l^2 t^3}{\pi^2 R} \ln(b/(a+x)-1) (\frac{b-a}{(a+x)(b+x)})-kx$
[/*:ms70fie6]
[/list:u:ms70fie6]

A questo punto putroppo non so più come procedere, anche perchè non ho la massa del circuito, né so come ricavarla o se possa essere utile, dato che il problema non la fornisce. Comunque sia, avevo pensato di ricavare una cosa tipo $(\sum F_x)/m=a_x$ e impostare una equazione semplice del moto come $x=(a_x t^2)/2$, ma non saprei poi come risolverla. È un ragionamento plausibile questo, o c'è qualche errore?

Qual'è la soluzione parametrica (non ho i dati, ma solo i nomi dei parametri) al problema?

A voi

[Astonish1]

UP

[darinter]

Scusa ma perchè il flusso te lo trovi in quel modo?

[Astonish1]

Beh, perchè il flusso magnetico per definizione è pari a $\Phi_B=\int_a^b \vec B \cdot \vec dA$ e, anche se $\vec dA$ è invariato, $\vec B$ varia sia in funzione di $x$ che di $t$, come si evince dalla sua formula. O c'è qualcosa che non va?

[darinter]

Applicando quanto hai detto su, siccome il campo magnetico è ortogonale al piano del foglio, ti viene un integrale di $1/x$ tra $a$ e $b$, ovviamente le costanti le porti fuori dall'integrale, quindi nel flusso dovrebbe sparire la dipendenza da x.
P.S. Ovviamente il flusso è un integrale di superficie e quindi doppio, solo che il campo magnetico non varia con y e dunque l'altro integrale è semplicemente $l$

[Astonish1]

Si, ma ho mantenuto la dipendenza con $x$ perchè il circuito non è fermo e oscilla lungo $x$, interagendo con la molla eccetera. E infatti poi ho bisogno della dipendenza di molti parametri da $x$, perchè, quando il problema richiede la "deformazione elastica" della molla, chiede semplicemente un $\Delta x$ espresso in metri.

E poi, le forze magnetiche agenti sui rami verticali del circuito, che sono coninvolte nel bilancio delle forze lungo $x$, dipendono dal campo magnetico, che a sua volta dipende dalla distanza del ramo di circuito dal filo lungo cui scorre la corrente iniziale $I(t)=2t^2$. Spero di essermi spiegato