Induttori e leggi di Kirchhoff

[anonymous_ed8f11]

Buongiorno,
mi rivolgo al forum per un problema con le leggi di Kirchhoff.

Non so come poterle applicare nel caso dello studio di un circuito LC.


Il mio ragionamento è che percorrendo il circuito in verso antiorario dovrei avere:
$\Delta V_(a->b)+\Delta V_(c->d)=0$

Ora non so più come continuare, in particolare come esprimere la differenza di potenziale ai capi dell'induttore L

Ringrazio in anticipo per l'aiuto, Lorenzo

[Ska1]

$\Delta V_(a->b) = L (d)/(dt)[I(t)]$ dove $I(t)$ è la corrente che scorre nell'induttore presa positiva se scorre da $b$ verso $a$.

Quindi indicando $\Delta V_(d->c) = V_C(t)$ la tensione ai capi del condensatore e ricordando che la corrente seguendo la scelta che hai fatto per il suo verso $I(t) = -C (d)/(dt)[V_C(t)]$ avrai l'equazione:

$L (d)/(dt)[I(t)] - V_C(t) = 0$ da cui sostituendo $I(t)$ si ha

$LC (d^2)/(dt^2) [V_C(t)] + V_C(t) = 0$

Da un punto di vista fisico, non è corretto dire che si sta applicando la legge di Kirchhoff, poichè sono un caso particolare della legge di Faraday nel caso in cui non ci siano variazione di flusso di campo magnetico: con la presenza di induttori, si hanno campi magnetici variabili nel tempo e quindi si hanno variazioni di flusso del campo magnetico. Da questo caso particolare però si può desumere che il terme $-(d\Phi_B)/(dt) = - L (dI_L)/(dt)$ che si utilizza come termine a indicare la ddp ai capi di un induttore.

[anonymous_ed8f11]

Grazie, sei stato chiaro, ma solo una cosa ancora mi sfugge: come hai stabilito i segni delle differenze di potenziale?
cioè ad esempio come mai non hai messo $\Delta V_(a->b) =-L (d)/(dt)[I(t)]$
Quello che mi fa confusione in particolare è il fatto che l'intensità vari nel tempo sia nella misura in cui cresce e cala, sia perchè cambia anche verso :S

[Ska1]

Il comportamento dell'induttore è quello di opporsi alla variazione di corrente, quindi mantenendo gli orientamenti del tuo disegno, dato che hai scelto un verso della corrente positivo da $b$ verso $a$, se questa corrente è decrescente in intensità allora dato che l'induttore è quello di opporsi alla variazione, si avrà una fem indotta nell'avvolgimento tale da compensare il fatto che la corrente sta diminuendo e quindi l'orientamento di tale fem è da $b$ verso $a$. Al contrario se la corrente sta crescendo in intensità la fem indotta sarà rivolta da $a$ verso $b$ in modo da opporsi all'aumento di corrente. Quindi $V_a - V_b = - L (d)/(dt)[I(t)]$ e dunque $V_b - V_a = L (d)/(dt)[I(t)]$. Vedi che comunque in base a come è la derivata della corrente cambia il segno della ddp tra $a$ e $b$, scelto però il verso positivo della corrente la ddp è quella, il segno effettivo sarà stabilito da quello della derivata.