Inclinazione vettore risultante
Buongiorno. Sto studiando i vettori sul mio libro di fisica e ho un problema riguardante la trigonometria (dovevo forse postare nella sezione matematica?). In particolare, stavo leggendo un problema in cui è scritto:
Percorro una distanza netta di 2.6 km verso ovest, 3.9 km verso sud e 25 m verso l'alto. Qual'è il vettore spostamento complessivo?
Per scoprire il modulo del vettore dei primi due spostamenti, ho semplicemente svolto il teorema di pitagora: $D = sqrt((2.6 km)^2+(3.9 km)^2) = 4.69 km$.
A questo punto, però, dovrei ricavare l'angolo di inclinazione del vettore risultante. Essendo curioso del procedimento, ho dato una sbirciatina alla soluzione, però non ho capito nemmeno quella (forse è grave...). In essa è scritto che la tangente si trova così: $(3.9 km) / (2.6 km) = 1.5 $. Poi, per trovare l'inclinazione, bisogna calcolare l'arcotangente della tangente: $arctan1.5 = 56$... Mi chiedo il perché? Conosco le basi di trigonometria, ma non ho compreso l'utilizzo di tangente e arcotangente (che dovrebbe essere uguale a $tan^-1$) nel caso dei vettori... Qualcuno mi potrebbe dare una mano?
Ringrazio in anticipo per le future risposte.
Percorro una distanza netta di 2.6 km verso ovest, 3.9 km verso sud e 25 m verso l'alto. Qual'è il vettore spostamento complessivo?
Per scoprire il modulo del vettore dei primi due spostamenti, ho semplicemente svolto il teorema di pitagora: $D = sqrt((2.6 km)^2+(3.9 km)^2) = 4.69 km$.
A questo punto, però, dovrei ricavare l'angolo di inclinazione del vettore risultante. Essendo curioso del procedimento, ho dato una sbirciatina alla soluzione, però non ho capito nemmeno quella (forse è grave...). In essa è scritto che la tangente si trova così: $(3.9 km) / (2.6 km) = 1.5 $. Poi, per trovare l'inclinazione, bisogna calcolare l'arcotangente della tangente: $arctan1.5 = 56$... Mi chiedo il perché? Conosco le basi di trigonometria, ma non ho compreso l'utilizzo di tangente e arcotangente (che dovrebbe essere uguale a $tan^-1$) nel caso dei vettori... Qualcuno mi potrebbe dare una mano?
Ringrazio in anticipo per le future risposte.
Risposte
La funzione arcotangente si applica sul valore della tangente e restituisce come risultato il valore dell'angolo. Nel problema calcolano la tangente dell'angolo come lato opposto fratto lato adiacente (credo), poi con la funzione arcotangente risalgono all'angolo, cioè l'inclinazione che si stava cercando.
$tan^-1$ non significa $1/tan$, indica la funzione inversa, cioè l'$arctan$. Non sono sicuro fosse questo il tuo dubbio però.
$tan^-1$ non significa $1/tan$, indica la funzione inversa, cioè l'$arctan$. Non sono sicuro fosse questo il tuo dubbio però.
In un triangolo rettangolo, che per noi è costituito dal nostro vettore che è l'ipotenusa (a), e le sue componenti che sono invece i cateti (b, c), valgono le seguenti relazioni:
$b=a*cos\alpha$
$c=a*sin\alpha$
dove $\alpha$ è l'angolo che esprime la direzione dell'ipotenusa: se fai il rapporto della terza per la seconda ti viene:
$c/b=tan\alpha$
Quindi facendo il rapporto del cateto verticale diviso quello orizzontale trovi la tangente dell'angolo che esprime la direzione dell'ipotenusa; ma a te serve proprio questo angolo, quindi in generale se conosco la tangente di un angolo ma non conosco l'angolo, per calcolarlo devo ricorrere alla formula inversa della tangente, cioè l'arctan:
$\alpha=arctan(c/b)$
Ricordati però che il tuo è un problema in 3 dimensioni, non in 2!!!!!
$b=a*cos\alpha$
$c=a*sin\alpha$
dove $\alpha$ è l'angolo che esprime la direzione dell'ipotenusa: se fai il rapporto della terza per la seconda ti viene:
$c/b=tan\alpha$
Quindi facendo il rapporto del cateto verticale diviso quello orizzontale trovi la tangente dell'angolo che esprime la direzione dell'ipotenusa; ma a te serve proprio questo angolo, quindi in generale se conosco la tangente di un angolo ma non conosco l'angolo, per calcolarlo devo ricorrere alla formula inversa della tangente, cioè l'arctan:
$\alpha=arctan(c/b)$
Ricordati però che il tuo è un problema in 3 dimensioni, non in 2!!!!!
Grazie, adesso ho le idee molto più chiare. Due ultimi dubbi che sono sorto dopo le vostre risposte:
1) Le scritture $tan^-1$, $1/tan$ e $arctan$ non indicano la stessa cosa? (questo non era il dubbio sul quale richiedevo aiuto, ma visto che è venuto fuori, te lo chiedo
)
2) Io, in trigonometria non ho compreso il concetto di arcotangente... che cos'è? Cioè, credo che l'arcotangente sia l'opposto della tangente, ma non mi spiego il suo utilizzo nelle formule. (Come quelle postate precedentemente)
In particolare, grazie a NetFlyer77 per le formule.
1) Le scritture $tan^-1$, $1/tan$ e $arctan$ non indicano la stessa cosa? (questo non era il dubbio sul quale richiedevo aiuto, ma visto che è venuto fuori, te lo chiedo
)2) Io, in trigonometria non ho compreso il concetto di arcotangente... che cos'è? Cioè, credo che l'arcotangente sia l'opposto della tangente, ma non mi spiego il suo utilizzo nelle formule. (Come quelle postate precedentemente)
In particolare, grazie a NetFlyer77 per le formule.
L'arcotangente è la formula inversa della tangente, occorre diciamo per tornare "indietro", cioè è quella formula che si applica alla tangente per ottenere l'angolo. Prendi il caso della formula precedente:
$tan\alpha=c/b$
se conosci i due cateti puoi trovare la tangente di $\alpha$ non $\alpha$ stesso, e domanda come puoi fare per trovare $\alpha$? Risposta utilizzo l'arcotangente: immagina di fare la seguente operazione, cioè quella di applicare l'arctan ad entrambi i membri:
$arctan(tan\alpha)=arctan(c/b)$, ora poichè arctan è la funzione inversa di tan, queste si elidono e rimane $\alpha=arctan(c/b)$
Il quesito n°1 è una domanda invece molto importante: sulle calcolatrici c'è scritto $tan^-1$ per indicare la funzione inversa di tan, cioè quella che si chiama appunto arctan, però matematicamente è incorretto, perchè $tan^-1$, ossia $1/tan$ è quella che si chiama cotangente; quindi le scritture in realtà non dovrebbero coincidere, ma per colpa delle calcolatrici si fa molta confusione e si finisce per univocare tutte le scritture, ma non si dovrebbe!
$tan\alpha=c/b$
se conosci i due cateti puoi trovare la tangente di $\alpha$ non $\alpha$ stesso, e domanda come puoi fare per trovare $\alpha$? Risposta utilizzo l'arcotangente: immagina di fare la seguente operazione, cioè quella di applicare l'arctan ad entrambi i membri:
$arctan(tan\alpha)=arctan(c/b)$, ora poichè arctan è la funzione inversa di tan, queste si elidono e rimane $\alpha=arctan(c/b)$
Il quesito n°1 è una domanda invece molto importante: sulle calcolatrici c'è scritto $tan^-1$ per indicare la funzione inversa di tan, cioè quella che si chiama appunto arctan, però matematicamente è incorretto, perchè $tan^-1$, ossia $1/tan$ è quella che si chiama cotangente; quindi le scritture in realtà non dovrebbero coincidere, ma per colpa delle calcolatrici si fa molta confusione e si finisce per univocare tutte le scritture, ma non si dovrebbe!
Penso che con $tan^-1x$ si intenda l'$arctan$, mentre con $(tanx)^-1$ si intenda $1/tan$ cioè la $cotan$
"strangolatoremancino":
Penso che con $tan^-1x$ si intenda l'$arctan$, mentre con $(tanx)^-1$ si intenda $1/tan$ cioè la $cotan$
Ma esattamente qual'è il "senso" della funzione arcotangente? Perché, per trovare l'angolo devo utilizzare la funzione arcotangente di tangente? Mi fareste un gran favore se me lo spiegaste con parole semplici, perché per andare avanti nello studio della fisica cerco di colmare tutti i dubbi, e, non essendo un esperto fisico/matematico si creano sempre problemi...
Ciao.
Be come nel caso del tuo problema puoi conoscere il valore della tangente a partire dai lati e ti devi ricavare il valore dell'angolo, ecco che applichi l'arcotangente
La tangente si applica ad un angolo e ti restituisce una valore, l'arotangente si applica ad un valore e ti restituisce l'angolo (l'angolo che ha per tangente quel valore); facciamo un esempio: prendiamo l'angolo di 45° e calcoliamoci la tangente: tan45°=1. Ora se io mi volessi chiedere qual'è l'angolo che ha per tangente 1, come faccio a rispondere? Uso l'arcotangente: arctan1=45°
Scusate... non avevo visto la risposta di NETFlyer e ho fatto una domanda di cui avevo già la risposta. Però l'ultimo esempio è stato determinante alla comprensione.
Grazie. Adesso potrò continuare fino ad altri ostacoli (anche se spero che non ce ne siano più, ovvio).
Grazie. Adesso potrò continuare fino ad altri ostacoli (anche se spero che non ce ne siano più, ovvio).
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