Il momento angolare è sempre un numero intero?

[sergio.mauro.braguti]

A pag 89 e 90 del bel libro di Richard Feynman “La legge fisica” edito da Bollati Boringhieri leggo: “Mi è molto difficile rispondere se il momento angolare viene in multipli di una unità fissa. A prima vista sembra che questo sia assolutamente impossibile perché il momento angolare dipende dalla direzione in cui si proietta la figura. Poiché si tratta di un cambiamento di area, ovviamente questo sarà diverso a seconda che lo si guardi da un certo angolo o frontalmente. Se il momento angolare apparisse come multiplo di unità fisse, e se, per esempio, steste guardando una cosa che vale otto di queste unità, e poi la guardaste sotto un angolo leggermente differente, il numero di unità sarebbe un po’ diverso, magari un pochino meno di otto. Ma sette non è un pochino meno di otto; è una quantità ben definita meno di otto. Così il momento angolare non può assolutamente presentarsi come multiplo di una unità fissa. Tuttavia questa dimostrazione viene meno a causa delle sottigliezze e delle particolarità della meccanica quantistica, e, se si misura il momento angolare intorno ad un asse, stranamente appare sempre come multiplo di una unità fissa. Non è un tipo di unità, come una carica elettrica, che si possa contare. Il momento angolare viene sempre in multipli di una unità nel senso matematico che il numero che otteniamo in qualsiasi misura è un intero definito moltiplicato per l’unità di misura. Non possiamo, però, interpretare questo nello stesso modo come le unità di carica elettrica, unità immaginabili che si possono contare, una, poi un’altra, e poi un’altra ancora. Nel caso del momento angolare non possiamo immaginarle come unità separate; però, esso è sempre un numero intero…una cosa davvero strana.” Non avendo trovato cenno di questo argomento in alcuno degli altri testi che ho consultato, sarei grato se qualcuno mi aiutasse a capire cosa effettivamente succede e possibilmente perché o mi indicasse dove posso approfondire l’argomento.

[Quinzio]

Onestamente questa affermazione di Feynman è abbastanza oscura.
Quindi le proprietà di un sistema dipendono dall'osservatore ?
Andrebbe capita meglio...

[yoshiharu]

"Quinzio":Onestamente questa affermazione di Feynman è abbastanza oscura.
Quindi le proprietà di un sistema dipendono dall'osservatore ?
Andrebbe capita meglio...

No, non sta dicendo che le proprieta' dipendono dall'osservatore. Sta sostanzialmente dicendo che la proiezione del momento angolare su un dato asse dipende da quell'asse. Il fatto e' - prosegue il Nostro - che la meccanica quantistica ha delle particolarita' che cambiano completamente il discorso. E si trova che effettivamente il momento angolare di un sistema e' quantizzato.

Riguardo alla richiesta originale, temo che non ci sia altro modo di capire queste cose se non quello di andarsi a prendere un libro di meccanica quantistica e metterselo a studiare. Magari (tanto per attingere dallo stesso autore) proprio le "Feynman lectures on physics" che si trovano in Italiano in costosissima edizione da Zanichelli col titolo di "La fisica di Feynman".

Tieni presente che mentre "La legge fisica" e' un testo divulgativo (credo preso da un suo ciclo di conferenze pubbliche), le "Lectures" sono lezioni universitarie. Quindi e' richiesto un vero e proprio studio. Pero' la meccanica quantistica e' un po' cosi', o la prendi tutta o non ti da' niente...

[hamilton2]

Quello che succede è che il momento angolare non è una quantità vettoriale ben definita. In meccanica quantistica, gli osservabili reali (ad es. la componente del momento angolare rispetto ad un dato asse, o il modulo del momento angolare) sono rappresentati non da scalari, ma da operatori hermitiani. Alcuni di questi operatori (ad es. $L_x$ ed $L_y$, ma quello che segue vale qualunque siano i due assi, non necessariamente ortogonali) non sono compatibili, nel senso che non commutano. Tradotto vuol dire che avremo una base di stati del sistema con $L_x$ ben definita (in ognuno $L_x$ è un multiplo intero dell'unità fondamentale di cui sopra) e un'altra base di stati con $L_y$ ben definita. Le due basi non coincidono: uno stato puro di $L_x$ non ha un valore di $L_y$ ben definito. Cosa succede quando misuriamo $L_y$ se il sistema è in un autostato di $L_x$? Allora il sistema si sposta in uno degli stati della base relativa a $L_y$ e il valore che misuriamo sarà ancora un multiplo intero; il sistema non ha più però un valore di $L_x$ definito. In sostanza, non possiamo misurare $L_x$ e $L_y$ contemporaneamente, nel senso ben preciso di: non possiamo preparare uno stato di $L_x$ e $L_y$ ben definiti. Questo risolve il paradosso sollevato da Feynman.

Un'ottima trattazione introduttiva alla meccanica del momento angolare in quantistica, molto leggera sulla matematica, è quella in Introduction to QM di Griffith.