Identità vettoriali.
Ciao a tutti 
qualcuno potrebbe aiutarmi a capire questa serie di uguaglianze?
$ (v\cdotgradv)_x=v\cdotgradv_x=v_x(partial v_x)/(partial x) +v_y(partial v_y)/(partial y)+v_z(partial v_z)/(partial z)+v_y(partial v_y)/(partial x)-v_y(partial v_y)/(partial x)-v_z(partial v_z)/(partial x)+v_z(partial v_z)/(partial x) $
Essenzialmente mi ''perdo'' un po' in quella serie di derivate parziali... Poi comunque la dimostrazione dell'uguaglianza segue, ma quella mi diventa poi chiara.
Io ho supposto che $ v_x(partial v_x)/(partial x)+v_y(partial v_y)/(partial x)+v_z(partial v_z)/(partial x) $ sia $ (v\cdotgradv)_x $ , ma non riesco a capire le altre quattro quantità cosa siano. Sono solo delle quantità che ho aggiunto e tolto per procedere nella dimostrazione essenzialmente?
grazie mille
qualcuno potrebbe aiutarmi a capire questa serie di uguaglianze? $ (v\cdotgradv)_x=v\cdotgradv_x=v_x(partial v_x)/(partial x) +v_y(partial v_y)/(partial y)+v_z(partial v_z)/(partial z)+v_y(partial v_y)/(partial x)-v_y(partial v_y)/(partial x)-v_z(partial v_z)/(partial x)+v_z(partial v_z)/(partial x) $
Essenzialmente mi ''perdo'' un po' in quella serie di derivate parziali... Poi comunque la dimostrazione dell'uguaglianza segue, ma quella mi diventa poi chiara.
Io ho supposto che $ v_x(partial v_x)/(partial x)+v_y(partial v_y)/(partial x)+v_z(partial v_z)/(partial x) $ sia $ (v\cdotgradv)_x $ , ma non riesco a capire le altre quattro quantità cosa siano. Sono solo delle quantità che ho aggiunto e tolto per procedere nella dimostrazione essenzialmente?
grazie mille
Risposte
Io già non capisco che cosa hai scritto al primo membro . Se $v$ è un vettore , la quantità $\nabla*vecv$ è la sua divergenza, quindi uno scalare . Come fai a fare il prodotto scalare di $vecv$ per uno scalare ?
Allora, è giocoforza eseguire dapprima il prodotto scalare $vecv*\nabla$ , e si ottiene uno scalare : $ \Sigma_i v_(x_i)\partial/(\partialx_i) $, che si applica a $vecv$ .
questo non mi torna : applicando $ \Sigma_i v_(x_i)\partial/(\partialx_i) $ a $vecv$ , devono esserci le derivate parziali delle tre componenti rispetto a tutte e tre le variabili , quindi dovrebbero comparire 9 termini.
In $ (v\cdotgradv)_x $ , che cosa rappresenta il pedice $x$ a destra della parentesi ?
È meglio se rivedi ciò che volevi scrivere , in modo che si capisca meglio . Da dove l'hai tirata fuori ?
Forse l'identità che volevi scrivere è una di queste ?
http://imgur.com/OIZl8t8
http://imgur.com/QNO7Es4
tinei anche presente che l'operatore $\nabla$ non gode, in generale, della proprietà commutativa .
Allora, è giocoforza eseguire dapprima il prodotto scalare $vecv*\nabla$ , e si ottiene uno scalare : $ \Sigma_i v_(x_i)\partial/(\partialx_i) $, che si applica a $vecv$ .
Io ho supposto che $ v_x(partial v_x)/(partial x)+v_y(partial v_y)/(partial x)+v_z(partial v_z)/(partial x) $ sia $ (v\cdotgradv)_x $
questo non mi torna : applicando $ \Sigma_i v_(x_i)\partial/(\partialx_i) $ a $vecv$ , devono esserci le derivate parziali delle tre componenti rispetto a tutte e tre le variabili , quindi dovrebbero comparire 9 termini.
In $ (v\cdotgradv)_x $ , che cosa rappresenta il pedice $x$ a destra della parentesi ?
È meglio se rivedi ciò che volevi scrivere , in modo che si capisca meglio . Da dove l'hai tirata fuori ?
Forse l'identità che volevi scrivere è una di queste ?
http://imgur.com/OIZl8t8
http://imgur.com/QNO7Es4
tinei anche presente che l'operatore $\nabla$ non gode, in generale, della proprietà commutativa .
Ciao Allora, provo a spiegarmi un po' meglio.
Non ho usato nessuna proprietà commutativa però io
Cioè... da nessuna parte ho supposto che l'operatore fosse commutativo. Nel primo passaggio sto solo considerando la componente x del prodotto tra v e il gradiente di v.
Il tutto è partito dalle equazioni di Eulero e in particolare dalla prima equazione
$ \rho\frac{dv}{dt}=-gradp+f $ , con la supposizione che $ v=(x,t) $ . Da qui poi quindi si riscrive la derivata di v rispetto al tempo come $ \frac{dv_x}{dt} +\frac{dv_y}{dt} +\frac{dv_z}{dt} $ e ognuna di queste tre derivate è composta da 4 derivate parziali: (scrivo qui completa solo quella per $ v_x $ ):
$ \frac{dv_x}{dt}=(partialv_x)/(partialt)+(partialv_x)/(partialx)\frac{dx}{dt}+(partialv_x)/(partialy)\frac{dy}{dt}+(partialv_x)/(partialz)\frac{dz}{dt} $ .
dunque considerando anche le tre due derivate alla fine posso compattare tutta la scrittura scrivendo
$ \frac{dv}{dt}=(partialv)/(partialt)+v\cdotgradv $ . Poi qui quindi constato che la derivata totale di v rispetto al tempo è detta ''accelerazione totale( o accelerazione del laboratorio) e invece il termine a destra dell'uguaglianza è l'accelerazione parziale.
Adesso ( e qui arriva il mio problema nel capire l'uguaglianza), arriva questa affermazione: ''Considero solo la componente x del secondo termine a destra e dimostro che vale $ (v\cdotgradv)_X=v\cdotgradv_x $ ''. Poi da qui parte l'uguaglianza che ho scritto prima (quella con tutte le derivate su cui mi incasino).
Allora, provo a spiegarmi un po' meglio.Non ho usato nessuna proprietà commutativa però io
Cioè... da nessuna parte ho supposto che l'operatore fosse commutativo. Nel primo passaggio sto solo considerando la componente x del prodotto tra v e il gradiente di v. Il tutto è partito dalle equazioni di Eulero e in particolare dalla prima equazione
$ \rho\frac{dv}{dt}=-gradp+f $ , con la supposizione che $ v=(x,t) $ . Da qui poi quindi si riscrive la derivata di v rispetto al tempo come $ \frac{dv_x}{dt} +\frac{dv_y}{dt} +\frac{dv_z}{dt} $ e ognuna di queste tre derivate è composta da 4 derivate parziali: (scrivo qui completa solo quella per $ v_x $ ):
$ \frac{dv_x}{dt}=(partialv_x)/(partialt)+(partialv_x)/(partialx)\frac{dx}{dt}+(partialv_x)/(partialy)\frac{dy}{dt}+(partialv_x)/(partialz)\frac{dz}{dt} $ .
dunque considerando anche le tre due derivate alla fine posso compattare tutta la scrittura scrivendo
$ \frac{dv}{dt}=(partialv)/(partialt)+v\cdotgradv $ . Poi qui quindi constato che la derivata totale di v rispetto al tempo è detta ''accelerazione totale( o accelerazione del laboratorio) e invece il termine a destra dell'uguaglianza è l'accelerazione parziale.
Adesso ( e qui arriva il mio problema nel capire l'uguaglianza), arriva questa affermazione: ''Considero solo la componente x del secondo termine a destra e dimostro che vale $ (v\cdotgradv)_X=v\cdotgradv_x $ ''. Poi da qui parte l'uguaglianza che ho scritto prima (quella con tutte le derivate su cui mi incasino).
Il tutto (dopo l'uguaglianza maledettissima), procede così:
$ (v\cdotgradv)_x=(1/2)(gradv^2)_x+[(gradxxv)xxv]_x $ che,dato che vale per ogni componente, può essere riscritta come:
$ (v\cdotgradv)=(1/2)(gradv^2)+[(gradxxv)xxv] $ .
Dimostro che vale l'uguaglianza svolgendo esplicitamente il gradiente e il prodotto vettore e riscrivo l'equazione di Eulero da cui sono partita come:
$ \rho\frac{dv}{dt}=-gradp+f $
$ \frac{dv}{dt}=(partialv)/(partialt)+v\cdotgradv=(partialv)/(partialt)+(1/2)gradv^2+(gradxxv)xxv $
Da qui suppongo poi che il fluido sia irrazionale e che la forza sia esprimibile come $ f=-gradv $ .
E trovo questa forma dell'equazione di Eulero
$ \rho((partialv)/(partialt)+(1/2)gradv^2)=-grad(p+v) $ .
In sostanza tutto questo casino è servito per riscriversi la derivata totale della velocità rispetto al tempo nell'equazione di Eulero.
Quello che supponevo io , era che:
$ (v\cdotgradv)_x=v_x(partialv_x)/(partialt)+v_y(partialv_y)/(partialx)+v_x(partialv_z)/(partialx) $ e che i restanti termini $ v_y(partialv_y)/(partialy)-v_y(partialv_y)/(partialt)+v_z(partialv_z)/(partialz)-v_z(partialv_z)/(partialz) $ siano solo delle quantità che ha aggiunto e tolto per andare avanti nell'uguaglianza e far valere
$ (1/2)(gradv^2)_x+[(gradxxv)xxv]_x $
$ (v\cdotgradv)_x=(1/2)(gradv^2)_x+[(gradxxv)xxv]_x $ che,dato che vale per ogni componente, può essere riscritta come:
$ (v\cdotgradv)=(1/2)(gradv^2)+[(gradxxv)xxv] $ .
Dimostro che vale l'uguaglianza svolgendo esplicitamente il gradiente e il prodotto vettore e riscrivo l'equazione di Eulero da cui sono partita come:
$ \rho\frac{dv}{dt}=-gradp+f $
$ \frac{dv}{dt}=(partialv)/(partialt)+v\cdotgradv=(partialv)/(partialt)+(1/2)gradv^2+(gradxxv)xxv $
Da qui suppongo poi che il fluido sia irrazionale e che la forza sia esprimibile come $ f=-gradv $ .
E trovo questa forma dell'equazione di Eulero
$ \rho((partialv)/(partialt)+(1/2)gradv^2)=-grad(p+v) $ .
In sostanza tutto questo casino è servito per riscriversi la derivata totale della velocità rispetto al tempo nell'equazione di Eulero.
Quello che supponevo io , era che:
$ (v\cdotgradv)_x=v_x(partialv_x)/(partialt)+v_y(partialv_y)/(partialx)+v_x(partialv_z)/(partialx) $ e che i restanti termini $ v_y(partialv_y)/(partialy)-v_y(partialv_y)/(partialt)+v_z(partialv_z)/(partialz)-v_z(partialv_z)/(partialz) $ siano solo delle quantità che ha aggiunto e tolto per andare avanti nell'uguaglianza e far valere
$ (1/2)(gradv^2)_x+[(gradxxv)xxv]_x $
"Nattramn16":
Ciao
Non ho usato nessuna proprietà commutativa però io
D'accordo, il mio era solo un richiamo generico a questa proprietà di $\nabla$ .
Nel primo passaggio sto solo considerando la componente x del prodotto tra v e il gradiente di v.
Non sono d'accordo col termine "gradiente di v " , se $vecv$ è un vettore . Puoi parlare di "gradiente di una funzione scalare" , e allora si deve considerare $v$ uno scalare, e precisamente una funzione del tempo e delle coordinate, a loro volta funzione del tempo :
$v = v(x(t),y(t),z(t),t) $
Comunque , andiamo avanti, perchè il concetto di "derivata totale" o "sostanziale" , che viene dopo, si applica sia a funzioni scalari che a funzioni vettoriali.
Il tutto è partito dalle equazioni di Eulero e in particolare dalla prima equazione
$ \rho\frac{dv}{dt}=-gradp+f $ , con la supposizione che $ v=(x,t) $ . Da qui poi quindi si riscrive la derivata di v rispetto al tempo come $ \frac{dv_x}{dt} +\frac{dv_y}{dt} +\frac{dv_z}{dt} $ e ognuna di queste tre derivate è composta da 4 derivate parziali: (scrivo qui completa solo quella per $ v_x $ ):
$ \frac{dv_x}{dt}=(partialv_x)/(partialt)+(partialv_x)/(partialx)\frac{dx}{dt}+(partialv_x)/(partialy)\frac{dy}{dt}+(partialv_x)/(partialz)\frac{dz}{dt} $ .
Osservazione : l'equazione indefinita di Eulero, per il moto di un fluido perfetto, è : $ \rho(vecf - (d\vecv)/(dt) ) = vec\nabla p $ , che puoi riscrivere come hai scritto tu , ma hai omesso il fattore $\rho$ che moltiplica la forza $vecf$ . Generalmente , si considera la forza di massa $vecf$ per unità di massa. E si tratta sempre di una equazione vettoriale, che dà luogo a tre eq. scalari.
Siamo d'accordo sulla derivata sostanziale : $ \frac{dv_x}{dt}$ è somma della derivata locale :$(partialv_x)/(partialt)$ e delle derivate convettive : $ (partialv_x)/(partialx)\frac{dx}{dt}+(partialv_x)/(partialy)\frac{dy}{dt}+(partialv_x)/(partialz)\frac{dz}{dt} = (partialv_x)/(partialx)v_x+(partialv_x)/(partialy)v_y+(partialv_x)/(partialz)v_z $ .
Due equazioni analoghe si possono scrivere per $(dv_y)/(dt) $ e $(dv_z)/(dt) $ . Perciò , si hanno le tre componenti per l'accelerazione , ovvero la derivata sostanziale , di cui scrivo solo la prima :
$(dv_x)/(dt) = (partialv_x)/(partialt) + (partialv_x)/(partialx)v_x+(partialv_x)/(partialy)v_y+(partialv_x)/(partialz)v_z $
Viste queste tre equazioni, si può anche introdurre un unico operatore differenziale, che si può applicare a qualunque grandezza nel moto del fluido, in particolare a $v$ per trovare l'accelerazione totale :
$ (D)/(dt) = (partial)/(partialt) + v \nabla $
A questo punto, hai ragione tu; ho trovato questa dispensa sul web (fatta bene ) :
http://enrg55.ing2.uniroma1.it/compiti/ ... /cap17.pdf
in cui al paragrafo 4, pag. 449 , si ricava la derivata sostanziale della velocità , cioè l'accelerazione, per ogni componente , proprio alla maniera da te descritta . Laddove dice : " La (12) può essere scritta :....." , alla (12) , e alle analoghe per le altre componenti, bisogna aggiungere e togliere delle quantità, e poi raggruppare i vari termini come riportato ( circa a metà della pagina 450) , per poter arrivare al risultato voluto.
Ho verificato i calcoli a mano , e naturalmente tornano.
Quindi, raggruppando in quel modo i termini, si trova in definitiva la formula (13) per l'accelerazione .
Penso che sia questo ciò che ti occorre.
Ciao Nattramn. Vorrei solo sapere se ti sono stato utile .
Ciao Shackle. Mi scuso immensamente per non aver risposto ma sono stata sommersa dai corsi nuovi e dal tentare di dare un esame in tempo e mi sono TOTALMENTE scordata.
Ora leggo la risposta.
Ora leggo la risposta.
Dunque, ho letto e ti ringrazio tantissimo per il link , le precisazioni e per la risposta.
Chiedo ancora scusa per l'essermi dimenticata della cosa. Ora che ho ripassato questa parte sugli appunti, mi è tornata in mente la discussione son volata qui a leggere!
Chiedo ancora scusa per l'essermi dimenticata della cosa. Ora che ho ripassato questa parte sugli appunti, mi è tornata in mente la discussione son volata qui a leggere!
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