I legge di Fick
La maggior parte dei testi da me consultati esprimono la I legge di Fick per la diffusione unidimensionale come segue:
J = - D $ del c $ /$ del x $
La mia domanda è: la presenza della derivata parziale al secondo membro è dovuta al fatto che c = c (x,t) o semplicemente al fatto che "si vuole ricordare" che la legge possiede una formulazione più generale.
Spero di essere stato chiaro.
Grazie in anticipo.
J = - D $ del c $ /$ del x $
La mia domanda è: la presenza della derivata parziale al secondo membro è dovuta al fatto che c = c (x,t) o semplicemente al fatto che "si vuole ricordare" che la legge possiede una formulazione più generale.
Spero di essere stato chiaro.
Grazie in anticipo.
Risposte
il simbolo di derivata parziale sta chiaramente ad indicare che la c è funzione di più variabili, e che J rappresenta un "flusso" lungo la direzione x
Perfetto. Quindi i testi (molti, compreso il mio) che dicono che la I legge di Fick vale solo in condizioni stazionarie sbagliano.
Mi spiego, con la II legge si determina (sempre che si riesca a risolvere l'equazione differenziale) la distribuzione di concentrazione nel mezzo, nota quest'ultima con la I legge di Fick si può calcolare il flusso locale.
E' corretto, invece, dire che in condizioni stazionarie, non potendo variare nel tempo la concentrazione e il flusso è uguale in ogni punto del mezzo e quindi la I legge di Fick consente di determinare il flusso attraverso il mezzo. Viceversa, in condizioni non stazionarie essa consente di calcolare, nota c=c(x,t), solo il flusso locale.
Mi sbaglio?
Grazie in anticipo.
Mi spiego, con la II legge si determina (sempre che si riesca a risolvere l'equazione differenziale) la distribuzione di concentrazione nel mezzo, nota quest'ultima con la I legge di Fick si può calcolare il flusso locale.
E' corretto, invece, dire che in condizioni stazionarie, non potendo variare nel tempo la concentrazione e il flusso è uguale in ogni punto del mezzo e quindi la I legge di Fick consente di determinare il flusso attraverso il mezzo. Viceversa, in condizioni non stazionarie essa consente di calcolare, nota c=c(x,t), solo il flusso locale.
Mi sbaglio?
Grazie in anticipo.
"Fosforo":
Perfetto. Quindi i testi (molti, compreso il mio) che dicono che la I legge di Fick vale solo in condizioni stazionarie sbagliano.
Mi spiego, con la II legge si determina (sempre che si riesca a risolvere l'equazione differenziale) la distribuzione di concentrazione nel mezzo, nota quest'ultima con la I legge di Fick si può calcolare il flusso locale.
E' corretto, invece, dire che in condizioni stazionarie, non potendo variare nel tempo la concentrazione e il flusso è uguale in ogni punto del mezzo e quindi la I legge di Fick consente di determinare il flusso attraverso il mezzo. Viceversa, in condizioni non stazionarie essa consente di calcolare, nota c=c(x,t), solo il flusso locale.
Mi sbaglio?
Grazie in anticipo.
La prima legge di Fick stabilisce una relazione tra flusso e gradiente della concentrazione. Il fatto che sia utilizzata la derivata parziale non implica che tra le variabili ci sia il tempo, anche se ci può essere. Ricorda soprattutto che si sta considerando solo la componente x del vettore, mentre nel caso generale, come detto, il flusso è una grandezza vettoriale (a meno del segno e di una costante è il gradiente della concentrazione).
Il fatto che sia valida sono in condizioni stazionarie è smentito dalla seconda legge di Fick, che è una banale conseguenza della prima, quando viene applicata ad un bilancio di massa su un volume definito, in condizioni transitorie.
Una correzione a quanto hai affermato: non è vero che in condizioni stazionarie il flusso debba essere uguale in ogni punto del mezzo.
Il fatto che sia utilizzata la derivata parziale non implica che tra le variabili ci sia il tempo, anche se ci può essere.
Perfetto. Anche se, se c è funzione solo della posizione lungo x non vedo il senso di usare la derivata parziale rispetto a x (usi la derivata ordinaria ed è lo stesso).
Una correzione a quanto hai affermato: non è vero che in condizioni stazionarie il flusso debba essere uguale in ogni punto del mezzo.
Perchè? In condizioni stazionarie, essendo per definizione c costante nel tempo e quindi l'accumulo nullo, in ogni punto la massa di diffondente che passa per unità di superficie per unità di tempo (flusso) attraverso ogni sezione trasversale deve essere la stessa altrimenti ci sarebbe accumulo.
Grazie in anticipo KINDER !
Perfetto. Anche se, se c è funzione solo della posizione lungo x non vedo il senso di usare la derivata parziale rispetto a x (usi la derivata ordinaria ed è lo stesso).
Una correzione a quanto hai affermato: non è vero che in condizioni stazionarie il flusso debba essere uguale in ogni punto del mezzo.
Perchè? In condizioni stazionarie, essendo per definizione c costante nel tempo e quindi l'accumulo nullo, in ogni punto la massa di diffondente che passa per unità di superficie per unità di tempo (flusso) attraverso ogni sezione trasversale deve essere la stessa altrimenti ci sarebbe accumulo.
Grazie in anticipo KINDER !
"Fosforo":
Il fatto che sia utilizzata la derivata parziale non implica che tra le variabili ci sia il tempo, anche se ci può essere.
Perfetto. Anche se, se c è funzione solo della posizione lungo x non vedo il senso di usare la derivata parziale rispetto a x (usi la derivata ordinaria ed è lo stesso).
Una correzione a quanto hai affermato: non è vero che in condizioni stazionarie il flusso debba essere uguale in ogni punto del mezzo.
Perché? In condizioni stazionarie, essendo per definizione c costante nel tempo e quindi l'accumulo nullo, in ogni punto la massa di diffondente che passa per unità di superficie per unità di tempo (flusso) attraverso ogni sezione trasversale deve essere la stessa altrimenti ci sarebbe accumulo.
Grazie in anticipo KINDER !
se dai un'occhiata alla seconda legge di Fick, vedi immediatamente che l'unica cosa che puoi dire è che in condizioni stazionarie il laplaciano della concentrazione è nullo. Come ne deduci la costanza del flusso?
Ti suggerisco di considerare qualche caso semplice in 3 dimensioni, e vedrai anche da solo che non è come credi. Prova per esempio a considerare il caso di una sorgente puntiforme in un mezzo infinito, con concentrazione nulla all'infinito (a distanza infinita dalla sorgente). Che andamento hanno il flusso e la concentrazione in funzione della distanza $r$ dalla sorgente?
Ovviamente non ti stupirai di una prevedibile singolarità in $r=0$.
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se dai un'occhiata alla seconda legge di Fick, vedi immediatamente che l'unica cosa che puoi dire è che in condizioni stazionarie il laplaciano della concentrazione è nullo. Come ne deduci la costanza del flusso?
Ti suggerisco di considerare qualche caso semplice in 3 dimensioni, e vedrai anche da solo che non è come credi. Prova per esempio a considerare il caso di una sorgente puntiforme in un mezzo infinito, con concentrazione nulla all'infinito (a distanza infinita dalla sorgente). Che andamento hanno il flusso e la concentrazione in funzione della distanza $r$ dalla sorgente?
Ovviamente non ti stupirai di una prevedibile singolarità in $r=0$.[/quote]
Allora alla costanza del flusso nello spazio in condizioni stazionarie ci sono arrivato (o meglio il prof. ci è arrivato) impiegando non la Ilegge di fick (dalla quale ovviamente non è deducibile) ma il bilancio di massa nel caso di diffusione unidirezionale stazionaria di un unica specie attraverso una parete piana indefinita senza sorgenti nè pozzi; effettivamente, in questo caso, J è costante (oltre che nel tempo) lungo x e: - integrando la I legge di Fick tra 0 ed L poi ricavare il flusso "complessivo" o, se vuoi, ti rendi conto che ha senso parlare di flusso attraverso; - attraverso la II legge di Fick ricavi che lil profilo di concentrazione del diffondente lungo la parete è lineare. Lo stesso ragionamento lo avevo trovato a proposito della legge della conduzione del calore di Fourier e mi sembra corretto.
Quello che tu dici mi porta a pensare che ciò che io affermo sia valido solo nel caso in cui il termine generazione (per "generazione" intendo: la differenza fra la quantità che viene "creata" e la quantità che viene "distrutta" all'interno del volume di controllo) nel bilancio di massa (o di energia) è nullo, ovvero quando nel VDC non ci sono nè sorgenti nè pozzi. E' corretto ?
Ti ringrazio in anticipo
se dai un'occhiata alla seconda legge di Fick, vedi immediatamente che l'unica cosa che puoi dire è che in condizioni stazionarie il laplaciano della concentrazione è nullo. Come ne deduci la costanza del flusso?
Ti suggerisco di considerare qualche caso semplice in 3 dimensioni, e vedrai anche da solo che non è come credi. Prova per esempio a considerare il caso di una sorgente puntiforme in un mezzo infinito, con concentrazione nulla all'infinito (a distanza infinita dalla sorgente). Che andamento hanno il flusso e la concentrazione in funzione della distanza $r$ dalla sorgente?
Ovviamente non ti stupirai di una prevedibile singolarità in $r=0$.[/quote]
Allora alla costanza del flusso nello spazio in condizioni stazionarie ci sono arrivato (o meglio il prof. ci è arrivato) impiegando non la Ilegge di fick (dalla quale ovviamente non è deducibile) ma il bilancio di massa nel caso di diffusione unidirezionale stazionaria di un unica specie attraverso una parete piana indefinita senza sorgenti nè pozzi; effettivamente, in questo caso, J è costante (oltre che nel tempo) lungo x e: - integrando la I legge di Fick tra 0 ed L poi ricavare il flusso "complessivo" o, se vuoi, ti rendi conto che ha senso parlare di flusso attraverso; - attraverso la II legge di Fick ricavi che lil profilo di concentrazione del diffondente lungo la parete è lineare. Lo stesso ragionamento lo avevo trovato a proposito della legge della conduzione del calore di Fourier e mi sembra corretto.
Quello che tu dici mi porta a pensare che ciò che io affermo sia valido solo nel caso in cui il termine generazione (per "generazione" intendo: la differenza fra la quantità che viene "creata" e la quantità che viene "distrutta" all'interno del volume di controllo) nel bilancio di massa (o di energia) è nullo, ovvero quando nel VDC non ci sono nè sorgenti nè pozzi. E' corretto ?
Ti ringrazio in anticipo
Fosforo,
tu sei dalle inferenze troppo facili e veloci, quindi rischiose
Se applichi la seconda legge di Fick al caso mondimensionale e stazionario hai $(d^2c(x))/(dx^2)=0$, dalla quale integrando una volta ottieni che il flusso è costante, integrando ancora che la concentrazione è lineare rispetto alla $x$. Perché non dovrebbe essere applicabile? Da quello che dici dopo si capisce che non hai messo a fuoco che la seconda legge di Fick è il risultato di un bilancio di massa su un VDC. Quindi, il tuo professore vi ha mostrato proprio come si arriva alla seconda legge di Fick nel caso monodimensionale e stazionario, non che essa non sia applicabile
Quanto affermi alla fine non è corretto. Il problema sta nel fatto che generalizzi il caso monodimensionale a tutti i casi. Mettiti nel caso a due o tre dimensioni (stazionario) e prova ad integrare il laplaciano. Poi mi dici se ne deduci la costanza del flusso come caso generale in assenza di termini di sorgente.
Prova a svolgere l'esercizio che ti ho proposto nel post precedente.
tu sei dalle inferenze troppo facili e veloci, quindi rischiose
Se applichi la seconda legge di Fick al caso mondimensionale e stazionario hai $(d^2c(x))/(dx^2)=0$, dalla quale integrando una volta ottieni che il flusso è costante, integrando ancora che la concentrazione è lineare rispetto alla $x$. Perché non dovrebbe essere applicabile? Da quello che dici dopo si capisce che non hai messo a fuoco che la seconda legge di Fick è il risultato di un bilancio di massa su un VDC. Quindi, il tuo professore vi ha mostrato proprio come si arriva alla seconda legge di Fick nel caso monodimensionale e stazionario, non che essa non sia applicabile
Quanto affermi alla fine non è corretto. Il problema sta nel fatto che generalizzi il caso monodimensionale a tutti i casi. Mettiti nel caso a due o tre dimensioni (stazionario) e prova ad integrare il laplaciano. Poi mi dici se ne deduci la costanza del flusso come caso generale in assenza di termini di sorgente.
Prova a svolgere l'esercizio che ti ho proposto nel post precedente.
"kinder":
Fosforo,
tu sei dalle inferenze troppo facili e veloci, quindi rischiose
Effettivamente è una mia tendenza
. "kinder":
Se applichi la seconda legge di Fick al caso mondimensionale e stazionario hai $(d^2c(x))/(dx^2)=0$, dalla quale integrando una volta ottieni che il flusso è costante, integrando ancora che la concentrazione è lineare rispetto alla $x$. Perché non dovrebbe essere applicabile?
Che cretino che sono
"kinder":
Da quello che dici dopo si capisce che non hai messo a fuoco che la seconda legge di Fick è il risultato di un bilancio di massa su un VDC. Quindi, il tuo professore vi ha mostrato proprio come si arriva alla seconda legge di Fick nel caso monodimensionale e stazionario, non che essa non sia applicabile
Il punto è che "noi" nel ricavare la II legge di Fick avevamo fatto l'ipotesi di assenza di termini di generazione ed io ho generalizzato: ---------> "la II l. di Fick è il risultato di un bilancio di massa su un VDC IN ASSENZA DI TERMINI DI GENERAZIONE" ....
"kinder":
Quanto affermi alla fine non è corretto. Il problema sta nel fatto che generalizzi il caso monodimensionale a tutti i casi. Mettiti nel caso a due o tre dimensioni (stazionario) e prova ad integrare il laplaciano. Poi mi dici se ne deduci la costanza del flusso come caso generale in assenza di termini di sorgente. Prova a svolgere l'esercizio che ti ho proposto nel post precedente.
Perfetto
Adesso alcune domande (pertinenti e non)
Quali sono le condizioni necessarie è sufficienti affinchè il flusso di un diffondente attraverso un mezzo omogeneo ed isotropo sia uguale in ogni suo punto?
E' corretto affermare che utilizzare come ipotesi per ricavare la II legge di Fick l'assenza di termini di generazione è solo una semplificazione ma che in realtà essa può essere ricavata anche considerando un mezzo in cui vi è generazione?
E' sorprendente la padronanza che possiedi di questo argomento; la deduco da due cose: -la chiarezza con cui esponi; - il fatto che tu capisca dove non ho capito (scusa il gioco di parole). Volevo chiederti da dove deriva ?
Tu probabilmente ti chiederai perchè chiedo a te e non ne discuto con i miei compagni/docenti. La risposta e per non sentimi dire non serve per l'esame
GRAZIE DELLA PAZIENZA. CIAO !
"Fosforo":
Quali sono le condizioni necessarie è sufficienti affinché il flusso di un diffondente attraverso un mezzo omogeneo ed isotropo sia uguale in ogni suo punto?
Non ci ho mai pensato; onestamente ora non ho granché voglia di dimostrare questo "teorema". Preferisco, come si suol dire in questi casi, lasciare questo come utile esercizio al lettore
"Fosforo":
E' corretto affermare che utilizzare come ipotesi per ricavare la II legge di Fick l'assenza di termini di generazione è solo una semplificazione ma che in realtà essa può essere ricavata anche considerando un mezzo in cui vi è generazione?
La seconda legge di Fick come mostrata in genere ( $(del c)/(del t)=D nabla^2 c$) è ottenuta in ipotesi di assenza di sorgenti e pozzi. Il caso generale di presenza di questi porta ad averli nel secondo membro dell'equazione ( $(del c)/(del t)=D nabla^2 c+s-p$). Anche questo te lo lascio come utile esercizio. Questo fallo davvero, perché è l'unico modo di vedere da dove viene l'equazione e cosa significhi. Altrimenti ti rimane a mente solo come "formula" e per un fisico/ingegnere non va bene.
"Fosforo":
E' sorprendente la padronanza che possiedi di questo argomento...da dove deriva ?
La seconda equazione di Fick è una tipica equazione della diffusione. La padronanza mi viene da altri settori in cui per studi e per lavoro mi sono impegnato, nei quali l'equazione della diffusione era applicata, sebbene ad altri oggetti (in particolare neutroni in un reattore nucleare).
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