I calcoli nell'esperimento di Michelson-Morley

[Thinker1]

La figura 1 sopra mostra l'apparato semplificato di Michelson e
Morley. Tale apparato è in posizione tale che il percorso che la luce deve fare per andare dall'interferometro P allo specchio S1 sia parallelo alla direzione di moto della Terra illustrata in figura. Dalla figura si vede che gli specchi S1 ed S2 sono equidistanti dall'interferometro posto in P. Scartata l'esistenza del "vento d'etere" che fu scardinata proprio dell'esperimento di Michelson-Morley, ciò di cui dobbiamo tenere conto è che l'apparato mostrato si muove verso destra nella stessa direzione del moto della Terra.
Nella Fig.1 il raggio che oltrepassa l'interferometro (colore viola) si muove nella stessa direzione del moto della Terra, la quale si muove con velocità 30km/s. Vogliamo calcolare il tempo $t_1$ che il raggio viola impiega a raggiungere lo specchio S1 e a tornare all'interferometro.
Sappiamo che la velocità della luce è c , ma lo specchio S1 si muove nella stessa direzione del raggio viola. Definendo $L_1$ il tragitto dall'interferometro allo specchio S1 ed $L_1$ anche il tragitto di ritorno abbiamo che:

$t_1$ = $ \ frac {L_1} {c - v} + \ frac {L_1} {c + v} $ = $ \ frac {2L_1c} {c^2 - v^2} $

Per quanto riguarda il tempo $t_2$ impiegato dal raggio che viene riflesso verso lo specchio S2 per percorrere il tragitto da P a S2 e viceversa, la luce non compie un percorso verticale ma obliquo sia all'andata che al ritorno (non dimentichiamo che l'apparato si muove verso destra nella stessa direzione della Terra). Cercando di ricavare il tempo $t_2$ è certo che i due percorsi obliqui sono uguali: per calcolare il tempo $t$ in cui la luce effettua uno di questi due percorsi ci rendiamo conto che siamo di fronte a un triangolo rettangolo (vedi figura 2), di cui conosciamo un cateto, cioè il tratto $L_2$ . Ora essendo l'ipotenusa il lato più lungo del triangolo possiamo esprimere tale distanza come velocità $c$ moltiplicato il tempo $t$ che ancora non conosciamo
Analogamente la lunghezza del cateto più corto può essere espressa come la velocità della Terra $v$ (30km/s) moltiplicato $t$ . Cioè, applicando il teorema di Pitagora, possiamo scrivere:

$c^2* t^2 = v^2* t^2 + L_2^2$

e dopo una serie di calcoli si ottiene che il tempo di sola andata $t = \ frac {L_2} {\ sqrt {c^2 - v^2} } $ e questo è il tempo di sola andata. Poiché il tempo di andata e ritorno sono uguali, abbiamo che:
$t_2 = \ frac {2L_2} {\ sqrt {c^2 - v^2} } $



Essendo i due bracci $L_1$ ed $L_2$ uguali la differenza fra i tempi $t_1$ e $t_2$ sarà pari a zero e i due raggi arrivano contemporaneamente sul rilevatore I formando frange di interferenza dove le frange di luce avrebbero una certa intensità. Se ho ben capito tale intensità varierebbe se i due bracci sono di lunghezza leggermente diversa; la cosa che stupì Michelson e Morley è che ruotando l'apparato si dovevano osservare cambiamenti nelle frange di interferenza, ma invece non si notò nessuna variazione dell'immagine di interferenza.

Fin qui mi pare tutto ok, ma non è l'esperimento di Michelson-Morley a non convincermi, ma i calcoli fatti (e non da me).
Ciò che non mi convince nel calcolo del tempo $t_1$ , è come viene calcolato il primo termine $ \ frac {L_1} {c - v} $ .
A causa del moto della Terra, lo specchio S1 si allontana alla velocità della Terra, quindi il raggio viola per andare da P a S1 ha una velocità minore di $c$ , cioè $c - v$; ma attenzione, al pari dello specchio S1 anche la sorgente luminosa si sposta nella stessa direzione del moto della Terra in quanto essaèsolidale allaTerra stessa: il raggio di luce che fuoriesce dalla sorgente arriva allo specchio S1 con velocità $c + v$ , cioè la velocità della luce + la velocità della sorgente ($v$). Quindi dovrebbe essere
$c + v$ e poi sottrarre la velocità dello specchio S1 che fugge via: cioè sarebbe $c + v - v = c $
Allora $t_1$ sarebbe dato da $ \ frac {L_1} {c} + \ frac {L_1} {c + v}$ che può essere anche scritta come

$t_1 = \ frac {L_1 *(2c + v)} {c^2 + c*v} $

Anche il calcolo del tempo $t_2$ che il raggio di luce impiega per andare da P a S2 e viceversa risulterebbe inficiato. Infatti dalla sorgente luminosa esce un raggio di luce che ha velocità $c + v$ , è anche quando sarà riflesso verso lo specchio S2 avrà velocità $c + v$ con la conseguenza che il calcolo di $t_2$ andrebbe rivisto. Ricordando la figura 2 e il teorema di Pitagora ora sarebbe:
$(c + v)^2*t^2 = v^2*t^2 + L_2^^2$

isolando $t^2$ si ha che

$t^2 = \ frac {L_2^2} {(c + v)^2 - v^2}$

e mettendo sotto radice si ha che il tempo $t$ di sola andata è

$t = \ frac {L_2} { \ sqrt {(c + v )^2 - v^2} } $

Per ottenere il tempo $t_2$ bisogna moltiplicare $t*2$ e si ottiene

$t_2 = \ frac {2L_2} { \ sqrt {(c + v)^2 - v^2} } $ ottenendo infine

$t_2 = \ frac {2L_2} { \ sqrt {c^2 + 2cv} } $

La prima parte di questo post d'apertura cerca di spiegare l'esperimento di Michelson-Morley, poi ho introdotto ciò che mi tende perplesso: ovviamente l'esperimento di Michelson-Morley resta valido, solo andava forse considerato il fatto che anche la sorgente luminosa si muove alla velocità della Terra, con tutto ciò che ne consegue sui calcoli e sempre se ho ragionato bene...spero che qualcuno voglia interagire mi è costato tanta fatica fare questo post dal cellulare (le formule, i disegni, come inserire i disegni)

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Post Scriptum: qualcuno potrebbe affermare che la velocità della luce non è influenzata dalla velocità della sorgente, quindi velocità dellaluce + velocità della sorgente = velocità della luce, cioè $c + v = c$.
Questa modo di sommare è la conseguenza
dell'esperimento, quindi a questo stadio dell'esperimento non possiamo comporre $c +v$ in modo relativistico, in quanto applicheremmo la conseguenza dell'esperimento prima ancora di arrivare alle conclusioni dell'esperimento. L'impressione che ho è che i calcoli dell'esperimento vengono spiegati sul web assumendo già per dato che la velocità della sorgente non influenza la velocità della luce...Michelson e Morley non sapevano questo, fu Einstein che proclamò ufficialmente l'invarianza di c...