Hamiltoniana ed operatore di evoluzione $U(t)$

[ludwigZero]

Salve a tutti

Ho una hamiltoniana di questo tipo: $H = \alpha S_z$ dove $\alpha$ è un numero adimensionale.
Devo trovare $U(t) = e^-(i 2 \pi E/(h) t)$

$S_z$ ha autovalori +h(tagliato)/2 e - h(tagliato)/2 quindi anche $H$ ha gli stessi autovalori di $S_z$ ma moltiplicati per $\alpha$?
Come scrivo a questo punto l'operatore di evoluzione?

Altra domanda inerente. Se al tempo $t=0$ ho un certo valor medio, e poi applico l'operatore di evoluzione, e il valor medio è uguale a quello di $t=0$ cosa posso affermare? puo' succedere ad esempio che: $ = $ ?

[DelCrossB]

"ludwigZero":Salve a tutti

Ho una hamiltoniana di questo tipo: $H = \alpha S_z$ dove $\alpha$ è un numero adimensionale.
Devo trovare $U(t) = e^-(i 2 \pi E/(h) t)$

Non credo $\alpha$ possa essere adimensionale.. dovrebbe avere le dimensioni di una frequenza perché l'hamiltoniana sia energia.

$S_z$ ha autovalori +h(tagliato)/2 e - h(tagliato)/2 quindi anche $H$ ha gli stessi autovalori di $S_z$ ma moltiplicati per $\alpha$?
Come scrivo a questo punto l'operatore di evoluzione?

Sì! Ne trovi conferma scrivendo semplicemente il problema agli autovalori e ricordando che $\alpha$ è solo una costante moltipliticativa.
L'operatore di evoluzione temporale si scriverà: \(U(t) = e^{-i\frac{H}{\hbar}t}\). Quando esso agisce su un autostato $\psi_n$ dell'hamiltoniana (con autovalore $E_n$) lo fa moltiplicativamente apportando una fase dipendente dal tempo: \(U(t) = e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}\)

Altra domanda inerente. Se al tempo $t=0$ ho un certo valor medio, e poi applico l'operatore di evoluzione, e il valor medio è uguale a quello di $t=0$ cosa posso affermare? puo' succedere ad esempio che: $ = $ ?

Sia $\psi_0$ lo stato all'istante iniziale e $|\psi(t)\rangle = U|\psi_0\rangle$. Allora:

\[\langle s_z\rangle_t = \langle\psi(t)|s_z|\psi(t)\rangle= \langle\psi_0|U^{\dagger} s_z U|\psi_0\rangle=\langle\psi_0|U^{\dagger} U s_z |\psi_0\rangle=\langle\psi_0|s_z |\psi_0\rangle=\langle s_z\rangle\]

Dove ho usato che $[U,s_z]=0$ e \(U^{\dagger} U=1\).

[ludwigZero]

"DelCrossB":[quote="ludwigZero"]Salve a tutti

Ho una hamiltoniana di questo tipo: $H = \alpha S_z$ dove $\alpha$ è un numero adimensionale.
Devo trovare $U(t) = e^-(i 2 \pi E/(h) t)$

[/quote]
Non credo $\alpha$ possa essere adimensionale.. dovrebbe avere le dimensioni di una frequenza perché l'hamiltoniana sia energia.


ecco. l'ho fatto notare anche al professore, era una sua svista.
Se l'hamiltoniana fosse stata invece:

$H = \alpha S * B$

dove B è il campo magnetico costante parallelo all'asse $z$ dunque $B=(0,0,B_z)$ l'hamiltoniana diventerebbe:

$H = \alpha S * B = \alpha S_z B_z$ , riguardo agli autovalori come li scrivo?

[DelCrossB]

$B_z$ è un fattore moltiplicativo, così come $\alpha$. Gli autovalori di quella hamiltoniana saranno gli autovalori di $s_z$ moltiplicati per $\alpha B_z$.