Hamilton, Fermat, Heisenberg
un po' di mesi fa studiai il principio variazionale di Hamilton, che dice che la condizione di stazionarietà (per moti non variabili agli estremi) dell'azione è data dalle equazioni di Lagrange.
la derivata dell'azione è infatti
(1) $J'(0) = (pDeltaq)_(t_0)^(t_1) - (HDeltat)_(t_0)^(t_1) + int_(t_0)^(t_1) epsilon(q,dotq,ddotq) dt = 0 $
con epsilon ho indicato il gradiente lagrangiano.
imponendo le variazioni iniziali e finali pari a zero abbiamo $(d/dt) (delL)/(deldotq) - (delL)/(delq) = 0 $
spesso si sente dire che questo equivale al principio di Fermat sul cammino ottico.
a me non è chiarissima la cosa, visto che quest'ultimo dice il cammino geometrico del raggio di luce è minimo del cammino ottico $ s = min int_(A)^(B) n ds$
insomma, come si può dire che il cammino ottico equivale all'azione, e che n equivale alla funzione di Lagrange?
ok, i due principi si assomigliano. ma un qualcosa comune da cui derivarli?
ora vengo ad un volo pindarico / delirio.
partendo da (1) se impongo che il moto sia naturale e derivo una seconda volta, trascurando i termini al secondo ordine ottengo la significativa relazione tra variazioni
$DeltapDeltaq = DeltaH Deltat$
che, a parte la costante h a cui si eguaglia la relazione, è una formulazione del principio di Heisenberg.
so che Heisenberg viene fondamentalmente dal teorema di Fourier, dai pacchetti d'onda eccetera...
ma è possibile che si possa ricavare in prima approssimazione, ossia senza il valore di K per cui $DeltapDeltaq = K$, da principi puramente classici?
grazie a chiunque leggerà e commenterà questo sproloquio
la derivata dell'azione è infatti
(1) $J'(0) = (pDeltaq)_(t_0)^(t_1) - (HDeltat)_(t_0)^(t_1) + int_(t_0)^(t_1) epsilon(q,dotq,ddotq) dt = 0 $
con epsilon ho indicato il gradiente lagrangiano.
imponendo le variazioni iniziali e finali pari a zero abbiamo $(d/dt) (delL)/(deldotq) - (delL)/(delq) = 0 $
spesso si sente dire che questo equivale al principio di Fermat sul cammino ottico.
a me non è chiarissima la cosa, visto che quest'ultimo dice il cammino geometrico del raggio di luce è minimo del cammino ottico $ s = min int_(A)^(B) n ds$
insomma, come si può dire che il cammino ottico equivale all'azione, e che n equivale alla funzione di Lagrange?
ok, i due principi si assomigliano. ma un qualcosa comune da cui derivarli?
ora vengo ad un volo pindarico / delirio.
partendo da (1) se impongo che il moto sia naturale e derivo una seconda volta, trascurando i termini al secondo ordine ottengo la significativa relazione tra variazioni
$DeltapDeltaq = DeltaH Deltat$
che, a parte la costante h a cui si eguaglia la relazione, è una formulazione del principio di Heisenberg.
so che Heisenberg viene fondamentalmente dal teorema di Fourier, dai pacchetti d'onda eccetera...
ma è possibile che si possa ricavare in prima approssimazione, ossia senza il valore di K per cui $DeltapDeltaq = K$, da principi puramente classici?
grazie a chiunque leggerà e commenterà questo sproloquio
Risposte
Sulla prima mi riservo un po' di riflessione
sulla seconda ti dico che quella non è una formulazione del principio di Heisemberg, perché la versione p,q e quella E,t non sono equivalenti come potrebbe sembrare
La prima versione sancisce che il prodotto delle incertezze sui valori nello stesso istante di q e p è minorato da una costante
Mentre la seconda dice che se uno misura l'energia di un sistema isolato in due istanti successivi di tempo e ne fa la differenza, questa moltiplicata per l'intervallo temporale è minorata dalla medesima costante
In ogni caso, non c'è modo di derivare formulazioni similari delle diseguaglianze di Heisemberg per via classica per un motivo semplice:
il motivo per cui $DeltaqDeltap >= 1/2 h/{2pi}$
è che $[q,p]=h/{2pi}$
cioè il fatto che q e p non sono grandezze fisiche compatibili (= misurabili allo stesso istante), cosa che in Fisica classica è assolutamente priva di ogni senso
sulla seconda ti dico che quella non è una formulazione del principio di Heisemberg, perché la versione p,q e quella E,t non sono equivalenti come potrebbe sembrare
La prima versione sancisce che il prodotto delle incertezze sui valori nello stesso istante di q e p è minorato da una costante
Mentre la seconda dice che se uno misura l'energia di un sistema isolato in due istanti successivi di tempo e ne fa la differenza, questa moltiplicata per l'intervallo temporale è minorata dalla medesima costante
In ogni caso, non c'è modo di derivare formulazioni similari delle diseguaglianze di Heisemberg per via classica per un motivo semplice:
il motivo per cui $DeltaqDeltap >= 1/2 h/{2pi}$
è che $[q,p]=h/{2pi}$
cioè il fatto che q e p non sono grandezze fisiche compatibili (= misurabili allo stesso istante), cosa che in Fisica classica è assolutamente priva di ogni senso
grazie della risposta chiarificatrice.
sono parentesi di Lagrange quelle?
come dicevo non ho una cultura formale del principio di indeterminazione, l'ho affrontato nel corso sulla crisi della meccanica classica ove in genere viene giustificato a partire dalla relazione di Fourier sui treni d'onda $DeltaxDeltaK > 1$, nella quale inserendo la relazione della lunghezza d'onda di DeBroglie si arriva a $DeltaxDeltap > h/(2pi)$. aspetterò l'anno prossimo per qualcosa di più serio allora!
"Maxos":
è che $[q,p]=h/{2pi}$
sono parentesi di Lagrange quelle?
come dicevo non ho una cultura formale del principio di indeterminazione, l'ho affrontato nel corso sulla crisi della meccanica classica ove in genere viene giustificato a partire dalla relazione di Fourier sui treni d'onda $DeltaxDeltaK > 1$, nella quale inserendo la relazione della lunghezza d'onda di DeBroglie si arriva a $DeltaxDeltap > h/(2pi)$. aspetterò l'anno prossimo per qualcosa di più serio allora!
$[q,p]$ è il commutatore tra i due operatori cioè $qp-pq$
Se due operatori commutano, cioè $qp=pq$, si ha che due misure simultanee di questi sono possibili
in effetti si dimostra in tre righe, lo puoi fare benissimo tu, che se $p$ e $q$ sono due operatori a media nulla allora $DeltaqDeltap>=1/2 |<[q,p]>|$
Se due operatori commutano, cioè $qp=pq$, si ha che due misure simultanee di questi sono possibili
in effetti si dimostra in tre righe, lo puoi fare benissimo tu, che se $p$ e $q$ sono due operatori a media nulla allora $DeltaqDeltap>=1/2 |<[q,p]>|$
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