Guscio sferico isolante: un problema di integrazione.
Buongiorno,
questo problema è stato già trattato su questo forum nel 2011 ma la mia domanda è diversa.
Indicando con $r_i$ il raggio interno e con $r_e$ il raggio esterno, ho risolto correttamente utilizzando questo integrale
$\int_{r_i}^{r_e} \rho*d(4/3 pi r^3)$
Anche l'integrale che segue ha come dimensione una carica elettrica ma non risolve il quesito precedente. Qual'è quindi il significato fisico di questo integrale? Che differenza c'è con il precedente.
$\int_{r_i}^{r_e} \b*d(4 pi r^2)$
questo problema è stato già trattato su questo forum nel 2011 ma la mia domanda è diversa.
Un guscio sferico isolante, di raggio interno 4,0 cm ed esterno 6,0 cm, ha una carica dispersa in maniera disuniforme all'interno del suo volume compreso fra le superfici interna ed esterna. La densità volumica di carica $\rho$ è la carica per unità di volume misurata in coulomb al metro cubo. in questo caso $\rho = b/r$, ove $r$ è la distanza dal centro della sfera e $b = 3 (µC)/(m^2)$. quanto vale la carica netta presente sul guscio sferico?
Indicando con $r_i$ il raggio interno e con $r_e$ il raggio esterno, ho risolto correttamente utilizzando questo integrale
$\int_{r_i}^{r_e} \rho*d(4/3 pi r^3)$
Anche l'integrale che segue ha come dimensione una carica elettrica ma non risolve il quesito precedente. Qual'è quindi il significato fisico di questo integrale? Che differenza c'è con il precedente.
$\int_{r_i}^{r_e} \b*d(4 pi r^2)$
Risposte
Gli integrali non sono formule a caso che risolvono per magia certi problemi, non è che puoi prendere qualsiasi integrale e vedere se funziona o no.
La carica $dq$ contenuta in un volume infinitesimo $dV$ di sfera è $dq=rhodV$, essendo quindi $dV=d(4/3pir^3)=4pir^2dr$ si ha, integrando:
$q=int_(r_i)^(r_e)rho4pir^2dr$
L'altra formula non ha motivo di esistere
La carica $dq$ contenuta in un volume infinitesimo $dV$ di sfera è $dq=rhodV$, essendo quindi $dV=d(4/3pir^3)=4pir^2dr$ si ha, integrando:
$q=int_(r_i)^(r_e)rho4pir^2dr$
L'altra formula non ha motivo di esistere
Ti ringrazio 
Non si potrebbe, d'altra parte, pensare di sommare le cariche di "infinite superfici sferiche concentriche" tra la superficie esterna e quella interna?
In tal caso risulterebbe $dq=bdS$, con $dS=d(4πr^2)=8πrdr$
Poiché infatti $b=\rho*r$ è costante, la quantità di carica su una singola sfera dipende soltanto dall'estensione della sua superficie.
Grazie ancora per l'attenzione.
Non si potrebbe, d'altra parte, pensare di sommare le cariche di "infinite superfici sferiche concentriche" tra la superficie esterna e quella interna?
In tal caso risulterebbe $dq=bdS$, con $dS=d(4πr^2)=8πrdr$
Poiché infatti $b=\rho*r$ è costante, la quantità di carica su una singola sfera dipende soltanto dall'estensione della sua superficie.
Grazie ancora per l'attenzione.
No, il primo integrale rappresenta proprio quello che stai dicendo, il $dV$ rappresenta una superficie sferica di raggio $r$ e "spessore infinitesimo" $dr$, perché se non c'è lo "spessore" l'integrale non si può fare, ossia non puoi integrare la carica presente sulle superfici intese come tali, ossia senza spessore, perché la carica è una carica di volume, e le superfici non hanno volume.
Il termine $dS$ da te considerato non è equivalente al termine $dV$, nel caso delle superfici il $dS$ non è così semplice da intendere, e se non hai studiato le superfici ad analisi ti conviene lasciar perdere, il fare dS=d(4pir^2) non ha senso perché la superficie non è funzione di r, dato che r è fissato per ogni superficie, nel caso del volume si può fare $dV=d(4/3pir^3)$ SOLO perché nel nostro caso tutte le direzioni sono equivalenti, ossia la densità $rho$ dipende solo dalla distanza dal centro, e da nient'altro, pertanto differenziando rispetto a r si ottengono volumi infinitesimi che dipendono solo da r, che è quello che ci interessa, se la densità di carica dipendesse anche dall'angolo che forma con un certo asse per esempio, non potevi usare quella relazione ma l'integrale diventava un integrale triplo da risolvere con i relativi metodi.
La cosa sempre vera è che la carica presente in un certo volume V è data dall'integrale triplo: $intintint_Vrho(x,y,z)dxdydz$, nel caso in cui $rho$ dipenda solo dal raggio r, tale integrale si riduce a un integrale semplice che è quello che ti ho scritto io, ma attenzione perché appunto vale solo quando $rho$ dipende solo da r.
Il termine $dS$ da te considerato non è equivalente al termine $dV$, nel caso delle superfici il $dS$ non è così semplice da intendere, e se non hai studiato le superfici ad analisi ti conviene lasciar perdere, il fare dS=d(4pir^2) non ha senso perché la superficie non è funzione di r, dato che r è fissato per ogni superficie, nel caso del volume si può fare $dV=d(4/3pir^3)$ SOLO perché nel nostro caso tutte le direzioni sono equivalenti, ossia la densità $rho$ dipende solo dalla distanza dal centro, e da nient'altro, pertanto differenziando rispetto a r si ottengono volumi infinitesimi che dipendono solo da r, che è quello che ci interessa, se la densità di carica dipendesse anche dall'angolo che forma con un certo asse per esempio, non potevi usare quella relazione ma l'integrale diventava un integrale triplo da risolvere con i relativi metodi.
La cosa sempre vera è che la carica presente in un certo volume V è data dall'integrale triplo: $intintint_Vrho(x,y,z)dxdydz$, nel caso in cui $rho$ dipenda solo dal raggio r, tale integrale si riduce a un integrale semplice che è quello che ti ho scritto io, ma attenzione perché appunto vale solo quando $rho$ dipende solo da r.
Perfetto, ti ringrazio per l'ottima spiegazione
A presto
A presto
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