Guscio sferico

[Fra19941]

E' dato un guscio sferico carico con densità di carica volumica uniforme  p= 2,9 pC/cm3 e raggi a = 16 cm e b = 26 cm. a) Tracciare l'andamento del campo elettrico prodotto dal guscio, partendo da zero fino a 26 cm motivando la risposta. b) Calcolare il modulo e la direzione della forza cui è soggetto un elettrone (e=-1.6
1019 C) posto ad una distanza d=40 cm dal centro della sfera.

come posso iniziare a svolgere questo problema? non ho idee su che formule utilizzare..

so che E=0 se r=0

[Sk_Anonymous]

Ti consiglierei il teorema di Gauss, per cominciare

[Fra19941]

e se provassi così?

siccome r < a, E=0, nel secondo caso a < r < b, ricavo il volume delle due sfere facendo la differenza dei volumi...

[Sk_Anonymous]

"Fra1994":
siccome r < a, E=0

E' giusto, ma devi motivarlo

"Fra1994":
nel secondo caso a < r < b, ricavo il volume delle due sfere facendo la differenza dei volumi...

Qui non ho capito bene cosa intendi

Quando parlavo del teorema di Gauss intendevo questo:

Consideriamo una superficie sferica di raggio $r$ concentrica al guscio di cui parla il problema.

Il flusso del campo elettrico attraverso tale superficie è $Phi_{Sigma} (\vec E) = int_{Sigma} \vec E cdot \vec u_n d Sigma$
dove $u_n$ è il versore ortogonale alla superficie
Abbiamo $\vec E cdot \vec u_n = E cos gamma = E$ poichè il campo elettrico risulta ortogonale in ogni punto alla superficie, e quindi parallelo al versore $\vec u_n$.
Otteniamo allora $Phi_{Sigma} (\vec E) = E int_{Sigma} d Sigma = E 4 pi r^2$

Inoltre il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è $Phi_{Sigma} (\vec E) = \frac {Q_i} {epsilon_0}$ dove $Q_i$ è la carica totale contenuta nella superficie considerata.

A questo punto eguagliando le due espressioni ottenute per il flusso abbiamo $E 4 pi r^2 = \frac {Q_i} {epsilon_0}$ ovvero $E = \frac {Q_i} {4 pi epsilon_0 r^2}$ che ci fornisce il modulo per il campo elettrico in funzione della distanza dal centro.


Ora puoi studiare il caso $r

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[Fra19941]

Ok ora ho capito. Questo che hai descritto tu è la soluzione del punto C? Dove $\Q_i$ è la carica dell'elettrone che ho nei dati mentre $\r_2$ è la distanza dal centro al quadrato.

Altra cosa, nel punto a mi chiede di tracciare l'andamento del campo elettrico da zero a 26, in che modo devo farlo? Ossia, potresti darmi uno spunto sul tracciare? Così poi provo a finirlo e tu mi puoi dire se ho proceduto correttamente!

[Sk_Anonymous]

"Fra1994":Ok ora ho capito. Questo che hai descritto tu è la soluzione del punto C? Dove $ \Q_i $ è la carica dell'elettrone che ho nei dati mentre $ \r_2 $ è la distanza dal centro al quadrato.

In realtà era il primo passo per la soluzione del punto A

"Fra1994":Altra cosa, nel punto a mi chiede di tracciare l'andamento del campo elettrico da zero a 26, in che modo devo farlo? Ossia, potresti darmi uno spunto sul tracciare? Così poi provo a finirlo e tu mi puoi dire se ho proceduto correttamente!

Ok, forse non sono stato abbastanza comprensibile.

Ciò che ho scritto nel post precedente è un metodo standard per calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione sferica di carica (come quella del tuo problema) sfruttando il teorema di Gauss.
Possiamo schematizzarlo così:

1) Considero una generica superficie sferica $Sigma$ di raggio $r$

2) Calcolo il flusso del campo elettrico attraverso tale superficie con la formula "classica" $ Phi_{Sigma} (\vec E) = int_{Sigma} \vec E cdot \vec u_n d Sigma$

3) Calcolo il flusso del campo elettrico attraverso tale superficie con la formula di Gauss $ Phi_{Sigma} (\vec E) = \frac {Q_i} {epsilon_0}$

4) Eguaglio i due risultati e ottengo $E = \frac {Q_i} {4 pi epsilon_0 r^2}$, che mi fornisce il modulo del campo $E$ a distanza $r$ dal centro

$Q_i$ (carica $i$nterna) è la carica totale contenuta nella sfera di raggio $r$ che stiamo considerando

Questa è proprio la formula che ci serve per risolvere il punto A!



Ora possiamo distinguere due casi:


Caso 1) $r
Se $r
Quindi $E = \frac {Q_i} {4 pi epsilon_0 r^2} = 0$



Caso 2) $a
Stavolta la carica contenuta in una superficie sferica di raggio $r$ si ottiene moltiplicando la densità spaziale di carica per il volume compreso tra $a$ e $r$. Tale volume si ottiene facendo la differenza dei volumi delle due sfere $V = \frac {4} {3} pi r^3 - \frac {4} {3} pi a^3 = \frac {4} {3} pi (r^3 - a^3)$.
La carica totale è allora $Q_i = \frac {4} {3} pi (r^3 - a^3) rho$ dove $rho$ è l densità spaziale di carica fornita dal problema.

Quindi $E = \frac {Q_i} {4 pi epsilon_0 r^2} = \frac {(r^3 - a^3) rho} {3 epsilon_0 r^2}$

Finito!


Ora ti rimane il punto B, dove devi calcolare la forza agente su un elettrone fuori dal guscio sferico. Per farlo dovrai calcolare il campo $E$ nel caso $r > b$, ma prendendo spunto dai due casi precedenti dovrebbe essere abbastanza immediato

[Fra19941]

grazie mille!