Guida d'onda retttangolare
Quando si vuole dimostrare il problema di una guida d'onda rettangolare
con j indico la derivata parziale
$(jphi)/(jx^2)(x,y)+(jphi)/(jy^2)(x,y)+kt^2 phi(x,y)=0$
che è un laplaciano trasverso che non so risolvere
e quindi pongo $phi(x,y)=phi_x(x)**phi_y(y)$
perchè si può fare ciò?
con j indico la derivata parziale
$(jphi)/(jx^2)(x,y)+(jphi)/(jy^2)(x,y)+kt^2 phi(x,y)=0$
che è un laplaciano trasverso che non so risolvere
e quindi pongo $phi(x,y)=phi_x(x)**phi_y(y)$
perchè si può fare ciò?
Risposte
Perchè applichi la separazione delle variabile ad un equazione alle derivate parziali.
Infatti per la risoluzione delle equazione alle derivate parziali, in genere, possiamo risolvere tante equazioni differenziali ordinarie quante sono le variabili indipendenti, e poi scrivere tutto come prodotto.
$phi(x,y,z,...)=psi(x)psi(y)psi(z)...$
E dunque ecco spiegato perchè possiamo scrivere il potenziale $psi(x,y)$ come $psi_x(x)psi_y(y)$
Infatti per la risoluzione delle equazione alle derivate parziali, in genere, possiamo risolvere tante equazioni differenziali ordinarie quante sono le variabili indipendenti, e poi scrivere tutto come prodotto.
$phi(x,y,z,...)=psi(x)psi(y)psi(z)...$
E dunque ecco spiegato perchè possiamo scrivere il potenziale $psi(x,y)$ come $psi_x(x)psi_y(y)$
"Bandit":
e quindi pongo $phi(x,y)=phi_x(x)**phi_y(y)$
non so se rispondo al tuo primo rigo, ma $phi_x(x)$e$phi_y(y)$ non sono derivate
se non è questo, allora non ti ho capito
"spassky":
, possiamo risolvere tante equazioni differenziali ordinarie quante sono le variabili indipendenti, e poi scrivere tutto come prodotto.
$phi(x,y,z,...)=psi(x)psi(y)psi(z)...$
E dunque ecco spiegato perchè possiamo scrivere il potenziale $psi(x,y)$ come $psi_x(x)psi_y(y)$
perchè scrivi $phi=psi$?
Ho scritto semplicemente $phi(x,y)=psi(x)psi(y)$ per non fare confusione con i pedici. Era solo per distinguere la funzione prodotto dalle funzioni fattori...e puntualmente l'ho fatta: avrei dovuto scrivere : $psi(x,y)=psi_1(x)psi_2(y)$
E comunque non ho detto che le funzioni $psi_n$ debbano essere delle derivate:sono le funzioni che derivi con l'equazione di Helmoltz...
Facciamo un esempio:
Considera la funzione $f(x,y)=y^2+x^2(1+y^3)$ deriviamo rispetto a x e avremo $f'_x(x,y)=2x(1+y^3)$. Beh questa derivata puoi scriverla come prodotto di due funzioni $psi_1(x)=2x$ $psi_2(y)=1+y^3$ e quindi anche la funzione iniziale può essere scritta come prodotto di due funzioni...
Tutto questo perchè quando deriviamo parzialmente, tutti i fattori e i termini che presentano le altre variabili sono costanti o si annullano.
Spero di essermi spiegato.
E comunque non ho detto che le funzioni $psi_n$ debbano essere delle derivate:sono le funzioni che derivi con l'equazione di Helmoltz...
Facciamo un esempio:
Considera la funzione $f(x,y)=y^2+x^2(1+y^3)$ deriviamo rispetto a x e avremo $f'_x(x,y)=2x(1+y^3)$. Beh questa derivata puoi scriverla come prodotto di due funzioni $psi_1(x)=2x$ $psi_2(y)=1+y^3$ e quindi anche la funzione iniziale può essere scritta come prodotto di due funzioni...
Tutto questo perchè quando deriviamo parzialmente, tutti i fattori e i termini che presentano le altre variabili sono costanti o si annullano.
Spero di essermi spiegato.
ok credo di si, ora la rivedo meglio
grazie
grazie
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