GR(ricavare equazione geodetiche)
Sto tudinado sul testo di carrol come si ricava l'equazione delle geodetiche partendo dalla definizione (distanza pù breve tra due punti) e non riesco a capire un passaggio matematico.
Il procedimento che segue il libro è il seguente:
si cercano delle curve che massimizzano il tempo proprio dal mometo che massimizzando il tempo proprio si minimizza la distanza, quindi si usano delle tecniche variazionali.
Per semplificare i conti l'autore dice ad un certo punto che
$g_(\mu\nu) U^(\mu) U^(\nu)=-1$
dove con $U^(\mu)$ si intende la quadrivelocità
non capisco perchè la formula che ho scritto dovrebbe essere vera; è ovviamente vera se ci troviamo nello spazio piatto della relatività speciale, ma in RG le cose non dovrebbero essere diverse? se non conosco a priori i $g_(\mu\nu)$ come posso calcolare la norma di un vettore?
grazie
Il procedimento che segue il libro è il seguente:
si cercano delle curve che massimizzano il tempo proprio dal mometo che massimizzando il tempo proprio si minimizza la distanza, quindi si usano delle tecniche variazionali.
Per semplificare i conti l'autore dice ad un certo punto che
$g_(\mu\nu) U^(\mu) U^(\nu)=-1$
dove con $U^(\mu)$ si intende la quadrivelocità
non capisco perchè la formula che ho scritto dovrebbe essere vera; è ovviamente vera se ci troviamo nello spazio piatto della relatività speciale, ma in RG le cose non dovrebbero essere diverse? se non conosco a priori i $g_(\mu\nu)$ come posso calcolare la norma di un vettore?
grazie
Risposte
Baldo, i quadrivettori nelle varieta 4-dimensionali hanno lo stesso vizio dei tri-vettori a cui siamo abituati nello spazio tridimensionale : rimangono sempre gli stessi, qualunque sia il sistema di coordinate nel quale li consideri!
La 4-velocita $U^\alpha$ , che come sai soddisfa la condizione : $U_\alphaU^\alpha = - c^2 = -1$ ( ho messo il $-$ perché mi sembra che Carroll usi la segnatura $(-,+,+,+) $, ma come sai non è un problema), vale sempre $-1$ sia in un sistema di coordinate inerziali locali (quindi: LIF = spaziotempo piatto= Relativita Ritretta) che in un sistema di coordinate arbitrario (curvo, RG).
Se hai un sistema di coordinate inerziali locali ${\xi^alpha}$ la geodetica è data da :
$ (d^2\xi^alpha(\tau))/(d\tau^2) = 0$ -----(1)
dove $\tau$ è il tempo proprio o un parametro affine ( per includere anche il caso delle geodetiche nulle = luce), espresso da : $d\tau^2 = -\eta_(\alpha\beta)*d\xi^\alpha*d\xi^\beta$
Passando a coordinate non inerziali, quindi accelerate $x^\mu$ legate alle inerziali da trasformazioni generiche $\xi^\alpha(x^\mu)$ , con la regola di derivazione delle funzioni composte calcoli la (1), facendo dapprima la derivata prima e poi la derivata seconda, e quindi ottieni, dopo la solita ginnastica di indici :
$0 = (d^2\xi^alpha)/(d\tau^2) = (d^2x^\mu)/(d\tau^2) + (\partialx^\mu)/(\partial\xi^\alpha)*(\partial^2\xi^\alpha)/(\partialx^\nu\partialx^\mu) * (dx^\nu)/(d\tau)*(dx^\mu)/(d\tau) $
E questa è leq. della geodetica nelle coordinate curvilinee $x^\mu$ .
Poi, applicando il principio variazionale che hai detto si dimostra che queste quantità :
$(\partialx^\mu)/(\partial\xi^\alpha)*(\partial^2\xi^\alpha)/(\partialx^\nu\partialx^\mu)$
che dipendono da tre indici ($alpha$ è saturato) , non sono altro che i simboli di Christoffel di 2º specie, che si esprimono con le derivate prime dei coefficienti della metrica.
Ma intendiamoci : i coefficienti della metrica $g_(\mu\nu)$ non dipendono dalle geodetiche,dipendono dalle caratteristiche dello spazio curvo, cioe dal campo! E si ricavano dai coefficienti dello spazio piatto con le solite trasformazioni tensoriali che ben conosci, essendo $g$ un tensore covariante simmetrico del 2º ordine.
A me piace molto di piu comunque ricavare le geodetiche dalla condizione del trasporto parallelo:
$nabla_(\vecu)\vecU = 0$
Spero di essere stato chiaro. Comunque, mi sembra che nelle lezioni di Caroll sul web questo sia spiegato abbastanza bene, nel capitolo 3 :" Curvature" , pag 14 e seg.
La 4-velocita $U^\alpha$ , che come sai soddisfa la condizione : $U_\alphaU^\alpha = - c^2 = -1$ ( ho messo il $-$ perché mi sembra che Carroll usi la segnatura $(-,+,+,+) $, ma come sai non è un problema), vale sempre $-1$ sia in un sistema di coordinate inerziali locali (quindi: LIF = spaziotempo piatto= Relativita Ritretta) che in un sistema di coordinate arbitrario (curvo, RG).
Se hai un sistema di coordinate inerziali locali ${\xi^alpha}$ la geodetica è data da :
$ (d^2\xi^alpha(\tau))/(d\tau^2) = 0$ -----(1)
dove $\tau$ è il tempo proprio o un parametro affine ( per includere anche il caso delle geodetiche nulle = luce), espresso da : $d\tau^2 = -\eta_(\alpha\beta)*d\xi^\alpha*d\xi^\beta$
Passando a coordinate non inerziali, quindi accelerate $x^\mu$ legate alle inerziali da trasformazioni generiche $\xi^\alpha(x^\mu)$ , con la regola di derivazione delle funzioni composte calcoli la (1), facendo dapprima la derivata prima e poi la derivata seconda, e quindi ottieni, dopo la solita ginnastica di indici :
$0 = (d^2\xi^alpha)/(d\tau^2) = (d^2x^\mu)/(d\tau^2) + (\partialx^\mu)/(\partial\xi^\alpha)*(\partial^2\xi^\alpha)/(\partialx^\nu\partialx^\mu) * (dx^\nu)/(d\tau)*(dx^\mu)/(d\tau) $
E questa è leq. della geodetica nelle coordinate curvilinee $x^\mu$ .
Poi, applicando il principio variazionale che hai detto si dimostra che queste quantità :
$(\partialx^\mu)/(\partial\xi^\alpha)*(\partial^2\xi^\alpha)/(\partialx^\nu\partialx^\mu)$
che dipendono da tre indici ($alpha$ è saturato) , non sono altro che i simboli di Christoffel di 2º specie, che si esprimono con le derivate prime dei coefficienti della metrica.
Ma intendiamoci : i coefficienti della metrica $g_(\mu\nu)$ non dipendono dalle geodetiche,dipendono dalle caratteristiche dello spazio curvo, cioe dal campo! E si ricavano dai coefficienti dello spazio piatto con le solite trasformazioni tensoriali che ben conosci, essendo $g$ un tensore covariante simmetrico del 2º ordine.
A me piace molto di piu comunque ricavare le geodetiche dalla condizione del trasporto parallelo:
$nabla_(\vecu)\vecU = 0$
Spero di essere stato chiaro. Comunque, mi sembra che nelle lezioni di Caroll sul web questo sia spiegato abbastanza bene, nel capitolo 3 :" Curvature" , pag 14 e seg.
grazie per la risposta,
In effetti quello che hai scritto è proprio quello che stavo pensando,
in un sistema di riferimento locale le leggi della RG si riduciùono alle leggi della RS, quindi dal momento che $U^(\alpha) U_(\alpha)=-1$ nella relatività speciale e dal mometo che è pure una equazione tensoriale questa equazione deve valere non solo localmente ma anche in tutti i punti della nostra varietà, Questo se non sbaglio si chiama principio di covarianza.
Si a lezione abbiamo trattato entrambi i metodi, ovviamente usando il trasporto parallelo è estremamente più facile ricavare l'equazione delle geodetiche.
ciao e a presto
In effetti quello che hai scritto è proprio quello che stavo pensando,
in un sistema di riferimento locale le leggi della RG si riduciùono alle leggi della RS, quindi dal momento che $U^(\alpha) U_(\alpha)=-1$ nella relatività speciale e dal mometo che è pure una equazione tensoriale questa equazione deve valere non solo localmente ma anche in tutti i punti della nostra varietà, Questo se non sbaglio si chiama principio di covarianza.
A me piace molto di piu comunque ricavare le geodetiche dalla condizione del trasporto parallelo:
Si a lezione abbiamo trattato entrambi i metodi, ovviamente usando il trasporto parallelo è estremamente più facile ricavare l'equazione delle geodetiche.
ciao e a presto
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