Grosso dubbio sul calcolo del campo magnetico in un punto
Ciao a tutti, credo di avere ancora enormi dubbi con la legge di Ampère,quindi vi chiedo una mano con il seguente quesito.
"Due lunghi fili posti a distanza d= 2m e perpendicolari al piano xy sono percorsi da due correnti di eguale intensità (i= 5A) ma con versi opposti. Calcolare il campo magnetico in P, equidistante dai due fili e posto a distanza r= 3m dalla congiungente"
Allego un'immagine che illustra la geometria del problema:
Io ragionerei in questo modo: Prendo per esempio il filo 1, ed applico la legge di Ampère: $oint vec(B) \cdot dvec(s) = mu_0 i$
Sto perciò considerando la circuitazione di B lungo una circonferenza che ha centro di coordinate del filo 1 e raggio R pari alla distanza tra il filo e P, ovvero: $R= sqrt(d^2 + r^2)$. Ora, poichè $R>d$, il filo 2 si trova dentro a questa circonferenza, perciò la $i$ nella legge di Ampère è la somma di entrambe le correnti, che essendo uguali e opposte è nulla. Ne deriva che la circuitazione, e di conseguenza il campo sono nulli.
La soluzione, neanche a dirlo, è completamente diversa, perciò volevo sapere perchè sia sbagliato il mio ragionamento, se abbia applicato in maniera errata la legge di Ampère o se addirittura non avrei dovuto applicarla
"Due lunghi fili posti a distanza d= 2m e perpendicolari al piano xy sono percorsi da due correnti di eguale intensità (i= 5A) ma con versi opposti. Calcolare il campo magnetico in P, equidistante dai due fili e posto a distanza r= 3m dalla congiungente"
Allego un'immagine che illustra la geometria del problema:
Io ragionerei in questo modo: Prendo per esempio il filo 1, ed applico la legge di Ampère: $oint vec(B) \cdot dvec(s) = mu_0 i$
Sto perciò considerando la circuitazione di B lungo una circonferenza che ha centro di coordinate del filo 1 e raggio R pari alla distanza tra il filo e P, ovvero: $R= sqrt(d^2 + r^2)$. Ora, poichè $R>d$, il filo 2 si trova dentro a questa circonferenza, perciò la $i$ nella legge di Ampère è la somma di entrambe le correnti, che essendo uguali e opposte è nulla. Ne deriva che la circuitazione, e di conseguenza il campo sono nulli.
La soluzione, neanche a dirlo, è completamente diversa, perciò volevo sapere perchè sia sbagliato il mio ragionamento, se abbia applicato in maniera errata la legge di Ampère o se addirittura non avrei dovuto applicarla
Risposte
ma non è meglio applicare la legge di Biot-Savart ?
"Jezeph":
... volevo sapere perchè sia sbagliato il mio ragionamento, se abbia applicato in maniera errata la legge di Ampère o se addirittura non avrei dovuto applicarla
Non hai sbagliato nell'applicare la legge, hai solo sbagliato nel derivare dal valore nullo dell'integrale di circuitazione che anche il campo in P è nullo, ovvero quando scrivi
"Jezeph":
... Ne deriva che la circuitazione, e di conseguenza il campo sono nulli.
sbagli in quel "di conseguenza"; una circuitazione nulla non implica campo nullo in un generico punto della curva di circuitazione ma implica solo che la somma algebrica (integrale) delle proiezioni del campo sulla curva è pari (in questo caso) a zero.
Come ti è già stato suggerito, in questo caso, il campo magnetico in un qualsiasi punto del piano xy, si può calcolare "sovrapponendo" (vettorialmente) i campi prodotti dai singoli conduttori.
uhm.. generalmente in questi problemi ho che la circuitazione del campo B si risolve semplicemente con $oint vec(B) \cdot dvec(s) = vec(B) \cdot 2 pi R$, quindi avrei, dalla legge: $vec(B)= (mu_0\cdot (i - i))/(2 pi R) = (mu_0\cdot (0))/(2 pi R) = 0$
non capisco cosa non vada esattamente. In questo caso la circuitazione andrebbe risolta proprio con l'integrale di linea di seconda specie? Perchè?
non capisco cosa non vada esattamente. In questo caso la circuitazione andrebbe risolta proprio con l'integrale di linea di seconda specie? Perchè?
"Jezeph":
... la circuitazione del campo B si risolve semplicemente con $oint vec(B) \cdot dvec(s) = vec(B) \cdot 2 pi R$,
Premesso che quell'integrale non può fornire una grandezza vettoriale, e ricordandoti che quel "punto" $\cdot$ ( \cdot) non rappresenta il segno di moltiplicazione ma di prodotto scalare, quella uguaglianza, usando le convenzioni dell'immagine per d e R, ovvero indicando con $a$ la distanza di P dai fili,
$a=\sqrt(R^2+\frac{d^2}{4}$
dovrebbe essere riscritta come segue
$oint vec(B) \cdot dvec(s) = B 2 pi a$
ma sarebbe corretta solo se il campo $\vec B$ fosse costante in modulo lungo il percorso circolare di integrazione e tangente allo stesso; visto però che nel caso della circonferenza da te considerata (scelta come linea di integrazione), questo non avviene (considerando il campo complessivo generato dai due conduttori), quella relazione è errata.
La relazione
$oint vec(B) \cdot dvec(s) = B 2 pi a$
è invece valida se consideri il campo prodotto da un singolo conduttore e come linea di integrazione la circonferenza che passa per P con centro nel conduttore, in questo modo potrai andare a calcolare i moduli del due campi magnetici B1 e B2 relativi alle due correnti i1 e i2
$oint vec B_1 \cdot dvec(s) = B_1 2 pi a=\mu_0 i_1$
$oint vec B_2 \cdot dvec(s) = B_2 2 pi a=\mu_0 i_2$
per poi comporli vettorialmente $\vec B_1+\vec B_2$. Essendo nel tuo caso le due correnti uguali in modulo avrai che anche i moduli dei due campi saranno uguali $B_1=B_2$ ma diversa sarà la loro direzione, che risulterà tangente alla rispettiva circonferenza, ma come già detto questo porta alla legge di Biot e Savart che poteva essere direttamente applicata senza bisogno di scomodare degli integrali.
Hai ragione, ho sbagliato a scrivere R, intendevo il raggio a
comunque ho capito finalmente dove stava il problema, sei stato chiarissimo! Grazie mille!
comunque ho capito finalmente dove stava il problema, sei stato chiarissimo! Grazie mille!
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