Gravitazione: due asteroidi che orbitano l'uno attorno all'altro
Salve a tutti, oggi propongo un esercizio di fisica sulla gravitazione; tanto per staccare dai corpi rigidi!
Due asteroidi di uguale massa $m=10^8 kg$ orbitano l'uno attorno all'altro, ciascuno percorrendo una traiettoria circolare di diametro $d=200 m$. Calcolare la velocità con cui i due asteroidi percorrono la traiettoria circolare.
Per questa prima parte del problema ho scritto la legge di Newton per uno dei due asteroidi:
\[ \frac{G \cdot m \cdot m}{(d/2)^2}=\frac{m \cdot v^2}{d/2}=\frac{4G \cdot m^2}{d^2} \]
\[ \Rightarrow v=2\sqrt{\frac{G \cdot m}{d}}= 0.011 m/s\]
Il sistema descritto precedentemente viene brutalmente perturbato dall'arrivo di una piccola cometa (di massa molto minore rispetto a quella di $m$), che, arrivando da molto lontano, collide frontalmente con uno dei due asteroidi, azzerandone istantaneamente la velocità. Calcolare la distanza minima $r$ a cui si avvicinano i due asteroidi durante il moto successivo. (Suggerimento: ci si metta nel sistema di riferimento solidale al centro di massa dei due asteroidi.
Le possibili soluzioni, espresse in chilometri, sono: A)0.554 B)0.854 C)0.735 D)1 E)0.62 F)Altro
Premesso che il suggerimento anziché aiutarmi mi confonde ancor di più, ho provato ad applicare la conservazione dell'energia (al corpo non urtato) dall'istante in cui la massa $m$ colpita dalla cometa si ferma all'istante in cui i due asteroidi sono alla distanza $r$ cercata.
\[ \frac{1}{2}mv^2-\frac{Gm^2}{(d/2)}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{Gm^2}{r} \]
Dato che mi serve un'altra equazione mi appello alla conservazione del momento angolare, ma qua mi fermo perché $mv=mv_2$ non mi sembra abbia senso e non credo possa funzionare.
Qualcuno ha un po' di idee?
Due asteroidi di uguale massa $m=10^8 kg$ orbitano l'uno attorno all'altro, ciascuno percorrendo una traiettoria circolare di diametro $d=200 m$. Calcolare la velocità con cui i due asteroidi percorrono la traiettoria circolare.
Per questa prima parte del problema ho scritto la legge di Newton per uno dei due asteroidi:
\[ \frac{G \cdot m \cdot m}{(d/2)^2}=\frac{m \cdot v^2}{d/2}=\frac{4G \cdot m^2}{d^2} \]
\[ \Rightarrow v=2\sqrt{\frac{G \cdot m}{d}}= 0.011 m/s\]
Il sistema descritto precedentemente viene brutalmente perturbato dall'arrivo di una piccola cometa (di massa molto minore rispetto a quella di $m$), che, arrivando da molto lontano, collide frontalmente con uno dei due asteroidi, azzerandone istantaneamente la velocità. Calcolare la distanza minima $r$ a cui si avvicinano i due asteroidi durante il moto successivo. (Suggerimento: ci si metta nel sistema di riferimento solidale al centro di massa dei due asteroidi.
Le possibili soluzioni, espresse in chilometri, sono: A)0.554 B)0.854 C)0.735 D)1 E)0.62 F)Altro
Premesso che il suggerimento anziché aiutarmi mi confonde ancor di più, ho provato ad applicare la conservazione dell'energia (al corpo non urtato) dall'istante in cui la massa $m$ colpita dalla cometa si ferma all'istante in cui i due asteroidi sono alla distanza $r$ cercata.
\[ \frac{1}{2}mv^2-\frac{Gm^2}{(d/2)}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{Gm^2}{r} \]
Dato che mi serve un'altra equazione mi appello alla conservazione del momento angolare, ma qua mi fermo perché $mv=mv_2$ non mi sembra abbia senso e non credo possa funzionare.
Qualcuno ha un po' di idee?
Risposte
"fede_1_1":
... orbitano l'uno attorno all'altro ...
Nel sistema di riferimento avente l'origine nel centro di massa, il moto è necessariamente quello sottostante:
Quindi, almeno per quanto riguarda la prima parte:
$[mv^2/(d/2)=Gm^2/d^2] rarr [v=sqrt((Gm)/(2d))]$
Invece, per quanto riguarda la seconda parte:
in cui le velocità sono la metà di quelle determinate in precedenza.
"fede_1_1":
Le possibili soluzioni, espresse in chilometri, sono: A)0.554 B)0.854 C)0.735 D)1 E)0.62 F)Altro
Altro, visto che tutti i valori numerici sono maggiori di $d$.
Allora innanzitutto grazie mille per la risposta! Sul primo punto ho capito, mentre sul secondo ho ancora delle perplessità. Perché le velocità sono la metà adesso?
Perché, dopo la collisione, per quanto riguarda la velocità assoluta del centro di massa:
Quindi, per la legge di composizione delle velocità:
nel sistema di riferimento avente l'origine nel centro di massa:
P.S.
Nel primo messaggio ho supposto che, dopo la collisione, il moto dei due asteroidi sia ancora ellittico.
$[v_(CM)=(m*0+m*v)/(m+m)] rarr [v_(CM)=v/2]$
Quindi, per la legge di composizione delle velocità:
$[v_a=v_r+v_t] rarr [v_r=v_a-v_t]$
nel sistema di riferimento avente l'origine nel centro di massa:
$[v_1=0-v/2] rarr [v_1=-v/2]$
$[v_2=v-v/2] rarr [v_2=v/2]$
P.S.
Nel primo messaggio ho supposto che, dopo la collisione, il moto dei due asteroidi sia ancora ellittico.
Ah giusto! Grazie ancora ^^
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