Gravità sfera
Ciao, amici!
Il mio libro di fisica dice che Newton ha dimostrato che la forza esercitata da una sfera uniforme di massa M su una massa puntiforme m posta ad una distanza r dal suo centro è la stessa che eserciterebbe se fosse anch'essa una massa puntiforme concentrata in quel punto, cioè $F=G(mM)/r^2$, ma non ne dà dimostrazione.
Qualcuno ne potrebbe fornire una?
Grazie a tutti!!!
Davide
Il mio libro di fisica dice che Newton ha dimostrato che la forza esercitata da una sfera uniforme di massa M su una massa puntiforme m posta ad una distanza r dal suo centro è la stessa che eserciterebbe se fosse anch'essa una massa puntiforme concentrata in quel punto, cioè $F=G(mM)/r^2$, ma non ne dà dimostrazione.
Qualcuno ne potrebbe fornire una?
Grazie a tutti!!!
Davide
Risposte
Scriverla sul forum sarebbe troppo lungo e necessiterebbe di disegni abbastanza complessi.
Se il tuo libro non la mette deve essere un libro delle superiori e gli studenti delle superiori normalmente non sono in possesso degli strumenti matematici necessari per comprenderla.
Se il tuo libro non la mette deve essere un libro delle superiori e gli studenti delle superiori normalmente non sono in possesso degli strumenti matematici necessari per comprenderla.
A dire il vero sì, se hai fatto il teorema di Gauss per il campo gravitazionale (sarebbe meglio dire gravitostatico)...
"antani":
A dire il vero sì, se hai fatto il teorema di Gauss per il campo gravitazionale (sarebbe meglio dire gravitostatico)...
Newton non ha certo usato il teorema di Gauss!
La spiegazione si deve ad uno dei teoremi più importanti in Fisica: il teorema di Gauss.
Questo teorema vale per ogni campo di forze il cui modulo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente del campo (quindi la gravità, ma anche il campo elettrostatico, per esempio).
Considera una generica superficie $Sigma$ di forma qualunque al cui interno è presente una massa puntiforme di massa $m$.
Considera un elemento di superficie $dSigma_0$: sia $hat(n)$ un versore ortogonale a questo elemento, e sia $theta$ l'angolo fra $hat(n)$ e il campo
$vec(g)$ in quel punto. Il flusso infinitesimo $d Phi$ del campo attraverso l'elemento di superficie è
$d Phi = vec(g) * hat(n) dSigma_0 = -m/(r^2) hat(r)*hat(n) dSigma_0 = -m/(r^2) cos theta dSigma_0 = -m/(r^2) dSigma$
$dSigma$ è la proiezione di $dSigma_0$ sulla superficie sferica centrata in $m$ di raggio $r$, che può anche scriversi (per definizione) come
$dSigma = 4 pi r^2$. Sostituendo e integrando sulla superficie sferica si ha:
Questo teorema vale per ogni campo di forze il cui modulo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente del campo (quindi la gravità, ma anche il campo elettrostatico, per esempio).
Considera una generica superficie $Sigma$ di forma qualunque al cui interno è presente una massa puntiforme di massa $m$.
Considera un elemento di superficie $dSigma_0$: sia $hat(n)$ un versore ortogonale a questo elemento, e sia $theta$ l'angolo fra $hat(n)$ e il campo
$vec(g)$ in quel punto. Il flusso infinitesimo $d Phi$ del campo attraverso l'elemento di superficie è
$d Phi = vec(g) * hat(n) dSigma_0 = -m/(r^2) hat(r)*hat(n) dSigma_0 = -m/(r^2) cos theta dSigma_0 = -m/(r^2) dSigma$
$dSigma$ è la proiezione di $dSigma_0$ sulla superficie sferica centrata in $m$ di raggio $r$, che può anche scriversi (per definizione) come
$dSigma = 4 pi r^2$. Sostituendo e integrando sulla superficie sferica si ha:
La spiegazione si deve ad uno dei teoremi più importanti in Fisica: il teorema di Gauss.
Questo teorema vale per ogni campo di forze il cui modulo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente del campo (quindi la gravità, ma anche il campo elettrostatico, per esempio).
Considera una generica superficie $Sigma_0$ di forma qualunque al cui interno è presente una massa puntiforme di massa $m$.
Considera ora un elemento di superficie $dSigma_0$: sia $hat(n)$ un versore ortogonale a questo elemento, e sia $theta$ l'angolo fra $hat(n)$ e il campo
$vec(g)$ in quel punto. Il flusso infinitesimo $d Phi$ del campo attraverso l'elemento di superficie è
$d Phi = vec(g) * hat(n) dSigma_0 = -G m/(r^2) hat(r)*hat(n) dSigma_0 = -G m/(r^2) cos theta dSigma_0 = -G m/(r^2) dSigma$
$dSigma$ è la proiezione di $dSigma_0$ sulla superficie sferica centrata in $m$ di raggio $r$, che può anche scriversi (per definizione) come
$dSigma = dOmega r^2$ ($dOmega$ è l'angolo solido infinitesimo che sottende l'elemento di area). Sostituendo e integrando sulla superficie sferica si ha:
$d Phi = -G m/(r^2) r^2 dOmega = -G m dOmega -> Phi = int_(Sigma) vec(g)*hat(n) dSigma = -4 pi G m$
Questo è il teorema di Gauss per il campo gravitazionale: il suo flusso attraverso una generica superficie chiusa è, a parte alcuni coefficienti, pari alla massa contenuta nella superficie. Il teorema ora dimostrato si generalizza senza difficoltà a più masse contenute nella superficie e anche ad una distribuzione continua di masse. Passiamo ora al caso particolare della sfera uniforme.
Vista la simmetria sferica del problema, si può supporre che il campo sia diretto radialmente in ogni punto, e che sia costante in modulo per un certo raggio fissato. Se si calcola il flusso attraverso una sfera immaginaria di raggio $r$ (maggiore del raggio della sfera) concentrica alla sfera,questo vuol dire che il campo $g$ può essere portato fuori dal segno di integrale, perchè costante sulla superficie considerata:
$int_(Sigma) vec(g)*hat(n) dSigma = - g int_(Sigma) dSigma = - g 4 pi r^2 = - 4 pi G m -> g(r) = Gm/(r^2)$
Come vedi, l'espressione del campo è indentica a quella di una massa puntiforme!
Scusate, mentre scrivevo non ho visto che avevate risposto!
Questo teorema vale per ogni campo di forze il cui modulo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente del campo (quindi la gravità, ma anche il campo elettrostatico, per esempio).
Considera una generica superficie $Sigma_0$ di forma qualunque al cui interno è presente una massa puntiforme di massa $m$.
Considera ora un elemento di superficie $dSigma_0$: sia $hat(n)$ un versore ortogonale a questo elemento, e sia $theta$ l'angolo fra $hat(n)$ e il campo
$vec(g)$ in quel punto. Il flusso infinitesimo $d Phi$ del campo attraverso l'elemento di superficie è
$d Phi = vec(g) * hat(n) dSigma_0 = -G m/(r^2) hat(r)*hat(n) dSigma_0 = -G m/(r^2) cos theta dSigma_0 = -G m/(r^2) dSigma$
$dSigma$ è la proiezione di $dSigma_0$ sulla superficie sferica centrata in $m$ di raggio $r$, che può anche scriversi (per definizione) come
$dSigma = dOmega r^2$ ($dOmega$ è l'angolo solido infinitesimo che sottende l'elemento di area). Sostituendo e integrando sulla superficie sferica si ha:
$d Phi = -G m/(r^2) r^2 dOmega = -G m dOmega -> Phi = int_(Sigma) vec(g)*hat(n) dSigma = -4 pi G m$
Questo è il teorema di Gauss per il campo gravitazionale: il suo flusso attraverso una generica superficie chiusa è, a parte alcuni coefficienti, pari alla massa contenuta nella superficie. Il teorema ora dimostrato si generalizza senza difficoltà a più masse contenute nella superficie e anche ad una distribuzione continua di masse. Passiamo ora al caso particolare della sfera uniforme.
Vista la simmetria sferica del problema, si può supporre che il campo sia diretto radialmente in ogni punto, e che sia costante in modulo per un certo raggio fissato. Se si calcola il flusso attraverso una sfera immaginaria di raggio $r$ (maggiore del raggio della sfera) concentrica alla sfera,questo vuol dire che il campo $g$ può essere portato fuori dal segno di integrale, perchè costante sulla superficie considerata:
$int_(Sigma) vec(g)*hat(n) dSigma = - g int_(Sigma) dSigma = - g 4 pi r^2 = - 4 pi G m -> g(r) = Gm/(r^2)$
Come vedi, l'espressione del campo è indentica a quella di una massa puntiforme!
Scusate, mentre scrivevo non ho visto che avevate risposto!
Grazie a tutti per le vostre risposte! Un grazie speciale a Vinx89 per la spiegazione dettagliata, paziente ed illuminante!!!
Il mio testo è il Walker, un testo di "fondamenti" di fisica universitario (lo desumo dall'introduzione, anche se non so a quali corsi di laurea sia destinato: forse corsi in cui i primi anni c'è matematica poco avanzata...) che trovo piuttosto ben fatto, anche se manca qua e là qualche dimostrazione, nei capitoli meno avanzati, probabilmente per il fatto che si suppone che non tutti i potenziali lettori sappiano o ricordino granché di analisi, mentre in fondo al libro si affrontano argomenti utilizzando gli strumenti dell'analisi. Quanto a me, ho fatto il classico e studio queste cose per piacere personale (anche se mi sto convincendo che varrebbe la pena di mettere a frutto queste mie passioni iscrivendomi a un corso di laurea in una disciplina scientifica...): a scuola la cosa più complessa di matematica pura che ho studiato sono le equazioni di secondo grado e di fisica le somme di forze, però cerco di saperne di più, mi sono studiato un manuale universitario di matematica (quello che adottano comunemente a biologia, ho notato) e adesso qualcosettina di analisi so, cioè, almeno so che cosa sia un integrale, anche su una superficie o un volume, e che cosa siano dei vettori e dei versori o un angolo solido... Comunque ho già pronti due volumi di "analisi 1" e "analisi 2" per quando ho finito i miei "Fondamenti di Fisica"...
Grazie ancora a tutti!!!
Davide
Il mio testo è il Walker, un testo di "fondamenti" di fisica universitario (lo desumo dall'introduzione, anche se non so a quali corsi di laurea sia destinato: forse corsi in cui i primi anni c'è matematica poco avanzata...) che trovo piuttosto ben fatto, anche se manca qua e là qualche dimostrazione, nei capitoli meno avanzati, probabilmente per il fatto che si suppone che non tutti i potenziali lettori sappiano o ricordino granché di analisi, mentre in fondo al libro si affrontano argomenti utilizzando gli strumenti dell'analisi. Quanto a me, ho fatto il classico e studio queste cose per piacere personale (anche se mi sto convincendo che varrebbe la pena di mettere a frutto queste mie passioni iscrivendomi a un corso di laurea in una disciplina scientifica...): a scuola la cosa più complessa di matematica pura che ho studiato sono le equazioni di secondo grado e di fisica le somme di forze, però cerco di saperne di più, mi sono studiato un manuale universitario di matematica (quello che adottano comunemente a biologia, ho notato) e adesso qualcosettina di analisi so, cioè, almeno so che cosa sia un integrale, anche su una superficie o un volume, e che cosa siano dei vettori e dei versori o un angolo solido... Comunque ho già pronti due volumi di "analisi 1" e "analisi 2" per quando ho finito i miei "Fondamenti di Fisica"...
Grazie ancora a tutti!!!
Davide
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